第六章平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.1 向量的加法运算
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.在四边形ABCD中,,则四边形ABCD是 ( )
A.梯形 B.矩形
C.正方形 D.平行四边形
答案D
解析由平行四边形法则可得,四边形ABCD是以AB,AD为邻边的平行四边形.
2.在边长为1的正方形ABCD中,||等于 ( )
A.0 B.1 C. D.3
答案B
解析||=||=||=1.
3.(多选题)已知向量a∥b,且|a|≠|b|,则向量a+b的方向可能( )
A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反
C.与向量b的方向相同 D.与向量b的方向相反
答案ABCD
解析∵a∥b,且|a|≠|b|,∴a与b共线,它们的和的方向可能与a同向或反向,与b同向或反向.
4.
如图,在正六边形ABCDEF中,等于( )
A.0
B.
C.
D.
答案A
解析∵,
∴=0.
5.向量()+()+化简后等于( )
A. B. C. D.
答案C
解析()+()+.
6.如图,在平行四边形ABCD中,写出下列各式的结果:
(1)= ;
(2)= ;
(3)= ;
(4)= .
答案(1) (2) (3) (4)0
解析(1)由平行四边形法则可知,.
(2).
(3).
(4)=0.
7.如图所示,若P为△ABC的外心,且,则∠ACB= .
答案120°
解析因为P为△ABC的外心,所以PA=PB=PC,因为,由向量加法的平行四边形法则可得四边形PACB是菱形,且∠PAC=60°,所以∠ACB=120°.
8.是否存在a,b,使|a+b|=|a|=|b| 请画出图形说明.
解存在,如图,=a,=b,
OA=OB=OC,∠AOB=120°,∠AOC=∠COB=60°.
9.一艘船在水中航行,如果此船先向南偏西30°方向行驶2 km,然后又向西行驶2 km,你知道此船在整个过程中的位移吗
解如
图,用表示船的第一次位移,用表示船的第二次位移,根据向量加法的三角形法则知,
所以可表示两次位移的和位移.由题意知,在Rt△ABC中,∠BAC=30°,
则BC=AC=1,AB=.
在等腰三角形ACD中,AC=CD=2,
所以∠D=∠DAC=∠ACB=30°,
所以∠BAD=60°,AD=2AB=2,所以两次位移的和位移的方向是南偏西60°,位移的大小为2 km.
关键能力提升练
10.(2021广东模拟)在正六边形ABCDEF中,=( )
A. B. C. D.0
答案D
解析如图,连接AD,BE,设AD与BE交于O点,则,∴=0.故选D.
11.(多选题)设a=()+(),b是任一非零向量,则下列选项正确的有( )
A.a∥b B.a+b=a
C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b|
答案AC
解析∵a=()+()==0,
又b为任一非零向量,∴A,C正确.
12.如图所示,在矩形ABCD中,||=4.设=a,=b,=c,则|a+b+c|= .
答案8
解析a+b+c=.
如图,延长BC至点E,使CE=BC,连接DE,
∵,∴CE AD.
∴四边形ACED是平行四边形.
∴.∴.
∴|a+b+c|=||=2||=2||=8.
13.
如图所示,一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km到达B地,然后又从B地按南偏东55°的方向飞行600 km到达C地,求这架飞机飞行的路程及两次位移的和(参考数据:sin 37°≈0.6).
解设分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km,从B地按南偏东55°的方向飞行600 km,则飞机飞行的路程指的是||+||;两次位移的和指的是.依题意,有||+||=800+600=1 400(km),∠ABC=35°+55°=90°.在Rt△ABC中,||==1 000(km),其中∠BAC≈37°,所以方向约为北偏东35°+37°=72°.从而飞机飞行的路程是1 400 km,两次飞行的位移和的大小为1 000 km,方向约为北偏东72°.
学科素养创新练
14.在四边形ABCD中,对角线AC与BD交于点O且||=||=1,=0,cos∠DAB=.求||与||.
解∵=0,
∴.
∴四边形ABCD是平行四边形.
又||=||=1,知四边形ABCD为菱形.
又cos∠DAB=,∠DAB∈(0,π),
∴∠DAB=60°.第六章平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.2 向量的减法运算
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必备知识基础练
1.(2021北京海淀期中)=( )
A. B. C. D.
答案A
解析.故选A.
2.如图,已知六边形ABCDEF是一个正六边形,O是它的中心,其中=a,=b,=c,则=( )
A.a+b B.b-a
C.c-b D.b-c
答案D
解析=b-c.
3.(多选题)(2021江苏秦淮校级月考)下列四式可以化简为的是( )
A.+()
B.()+()
C.
D.
答案ABC
解析对于A,+()=()+;对于B,;对于C,;对于D,.故选ABC.
4.在矩形ABCD中,||=2,||=4,则||= .
答案4
解析在矩形ABCD中,=2,所以||=2||=4.
5.
如图,已知O为平行四边形ABCD内一点,=a,=b,=c,则= .
答案a+c-b
解析由已知得,则=a+c-b.
6.如图,已知正方形ABCD的边长等于1,=a,=b,=c,试作向量:
(1)a-b;
(2)a-b+c.
解(1)在正方形ABCD中,a-b=.连接BD,箭头指向B,即可作出a-b.
(2)过B作BF∥AC,交DC的延长线于F,连接AF,则四边形ABFC为平行四边形,
∴a+c=.
在△ADF中,=a+c-b=a-b+c,
∴即为所求.
关键能力提升练
7.(多选题)下列四式中能化简为的是( )
A.()-
B.()+()
C.()-
D.()+
答案ABD
解析对于A,()-;
对于B,()+()=+0=;
对于C,()-=2,所以C不能化简为;
对于D,()+.
8.平面上有三点A,B,C,设m=,n=,若m,n的长度恰好相等,则有( )
A.A,B,C三点必在同一条直线上
B.△ABC必为等腰三角形,且∠ABC为顶角
C.△ABC必为直角三角形,且∠ABC=90°
D.△ABC必为等腰直角三角形
答案C
解析如
图,因为m,n的长度相等,
所以||=||,
即||=||,
所以ABCD是矩形,故△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
9.已知A,B,C为三个不共线的点,P为△ABC所在平面内一点,若,则下列结论正确的是 ( )
A.点P在△ABC内部 B.点P在△ABC外部
C.点P在直线AB上 D.点P在直线AC上
答案D
解析∵,
∴,
∴,即.
故点P在边AC所在的直线上.
10.如图,在正六边形ABCDEF中,与相等的向量有 .(填序号)
①;②;③;④;⑤;⑥;⑦.
答案①④
解析因为四边形ACDF是平行四边形,
所以.因为四边形ABDE是平行四边形,所以.
综上知与相等的向量是①④.
11.
如图,在四边形ABCD中,,对角线AC与BD交于点O,设=a,=b,用a和b表示.
解∵,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴点O是DB的中点,也是AC的中点,
∴=b-a,
=-=-b-a.
学科素养创新练
12.
如图,在 ABCD中,=a,=b.
(1)用a,b表示.
(2)当a,b满足什么条件时,a+b与a-b所在直线互相垂直
(3)当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|
(4)a+b与a-b有可能为相等向量吗 为什么
解(1)=a+b,=a-b.
(2)由(1)知,a+b=,a-b=.
∵a+b与a-b所在直线互相垂直,∴AC⊥BD.
又四边形ABCD为平行四边形,
∴四边形ABCD为菱形,即a,b应满足|a|=|b|.
(3)|a+b|=|a-b|,即||=||.
∵矩形的两条对角线相等,
∴当a与b所在直线互相垂直,第六章平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.3 向量的数乘运算
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)下面四种说法,其中正确的是( )
A.对于实数m和向量a,b,恒有m(a-b)=ma-mb
B.对于实数m,n和向量a,恒有(m-n)a=ma-na
C.对于实数m和向量a,b,若ma=mb,则a=b
D.对于实数m,n和向量a,若ma=na,则m=n
答案AB
解析由向量数乘的运算律,得A,B均正确.对于C,若m=0,由ma=mb,未必一定有a=b,错误.对于D,若a=0,由ma=na,未必一定有m=n,错误.
2.已知向量=a+2b,=5a+3b,=-3a+b,则 ( )
A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
答案A
解析∵向量=2a+4b,=a+2b,
∴=2,即A,B,D三点共线.
3.已知在△ABC中,向量=λ()(λ∈R),则点P的轨迹经过△ABC的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
答案D
解析设D为BC中点,则=2,
∴=2λ,即点P在中线AD所在直线上,可知点P轨迹必过△ABC的重心.
4.若=5e,=-7e,且||=||,则四边形ABCD的形状是 .
答案等腰梯形
解析由已知得=-,因此,且||≠||,所以四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.
5.已知a与b是两个不共线的向量,且向量(a+λb)与(b-3a)共线,则λ的值为 .
答案-
解析由向量共线可得a+λb=k(b-3a),
即a+λb=kb-3ka,∴(1+3k)a=(k-λ)b.
∵a,b不共线,∴解得λ=-.
6.如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,AE=AD,=a,=b.
(1)用a,b分别表示向量;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解∵)=(a+b),
∴(a+b).
∵b,∴=-a+b.
(2)证明由(1)知=-a+b,=-a+(a+b)=-a+b=,
∴.
∴共线.
又BE,BF有公共点B,∴B,E,F三点共线.
7.(1)已知a=3i+2j,b=2i-j,求-a-b+(2b-a);
(2)已知向量a,b,且5x+2y=a,3x-y=b,求x,y.
解(1)原式=a-b-a+b+2b-a=a+b=-a+b.
∵a=3i+2j,b=2i-j,∴原式=-(3i+2j)+(2i-j)=i+j=-i-5j.
(2)将3x-y=b两边同乘2,得6x-2y=2b.
与5x+2y=a相加,得11x=a+2b,
∴x=a+b.
∴y=3x-b=3-b=a-b.
关键能力提升练
8.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足=0,若实数λ满足=λ,则λ的值为( )
A.2 B. C.3 D.6
答案C
解析-2.
又=0,即=-,
∴=-3=λ=-λ,
∴λ=3.
9.(2020辽宁营口期末)已知D为△ABC所在平面内一点,3,则=( )
A.- B.
C. D.
答案A
解析因为D为△ABC所在平面内一点,3,所以)=-.故选A.
10.
(2021福建福州期中)如图,在直角梯形ABCD中,已知AB∥CD,∠BAD=90°,AD=AB=2,CD=1,动点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),且=m+n(m,n∈R),则的最小值是( )
A.3 B.3+2
C.4 D.4+2
答案C
解析因为点P在线段BC上运动(包含点C,不包含点B),则=λ(0<λ≤1),
则+λ+λ()=+λ-=1-λ+λ,所以m=1-λ,n=λ,
则=[(2-λ)+λ]=2+≥2+2=4,
当且仅当,即λ=1时等号成立.
故的最小值为4.故选C.
11.(多选题)生于瑞士的数学巨星欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理:“三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上.”这就是著名的欧拉线定理.在△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,D为BC边的中点,下列四个选项正确的是( )
A.GH=2OG B.=0
C.AH=2OD D.S△ABG=S△BCG=S△ACG
答案ABCD
解析在
△ABC中,O,H,G分别是外心、垂心和重心,画出图形,如图所示.
对于B,根据三角形的重心性质得=0,选项B正确;
对于A,C,∵AH∥OD,∴△AHG∽△DOG,
∴=2,∴GH=2OG,AH=2OD,选项A,C正确;
对于D,过点G作GE⊥BC,垂足为E,
∴△DEG∽△DNA,则,∴△BGC的面积为S△BGC=×BC×GE=×BC××AN=S△ABC;
同理,S△AGC=S△AGB=S△ABC,选项D正确.
12.在平行四边形ABCD中,,若=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ+μ= .
答案
解析由平面向量的加法运算,有.
因为=λ+μ=λ()+μ()=λ+μ
=.
所以,
即1--μ=λ+-1.
∵不共线,
∴解得故λ+μ=.
13.已知M是△ABC所在平面内的一点,若满足6-2=0,且S△ABC=λS△ABM,则实数λ的值是 .
答案3
解析记2.
∵+2-2=0,
∴=2,S△ABC=S△ABN.
又S△ABM=S△ABN,
∴S△ABC=3S△ABM,从而有λ=3.
14.已知在△OBC中,A是线段BC的中点,D是线段OB的一个三等分点(靠近点B),设=a,=b.
(1)用向量a与b表示向量;
(2)若,判断C,D,E是否共线,并说明理由.
解(1)∵=a,=b,点A是BC的中点,
∴=-a.
∴=-a-b.
(2)C,D,E不共线.理由如下,
假设存在实数λ,使=λ.
∵=a+b+(-b)=a+b,
)
=2a+(-a+b)=a+b,
∴a+b=λ,
∴此方程组无解,
∴不存在实数λ,满足=λ.
∴C,D,E三点不共线.
学科素养创新练
15.如图,F为线段BC的中点,CE=2EF,DF=AF,设=a,=b,试用a,b表示.
解因为=b-a,(b-a),
所以a+b.
因为(a+b),第六章平面向量及其应用
6.2 平面向量的运算
6.2.4 向量的数量积
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.若p与q是相反向量,且|p|=3,则p·q等于( )
A.9 B.0 C.-3 D.-9
答案D
解析由已知得p·q=3×3×cos 180°=-9.
2.已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a+b)=61,则|a+b|=( )
A. B. C.13 D.21
答案A
解析由(2a-3b)·(2a+b)=61,
得4|a|2-4a·b-3|b|2=61.
将|a|=4,|b|=3代入上式,求得a·b=-6.
|a+b|2=(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=13,
所以|a+b|=.
3.(2021江苏南京期末)已知正方形ABCD的边长为3,=2,则=( )
A.3 B.-3 C.6 D.-6
答案A
解析如图,
因为正方形ABCD的边长为3,=2,
所以=()·()
=·()
=
=32-×32=3.
故选A.
4.(2020全国Ⅲ卷)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=6,a·b=-6,则cos
=( )
A.- B.- C. D.
答案D
解析∵a·(a+b)=a2+a·b=25-6=19,|a+b|2=a2+b2+2a·b=25+36-12=49,
∴|a+b|=7,∴cos=.
5.(多选题)已知a,b,c是三个非零向量,则下列选项正确的有( )
A.|a·b|=|a||b| a∥b
B.a,b反向 a·b=-|a||b|
C.a⊥b |a+b|=|a-b|
D.|a|=|b| |a·c|=|b·c|
答案ABC
解析A.∵a·b=|a||b|cos θ(θ为a与b的夹角),
∴由|a·b|=|a||b|及a,b为非零向量可得|cos θ|=1,
∴θ=0或π,∴a∥b且以上各步均可逆.故A正确.
B.若a,b反向,则a,b的夹角为π,∴a·b=|a|·|b|cos π=-|a||b|且以上各步均可逆.故B正确.
C.当a⊥b时,在平面内任取一点O,作=a,=b,则以OA,OB为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有|a+b|=|a-b|.反过来,若|a+b|=|a-b|,在平面内任取一点O,作=a,=b,则以OA,OB为邻边的四边形为矩形,所以有a⊥b.故C正确.
D.当|a|=|b|但a与c的夹角和b与c的夹角不等时,就有|a·c|≠|b·c|,反过来由|a·c|=|b·c|也推不出|a|=|b|.故D错误.
6.已知a,b为共线的两个向量,且|a|=1,|b|=2,则|2a-b|= .
答案0或4
解析|2a-b|=.
又a,b为共线的两个向量,设a,b的夹角为θ,
则θ=0°或180°,当θ=0°时,a·b=2;
当θ=180°时,a·b=-2.故|2a-b|=0或4.
7.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=1,则的值是 .
答案-1
解析(方法一)=||||cos(180°-∠B)
=-||||cos∠B=-|||
=-||2=-1.
(方法二)||=1,即为单位向量,=-=-||||cos∠ABC,
而||cos∠ABC=||,
所以=-||2=-1.
8.已知平面上三个向量a,b,c的模均为1,它们相互之间的夹角均为120°.求证:(a-b)⊥c.
证明(a-b)·c=a·c-b·c
=|a||c|cos 120°-|b||c|cos 120°
=1×1×-1×1×=0,
故(a-b)⊥c.
9.已知向量a,b满足|a|=,|b|=1.
(1)若a,b的夹角θ为,求|a+b|;
(2)若(a-b)⊥b,求a与b的夹角θ.
解(1)由已知,得a·b=|a||b|cos×1×=1,
所以|a+b|2=(a+b)2=|a|2+|b|2+2a·b=2+1+2=5,所以|a+b|=.
(2)因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=0.
所以a·b-b2=0,即a·b=b2=1,
所以cos θ=.
又θ∈[0,π],所以θ=,即a与b的夹角为.
关键能力提升练
10.已知平面向量a,b,|a|=2,|b|=1,则|a-b|的最大值为( )
A.1 B.2 C.3 D.5
答案C
解析∵|a|=2,|b|=1,∴|a-b|=,
又a·b∈[-2,2],∴|a-b|∈[1,3],
∴|a-b|的最大值为3.
11.(多选题)设a,b,c是任意的非零向量,且它们相互不共线,给出下列四个选项,其中正确的有( )
A.a·c-b·c=(a-b)·c
B.(b·c)·a-(c·a)·b不与c垂直
C.|a|-|b|<|a-b|
D.(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2
答案ACD
解析根据向量数量积的分配律知,A正确;
因为[(b·c)·a-(c·a)·b]·c
=(b·c)·(a·c)-(c·a)·(b·c)=0,
所以(b·c)·a-(c·a)·b与c垂直,B错误;
因为a,b不共线,所以|a|,|b|,|a-b|组成三角形三边,所以|a|-|b|<|a-b|成立,C正确;
根据向量数量积的分配律以及性质知,D正确.
12.已知|a|=|b|=2,a,b的夹角为60°,则使向量a+λb与λa+b的夹角为锐角的λ的取值范围是 .
答案(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞)
解析由a+λb与λa+b的夹角为锐角,得(a+λb)·(λa+b)>0,即λa2+(λ2+1)a·b+λb2>0,
从而λ2+4λ+1>0,解得λ<-2-或λ>-2+.
当λ=1时,a+λb与λa+b同向,故λ的取值范围是(-∞,-2-)∪(-2+,1)∪(1,+∞).
13.如图,在四边形ABCD中,=a,=b,=c,=d,且a·b=b·c=c·d=d·a,且a·c=b·d,则四边形ABCD是什么形状
解∵a+b+c+d=0,
∴a+b=-(c+d),
∴(a+b)2=(c+d)2,即a2+2a·b+b2=c2+2c·d+d2.
又a·b=c·d,∴a2+b2=c2+d2,
即|a|2+|b|2=|c|2+|d|2. ①
同理可得|a|2+|d|2=|b|2+|c|2. ②
①-②,得|b|2=|d|2,
①变形为|a|2-|d|2=|c|2-|b|2,再加②式得|a|2=|c|2,
即|b|=|d|,|a|=|c|.
同理可得|a|=|b|,|c|=|d|,故四边形ABCD是菱形.
∵,∴a=-c.
又a·b=b·c,∴b·(a-c)=0,
即b·(2a)=0.∴a·b=0,
∴.故四边形ABCD为正方形.
14.如图,在平面内将两块直角三角板接在一起,已知∠ABC=45°,∠BCD=60°,记=a,=b.
(1)试用a,b表示向量;
(2)若|b|=1,求.
解(1)=a-b,
由题意可知,AC∥BD,BD=BC=AC.
∴b,则=a+b,
=a+(-1)b.
(2)∵|b|=1,∴|a|=,a·b=cos 45°=1,
则=a·[a+(-1)b]
=a2+(-1)a·b=2+-1=+1.
学科素养创新练
15.如图所示为正六边形P1P2P3P4P5P6,则下列向量的数量积中最大的是( )
A. B.
C. D.
答案A
解析由于,故其数量积是0;的夹角是,故其数量积小于0;设正六边形的边长是a,则=||||cos 30°=a2,=||||cos 60°=a2.故选A.
16.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·()的最小值是( )
A.-2 B.- C.- D.-1