第六章平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案C
解析因为速度、力和加速度既有大小,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.
2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一条直线
C.圆上一群孤立的点 D.一个半径为1的圆
答案B
解析由于向量的起点确定,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.
3.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是( )
A. B.
C. D.
答案B
解析向量相等要求模相等,方向相同,因此都是和相等的向量.
4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
答案C
解析由知,AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.
5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )
A.若||=||且,则四边形ABCD是菱形
B.在平行四边形ABCD中,一定有
C.若a=b,b=c,则a=c
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
答案ABC
解析对于A,由,知AB=CD且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形,又因为||=||,所以四边形ABCD为菱形,故A正确;对于B,在平行四边形ABCD中,对边平行且相等,的方向相同,所以,故B正确;对于C,由向量相等的定义知,当a=b,b=c时,有a=c,故C正确;对于D,当b=0时不成立,故D错误.故选ABC.
6.(多选题)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.共线 D.
答案ABC
解析如
图,∵方向相同,长度相等,∴选项A正确;
∵的方向相反,
∴,选项B正确;
∵AB∥CD,∴共线,
∴选项C正确;
∵方向不同,
∴,∴选项D错误.
7.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是( )
A.||=|| B.共线
C.共线 D.共线
答案C
解析依题意知,直线BD与EH不一定平行,因此不一定与共线,C项错误.
8.
如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:
(1)与相等的向量共有几个
(2)与平行且模为的向量共有几个
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个
解(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).
(2)与向量平行且模为的向量共有24个.
(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.
关键能力提升练
9.已知a为单位向量,下列说法正确的是( )
A.a的长度为一个单位长度
B.a与0不平行
C.与a共线的单位向量只有一个(不包括a本身)
D.a与0不是平行向量
答案A
解析∵已知a为单位向量,∴a的长度为一个单位长度,故A正确;
a与0平行,故B错误;
与a共线的单位向量有无数个,故C错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D错误.
10.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )
A.与相等的向量只有一个(不包括本身)
B.与的模相等的向量有9个(不包括本身)
C.的模为模的倍
D.不共线
答案ABC
解析A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以共线,故D错误.
11.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是 .(填序号)
答案①③④
解析若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b.
12.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:
①都是单位向量;
②;
③与相等的向量有3个(不包括本身);
④与共线的向量有3个(不包括本身);
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是 .(填序号)
答案①②④⑤
解析①由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与相等的向量是,故③错误;④与共线的向量是,故④正确;⑤正确.
13.已知在四边形ABCD中,,且||=||,tan D=,判断四边形ABCD的形状.
解∵在四边形ABCD中,,
∴AB DC,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵tan D=,∴∠B=∠D=60°.
又||=||,∴△ABC是等边三角形.
∴AB=BC,故四边形ABCD是菱形.
学科素养创新练
14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
解(1)画出所有的向量如图所示.
(2)由(1)所画的图知,
①当点C位于点C1或C2时,||取得最小值;
②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值.第六章平面向量及其应用
6.1 平面向量的概念
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )
A.一条线段 B.一条直线
C.圆上一群孤立的点 D.一个半径为1的圆
3.如图所示,在正三角形ABC中,P,Q,R分别是AB,BC,AC的中点,则与向量相等的向量是( )
A. B.
C. D.
4.若||=||且,则四边形ABCD的形状为 ( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.等腰梯形
5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )
A.若||=||且,则四边形ABCD是菱形
B.在平行四边形ABCD中,一定有
C.若a=b,b=c,则a=c
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
6.(多选题)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是( )
A. B.
C.共线 D.
7.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是( )
A.||=|| B.共线
C.共线 D.共线
8.
如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:
(1)与相等的向量共有几个
(2)与平行且模为的向量共有几个
(3)与方向相同且模为3的向量共有几个
关键能力提升练
9.已知a为单位向量,下列说法正确的是( )
A.a的长度为一个单位长度
B.a与0不平行
C.与a共线的单位向量只有一个(不包括a本身)
10.(多选题)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )
A.与相等的向量只有一个(不包括本身)
B.与的模相等的向量有9个(不包括本身)
C.的模为模的倍
D.不共线
11.给出下列四个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b方向相反;④|a|=0或|b|=0.其中能使a∥b成立的条件是 .(填序号)
12.如图,四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形,已知下列说法:
①都是单位向量;
②;
③与相等的向量有3个(不包括本身);
④与共线的向量有3个(不包括本身);
⑤与向量大小相等、方向相反的向量为.
其中正确的是 .(填序号)
13.已知在四边形ABCD中,,且||=||,tan D=,判断四边形ABCD的形状.
学科素养创新练
14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=.
(1)画出所有的向量;
(2)求||的最大值与最小值.
