第六章平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1 平面向量基本定理
6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.设向量e1与e2不共线,若3xe1+(10-y)e2=(4y-7)e1+2xe2,则实数x,y的值分别为( )
A.0,0 B.1,1
C.3,0 D.3,4
答案D
解析因为向量e1与e2不共线,
所以解得
2.如图所示,在△ABC中,AD=AB,BE=BC,则=( )
A.
B.
C.
D.
答案D
解析)=.
3.如图,平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ(不包含边界).设=m+n,且点P落在第Ⅲ部分,则实数m,n满足( )
A.m>0,n>0 B.m>0,n<0
C.m<0,n>0 D.m<0,n<0
答案B
解析如
图所示,利用平行四边形法则,
将分解到上,有,
则=m=n,
很明显方向相同,则m>0;
方向相反,则n<0.
4.(多选题)已知向量i=(1,0),j=(0,1),对于该坐标平面内的任一向量a,给出下列四个选项,其中不正确的选项是( )
A.存在唯一的一对实数x,y,使得a=(x,y)
B.若x1,x2,y1,y2∈R,a=(x1,y1)≠(x2,y2),则x1≠x2,且y1≠y2
C.若x,y∈R,a=(x,y),且a≠0,则a的起点是原点O
D.若x,y∈R,a≠0,且a的终点坐标是(x,y),则a=(x,y)
答案BCD
解析由平面向量基本定理,知A正确;举反例,a=(1,0)≠(1,3),但1=1,故B错误;因为向量可以平移,所以a=(x,y)与a的起点是不是原点无关,故C错误;当a的终点坐标是(x,y)时,a=(x,y)是以a的起点是原点为前提的,故D错误.
5.已知a=xe1+2e2与b=3e1+ye2共线,且e1,e2不共线,则xy的值为 .
答案6
解析由已知得,存在λ∈R,使得a=λb,
即xe1+2e2=3λe1+λye2,
所以故xy=3λ·=6.
6.(2021福建福州期中)已知O,A,B是平面内任意不共线三点,点P在直线AB上,若=3+x,则x= .
答案-2
解析∵点P在直线AB上,且=3+x,∴3+x=1,∴x=-2.
7.
如图,C,D是△AOB的边AB的三等分点,设=e1,=e2,以{e1,e2}为基底来表示= ,= .
答案e1+e2 e1+e2
解析=e1+(e2-e1)=e1+e2,
=(e2-e1)=e1+e2.
8.设e1,e2是两个不共线的非零向量,且a=e1-2e2,b=e1+3e2.
(1)求证:{a,b}可以作为一个基底;
(2)以{a,b}为基底,求向量c=3e1-e2的坐标.
(1)证明假设a,b共线,则a=λb(λ∈R),
则e1-2e2=λ(e1+3e2).
由e1,e2不共线,得
所以λ不存在,故a,b不共线,
即{a,b}可以作为一个基底.
(2)解设c=ma+nb(m,n∈R),
则3e1-e2=m(e1-2e2)+n(e1+3e2)
=(m+n)e1+(-2m+3n)e2.
所以解得
故c=2a+b,即c=(2,1).
9.
如图,在△ABC中,D,F分别是BC,AC的中点,=a,=b.
(1)用a,b表示;
(2)求证:B,E,F三点共线.
(1)解如
图,延长AD到点G,使=2,连接BG,CG,得到平行四边形ABGC,则=a+b,(a+b),(a+b),b,(a+b)-a=(b-2a),b-a=(b-2a).
(2)证明由(1)知,,∴共线.
又有公共点B,∴B,E,F三点共线.
关键能力提升练
10.在平行四边形ABCD中,若,AE交BD于点F,则=( )
A. B.
C. D.
答案D
解析如图,∵,∴E为CD的中点.设=λ=λ=λ=+λ.∵B,F,D三点共线,∴+λ=1,解得λ=.∴.故选D.
11.
如图,在△ABC中,设=a,=b,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为P.若=ma+nb,则m+n=( )
A. B.
C. D.1
答案C
解析由题意可得=2=2,
=a=+2, ①
=b, ②
由①②求得a+b.
再由=ma+nb可得m=,n=,m+n=.
12.
我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了,勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的,被后人称为“赵爽弦图”.“赵爽弦图”是数形结合思想的体现,是中国古代数学的图腾,还被用作第24届国际数学家大会的会徽.如图,大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的.若=a,=b,E为BF的中点,则=( )
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
答案A
解析设
BE=m,则AE=BF=2BE=2m,在Rt△ABE中,可得AB=m.
过点E作EH⊥AB于点H,则EH=m,EH∥AD,
AH=m.
所以AH=AB,HE=AD.
所以a+b.故选A.
13.如图,在平面直角坐标系中,分别取与x轴,y轴方向相同的两个单位向量i,j组成基底,对于平面内的一个向量a.若|a|=2,θ=45°,则向量a的坐标为 .
答案()
解析由题意知a=(2cos 45°,2sin 45°)=().
14.
如图,平面内有三个向量,其中的夹角为120°,的夹角为30°,且||=||=1,||=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为 .
答案6
解析如图,作平行四边形ODCE,则.
在Rt△OCD中,因为||=2,∠COD=30°,∠OCD=90°,所以||=4,||=2,故=4=2,
即λ=4,μ=2,所以λ+μ=6.
15.如图,在△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN交于点P,求的值.
解设=e1,=e2,则=-3e2-e1,=2e1+e2.∵A,P,M和B,P,N分别共线,∴存在实数λ,μ,使=λ=-λe1-3λe2,
=μ=2μe1+μe2,
∴=(λ+2μ)e1+(3λ+μ)e2.
又=2e1+3e2,
∴解得
∴,即=4∶1.
学科素养创新练
16.
(2021山东潍坊月考)如图所示,在△ABO中,,AD与BC相交于点M.设=a,=b.
(1)试用向量a,b表示;
(2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M.设=λ=μ,其中λ,μ∈R.当EF与AD重合时,λ=1,μ=,此时=5;当EF与BC重合时,λ=,μ=1,此时=5.能否由此得出一般结论:不论E,F在线段AC,BD上如何变动,等式=5恒成立,请说明理由.
解(1)设=ma+nb(m∈R,n∈R),由A,D,M三点共线,可知存在α(α∈R,且α≠-1)使得=α,则=α().
又,所以a+b,
所以即m+2n=1. ①
由B,C,M三点共线,可知存在β(β∈R,且β≠-1)使得=β,则=β().
又,
所以a+ b,
所以即3m+n=1. ②
由①②得m=,n=,故a+b.
(2)能得出结论.
理由如下:由于E,M,F三点共线,则存在实数γ(γ∈R,且γ≠-1)使得=γ,则=γ(),
于是.
又=λ=μ,
所以a+b,第六章平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示
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必备知识基础练
1.(多选题)下列各对向量不共线的是( )
A.a=(2,3),b=(3,-2)
B.a=(2,3),b=(4,-6)
C.a=(,-1),b=(1,)
D.a=(1,),b=(,2)
答案ABC
解析A,B,C中各对向量均不满足向量共线定理,D中b=a,两个向量共线.
2.(2021四川模拟)向量a=(2,3),b=(1,-1),则2a+b=( )
A.10 B.(5,5)
C.(5,6) D.(5,7)
答案B
解析∵向量a=(2,3),b=(1,-1),∴2a+b=(5,5),故选B.
3.已知a=(-5,6),b=(-3,2),c=(x,y),若a-3b+2c=0,则c等于( )
A.(-2,6) B.(-4,0)
C.(7,6) D.(-2,0)
答案D
解析∵a-3b+2c=0,
∴(-5,6)-(-9,6)+(2x,2y)=(0,0),
即
即c=(-2,0).故选D.
4.已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若a-2b与非零向量ma+nb(m,n∈R)共线,则等于( )
A.-2 B.2 C.- D.
答案C
解析因为向量a=(2,3),b=(-1,2),
所以a-2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),ma+nb=(2m-n,3m+2n).
因为a-2b与非零向量ma+nb共线,
所以,解得14m=-7n,=-.
5.已知四边形ABCD的三个顶A(0,2),B(-1,-2),C(3,1),且=2,则顶D的坐标为( )
A. B.
C.(3,2) D.(1,3)
答案A
解析设顶点D的坐标为(x,y),
因为=(4,3),=(x,y-2),且=2,
所以所以所以选A.
6.已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ= .
答案
解析2a+b=2(1,2)+(2,-2)=(4,2),c=(1,λ),
由c∥(2a+b),得4λ-2=0,得λ=.
7.已知平面向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,则3a+2b= .
答案(14,7)
解析因为向量a=(2,1),b=(m,2),且a∥b,
所以1·m-2×2=0,解得m=4.所以b=(4,2).
故3a+2b=(6,3)+(8,4)=(14,7).
8.已知=(-2,m),=(n,1),=(5,-1),若点A,B,C在同一条直线上,且m=2n,则m+n= .
答案9或
解析 =(n,1)-(-2,m)=(n+2,1-m),=(5,-1)-(n,1)=(5-n,-2).
因为A,B,C共线,所以共线,
所以-2(n+2)=(1-m)(5-n). ①
又m=2n, ②
解①②组成的方程组得
所以m+n=9或m+n=.
9.(2021天津南开校级月考)已知a=(x+3,x2-3x-4),A(1,2),B(3,2).
(1)若=a,求x的值;
(2)若∥a,求x的值.
解(1)=(2,0),因为=a,
所以解得x=-1.
(2)因为∥a,所以x2-3x-4=0,解得x=-1或4.
10.已知点A(-1,2),B(2,8),及=-,求点C,D和的坐标.
解设点C,D的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),
则=(x1+1,y1-2),=(3,6),=(-1-x2,2-y2),=(-3,-6).
∵=-,∴(x1+1,y1-2)=(3,6),(-1-x2,2-y2)=-(-3,-6),即(x1+1,y1-2)=(1,2),(-1-x2,2-y2)=(1,2).
∴
∴点C,D的坐标分别为(0,4)和(-2,0).
故=(-2,-4).
11.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4).设=a,=b,=c,且=3c,=-2b.
(1)求3a+b-3c;
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n;
(3)求M,N的坐标及的坐标.
解a==(5,-5),b==(-6,-3),c==(1,8).
(1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8)=(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
(2)∵a=mb+nc,∴(5,-5)=m(-6,-3)+n(1,8).
∴
(3)设M(x1,y1),由=3c,
得(x1+3,y1+4)=3(1,8),∴
∴x1=0,y1=20.∴M(0,20).
设N(x2,y2),由=-2b,
得(x2+3,y2+4)=-2(-6,-3).
∴解得
∴N(9,2).∴=(9,-18).
12.
如图,已知在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),,AD与BC相交于点M,求点M的坐标.
解因为(0,5)=,
所以C.因为(4,3)=,
所以D.
设M(x,y),则=(x,y-5),-(0,5)=.
因为,所以-x-2(y-5)=0,
即7x+4y=20. ①
因为,
所以x-4=0,即7x-16y=-20. ②
联立①②,解得x=,y=2,故点M的坐标为.
关键能力提升练
13.(多选题)已知向量a=(2,x2),b=(-1,y2-2).若a,b共线,则y的值可以是( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
答案ABC
解析∵a=(2,x2),b=(-1,y2-2),且a,b共线,
∴2(y2-2)-(-1)x2=0,
∴x2=4-2y2≥0,整理得y2≤2,解得-≤y≤.
∴y的取值范围是[-].
14.已知点A(,1),B(0,0),C(,0),∠BAC的平分线AE与BC相交于点E,设=λ,则实数λ等于( )
A.2 B. C.-3 D.-
答案C
解析如图,由已知得,∠ABC=∠BAE=∠EAC=30°,∠AEC=60°,||=1,
∴||=.
∵=λ,λ<0,
∴|λ|==3.
∴λ=-3.
15.设向量a=(a1,b1),b=(a2,b2),定义一种运算“ ”,向量a b=(a1,b1) (a2,b2)=(a2b1,a1b2).已知m=,n=,点P(x,y)在y=sin x的图象上运动,点Q在y=f(x)的图象上运动且满足=m +n(其中O为坐标原点),则y=f(x)的最小值为 ( )
A.-1 B.-2 C.2 D.
答案B
解析由题意知,点P的坐标为(x,sin x),
则=m +n=.又因为点Q在y=f(x)的图象上运动,所以点Q的坐标满足y=f(x)的解析式,即y=2sin.所以函数y=f(x)的最小值为-2.
16.设向量绕点O逆时针旋转得向量,且2=(7,9),且向量= .
答案
解析设=(m,n),则=(-n,m),
所以2=(2m-n,2n+m)=(7,9),即解得因此.
17.已知向量a=(2,3),b=(-1,2).若ma+4b与a-2b共线,则m的值为 .
答案-2
解析因为ma+4b=m(2,3)+4(-1,2)=(2m-4,3m+8),a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1),向量ma+4b与a-2b共线,所以-(2m-4)=4(3m+8),解得m=-2.
18.(2021江苏南京期末)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,1),B(-2,2),C(-1,4).
(1)以线段AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,求向量的坐标;
(2)设实数t满足(AB-t)∥,求t的值.
解(1)由向量加法的平行四边形法则知,
=(-5,1)+(-4,3)=(-9,4).
(2)-t=(-5,1)-(-t,4t)=(t-5,1-4t),=(-1,4)-(-2,2)=(1,2).
因为(-t)∥,所以(t-5)×2=1-4t,
解得t=.
19.已知O是△ABC内一点,∠AOB=150°,∠BOC=90°,设=a,=b,=c且|a|=2,|b|=1,|c|=3,求向量的坐标.
解如
图所示,以点O为原点,所在直线为x轴,建立平面直角坐标系.
∵||=1,∠AOB=150°,
∴B(-cos 30°,sin 30°),
∴B.
∵||=3,
∴C(-3sin 30°,-3cos 30°),
即C.又A(2,0),
∴-(2,0)=,
=.
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20.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).
(1)当k为何值时,a∥(b+c)
(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.
解(1)∵a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),
∴b+c=(10,k+7),
又a∥(b+c),
∴1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,
∴当k=13时,a∥(b+c).
(2)当k=1时,b=(2,1).第六章平面向量及其应用
6.3 平面向量基本定理及坐标表示
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
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必备知识基础练
1.(多选题)设向量a=(1,0),b=,则下列结论不正确的是( )
A.|a|=|b| B.a·b=
C.a∥b D.a-b与b垂直
答案ABC
解析A项,|a|=1,|b|=,故|a|≠|b|;
B项,a·b=1×+0×;
C项,1×≠0×;
D项,a-b=,(a-b)·b==0,故a-b与b垂直.
2.在平行四边形ABCD中,=(1,0),=(2,2),则等于( )
A.4 B.-4 C.2 D.-2
答案A
解析如
图,由向量的加减,可得=(1,2),-2=(0,2).
故=(1,2)·(0,2)=0+4=4.
3.在矩形ABCD中,AB=2,AD=2,点E为线段BC的中点,点F为线段CD上的动点,则的取值范围是( )
A.[2,14] B.[0,12]
C.[0,6] D.[2,8]
答案A
解析如
图,A(0,0),E(2,1),
设F(x,2)(0≤x≤2),
所以=(2,1),=(x,2),
因此=2x+2,
设f(x)=2x+2(0≤x≤2),f(x)为增函数,
则f(0)=2,f(2)=14,故2≤f(x)≤14,的取值范围是[2,14].
4.(2021河南模拟)若非零向量a,b满足|a|=3|b|,(2a+3b)⊥b,则a与b的夹角为( )
A. B. C. D.
答案C
解析根据题意,设a与b的夹角为θ,|b|=t(t>0),则|a|=3|b|=3t.若(2a+3b)⊥b,则(2a+3b)·b=2a·b+3b2=6t2cos θ+3t2=0,即cos θ=-.又由0≤θ≤π,则θ=.故选C.
5.设向量a=(x+1,-x),b=(1,2),且a⊥b,则|a|= .
答案
解析因为a⊥b,所以a·b=0,则x+1+(-x)×2=0,解得x=1,则|a|=.
6.已知a=(-1,3),b=(1,y).若a与b的夹角为45°,则y= .
答案2
解析a·b=-1+3y,|a|=,|b|=,
∵a与b的夹角为45°,
∴cos 45°=.
解得y=2或y=-(舍去).
7.已知平面向量a=(1,x),b=(2x+3,-x)(x∈R).
(1)若a∥b,求|a-b|;
(2)若a与b的夹角为锐角,求x的取值范围.
解(1)因为a∥b,所以-x-x(2x+3)=0,
解得x=0或x=-2.
当x=0时,a=(1,0),b=(3,0),
所以a-b=(-2,0),则|a-b|=2.
当x=-2时,a=(1,-2),b=(-1,2),
所以a-b=(2,-4),则|a-b|=2.
综上,|a-b|=2或2.
(2)因为a与b的夹角为锐角,
所以a·b>0,即2x+3-x2>0,解得-1又当x=0时a∥b,故x的取值范围是(-1,0)∪(0,3).
8.已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).
(1)求证:AB⊥AD;
(2)若四边形ABCD为矩形,求点C的坐标及矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值.
证明∵A(2,1),B(3,2),D(-1,4),
∴=(1,1),=(-3,3).
又=1×(-3)+1×3=0,
∴,∴AB⊥AD.
(2)解∵,四边形ABCD为矩形,∴.
设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).
又=(1,1),∴解得
∴点C的坐标为(0,5).
∴=(-2,4),=(-4,2),
∴||=2,||=2=8+8=16.设的夹角为θ,则cos θ=.故矩形ABCD 的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.
关键能力提升练
9.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,梯形所在平面内一点P满足=2,则=( )
A.- B.-1 C.-2 D.-2
答案B
解析建
立如图所示的平面直角坐标系,因为AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,所以B(0,0),A(0,2),C(2,0),D(1,2),所以=(0,2),=(2,0),因为=2,所以2=(0,2)+(2,0)=(2,2),故=(1,1),故P(1,1),=(0,1),=(1,-1),
所以=0×1+1×(-1)=-1.
10.已知a,b,c均为单位向量,且|a+b|=1,则(a-b)·c的取值范围是( )
A.[0,1] B.[-1,1]
C.[-] D.[0,]
答案C
解析由a,b为单位向量和|a+b|=1的几何意义,可知|a-b|=,设a-b与c的夹角为θ,则(a-b)·c=|a-b||c|·cos θ=cos θ,∵cos θ∈[-1,1],
∴(a-b)·c的取值范围为[-].
11.已知在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ADC=90°,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为( )
A.3 B.5 C.7 D.8
答案B
解析如
图,以D为原点,DA,DC分别为x,y轴建立平面直角坐标系,设DC=a,
则A(2,0),B(1,a),C(0,a),D(0,0),设P(0,x)(0≤x≤a),
则+3=(2,-x)+3(1,a-x)=(5,3a-4x),
所以|+3|=≥5,当且仅当x=a时,等号成立.故|+3|的最小值为5.
12.(多选题)(2021江苏南京期中)如图,4×6的方格纸中有一个向量(以图中的格点O为起点,格点A为终点),则下列说法正确的有( )
A.分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有11个
B.满足||=的格点B共有3个
C.满足=1的格点B共有4个
D.存在格点B,C,使得
答案BCD
解析对于A,分别以图中的格点为起点和终点的向量中,与是相反向量的共有18个,故A错误;
以O为原点建立平面直角坐标系,则A(1,2),设B(m,n)(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z).
对于B,若||=,
则(1-m)2+(2-n)2=10(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),得B的坐标可以为(0,-1),(2,-1),(-2,1),共三个,故B正确;
对于C,若=1,则m+2n=1(-3≤m≤3,-2≤n≤2,且m∈Z,n∈Z),
得B的坐标可以为(1,0),(3,-1),(-1,1),(-3,2),共4个,故C正确;
对于D,根据向量加法的平行四边形法则可知,当B,C的坐标满足B(1,0),C(0,2)或B(0,2),C(1,0)时,成立,故D正确.
故选BCD.
13.已知向量a=(,1),b是不平行于x轴的单位向量,且a·b=,则b= .
答案
解析设b=(x,y).
∵|b|==1,∴x2+y2=1.
∵a·b=x+y=,∴x2+[(1-x)]2=1.
∴4x2-6x+2=0.
∴2x2-3x+1=0.
∴x1=1,x2=,∴y1=0,y2=.
∵当b=(1,0)时,b是与x轴平行的向量,舍去,
∴b=.
14.如图,在△ABC中,=0,||=8,||=6,l为线段BC的垂直平分线,l与BC交于点D,E为l上异于D的任意一点.
(1)求的值;
(2)判断的值是否为一个常数,并说明理由.
解(1)以点D为坐标原点,BC所在直线为x轴,直线l为y轴建立平面直角坐标系(图略),由题意易知|BC|=10,则D(0,0),B(-5,0),C(5,0),A,
此时=(-10,0),
所以=-×(-10)+×0=14.
(2)是一个常数.理由如下:设点E的坐标为(0,y)(y≠0),此时,
所以=-×(-10)+×0=14,为常数,故的值是一个常数.
15.已知向量a=(1,2),b=(cos α,sin α),设m=a+tb(t∈R).
(1)若α=,求当|m|取最小值时实数t的值;
(2)若a⊥b,问:是否存在实数t,使得向量a-b与向量m的夹角为 若存在,求出实数t;若不存在,请说明理由.
解(1)当α=时,b=,a·b=,
∴|m|=
=,
∴当t=-时,|m|取得最小值.
(2)存在.假设存在满足条件的实数t.
由条件得cos,
∵a⊥b,∴|a-b|=,
|a+tb|=,
(a-b)·(a+tb)=5-t,∴.
∴t2+5t-5=0,且t<5,得t=.
∴存在t=满足条件.
学科素养创新练
16.已知向量a,b满足|a|=,b=(1,-3),且(2a+b)⊥b.
(1)求向量a的坐标;
(2)求向量a与b的夹角.
解(1)设a=(x,y),
因为|a|=,则, ①
又因为b=(1,-3),且(2a+b)⊥b,
2a+b=2(x,y)+(1,-3)=(2x+1,2y-3),
所以(2x+1,2y-3)·(1,-3)=2x+1+(2y-3)×(-3)=0,即x-3y+5=0, ②
由①②解得
所以a=(1,2)或a=(-2,1).
(2)设向量a与b的夹角为θ,
所以cos θ==-
或cos θ==-,
因为0≤θ≤π,所以向量a与b的夹角θ=.
17.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.
(1)若m⊥n,求tan x的值;
(2)若m与n的夹角为,求x的值.
解(1)∵m=,n=(sin x,cos x),m⊥n,
∴m·n=sin x-cos x=0,
即sin x=cos x,∴tan x==1.
(2)由题意知,|m|==1,|n|==1,
m·n=sin x-cos x=sin.
而m·n=|m|·|n|cos=cos.
∴sin.
