第七章复数
7.1 复数的概念
7.1.1 数系的扩充和复数的概念
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021陕西阎良期末)设复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,则实数a=( )
A.-3 B.-2 C.2 D.3
答案A
解析∵复数z=a-2+(2a+1)i的实部与虚部相等,∴a-2=2a+1,解得a=-3.故选A.
2.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,则实数m的值为( )
A.-1 B.2
C.1 D.-1或2
答案D
解析因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为实数,所以m2-m-2=0,解得m=-1或m=2.
3.复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则实数m的值是( )
A.3 B.2
C.2或3 D.0或2或3
答案B
解析因为复数(m2-5m+6)+(m2-3m)i是纯虚数,所以m2-5m+6=0,m2-3m≠0,解得m=2.
4.(多选题)已知i为虚数单位,下列说法正确的是( )
A.若a≠0,则ai是纯虚数
B.虚部为-的虚数有无数个
C.实数集是复数集的真子集
D.两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等
答案BCD
解析对于A,若a=i,则ai=i2=-1,不是纯虚数,故A错误;对于B,虚部为-的虚数可以表示为m-i(m∈R),有无数个,故B正确;根据复数的分类,判断C正确;两个复数相等一定能推出实部相等,必要性成立,但两个复数的实部相等推不出两个复数相等,充分性不成立,故D正确.
5.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案B
解析“ab=0”则a=0或b=0,“复数a-bi为纯虚数”则a=0且b≠0,那么“ab=0”是“复数a-bi为纯虚数”的必要不充分条件.
6.若(x-2y)i=2x+1+3i,则实数x,y的值分别为 .
答案-,-
解析依题意得所以
7.若复数z=m+(m2-1)i是负实数,则实数m的值为 .
答案-1
解析依题意可知m2-1=0且m<0,因此m=-1.
8.已知关于实数x,y的方程组:
有实数解,求实数a,b.
解由①式,根据复数相等的充要条件有
解得 (*)
将(*)代入②式,得5+4a-(6+b)i=9-8i,且a,b∈R,所以有解得a=1,b=2.
关键能力提升练
9.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是( )
A.3-3i B.3+i
C.-i D.i
答案A
解析3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.
10.(多选题)已知i为虚数单位,下列命题中正确的是 ( )
A.若x,y∈C,则x+yi=1+i的充要条件是x=y=1
B.(a2+1)i(a∈R)是纯虚数
C.若=0,则z1=z2=0
D.当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i是纯虚数
答案BD
解析取x=i,y=-i,则x+yi=1+i,但不满足x=y=1,故A错误;
a∈R,a2+1>0恒成立,所以(a2+1)i是纯虚数,故B正确;
取z1=i,z2=1,则=0,但z1=z2=0不成立,故C错误;
当m=4时,复数lg(m2-2m-7)+(m2+5m+6)i=42i是纯虚数,故D正确.
11.(多选题)(2021江苏相城校级期中)已知复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,则α的取值可能为( )
A. B. C.π D.
答案BC
解析∵复数z=3cos α+icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部之和为-2,
∴3cos α+cos 2α=-2,
即2cos2α+3cos α+1=0,
解得cos α=-或cos α=-1.
∵0<α<2π,
∴α=或π.
故选BC.
12.已知z1=-3-4i,z2=(n2-3m-1)+(n2-m-6)i,且z1=z2,则实数m= ,n= .
答案2 ±2
解析由复数相等的充要条件有解得
13.下列说法:
①若a∈R,则(a+1)i是纯虚数;②若(x2-1)+(x2+3x+2)i(x∈R)是纯虚数,则x=±1;③两个虚数不能比较大小.
其中说法正确的序号是 .
答案③
解析当a=-1时,(a+1)i=0,故①错误;若(x2-1)+(x2+3x+2)i是纯虚数,则即x=1,故②错误;两个虚数不能比较大小,故③正确.
14.已知复数z=-x+(x2-4x+3)i>0,求实数x的值.
解∵z>0,∴z∈R.∴x2-4x+3=0,解得x=1或x=3.
∵z>0,∴-x>0.对于不等式-x>0,x=1适合,x=3不适合,∴x=1.
学科素养创新练
15.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z=( )
A.3+i B.3-i
C.-3-i D.-3+i
答案B
解析由题意,知n2+(m+2i)n+2+2i=0,第七章复数
7.1 复数的概念
7.1.2 复数的几何意义
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)给出下列复平面内的点,这些点中对应的复数为虚数的是( )
A.(3,1) B.(-2,0)
C.(0,4) D.(-1,-5)
答案ACD
解析易知选项A,B,C,D中的点对应的复数分别为3+i,-2,4i,-1-5i,因此A,C,D中的点对应的复数为虚数.
2.(2021安徽瑶海月考)若复数z=(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,则z的共轭复数是( )
A.-i B.i C.-2i D.2i
答案B
解析因为复数z=(a2-3a+2)+(a-2)i是纯虚数,所以a2-3a+2=0且a-2≠0,解得a=1,所以z=-i,故z的共轭复数是i.故选B.
3.已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,则实数x的取值范围是( )
A.
B.(-∞,2)
C.
D.∪(2,+∞)
答案A
解析由条件知,(x-1)2+(2x-1)2<10,
所以5x2-6x-8<0,故-
4.已知0A.(1,5) B.(1,3) C.(1,) D.(1,)
答案C
解析由已知,得||=.由05.已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是 .
答案(1,2)
解析由已知,得解得16.已知i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2= .
答案-2+3i
解析在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)与点(a,b)一一对应.因为点(a,b)关于原点对称的点为(-a,-b),则复数z2=-2+3i.
7.若复数z=(m2-9)+(m2+2m-3)i是纯虚数,其中m∈R,则|z|= ,= .
答案12 -12i
解析由条件知所以m=3,因此z=12i,故|z|=12,=-12i.
8.设z∈C,则满足条件|z|=|3+4i|的复数z在复平面上对应的点Z的集合是什么图形
解(方法一)由|z|=|3+4i|得|z|=5.这表明向量的模等于5,即点Z到原点的距离等于5.因此,满足条件的点Z的集合是以原点O为圆心,以5为半径的圆.
(方法二)设z=x+yi(x,y∈R),则|z|2=x2+y2.
因为|3+4i|=5,所以由|z|=|3+4i|得x2+y2=25,故点Z的集合是以原点为圆心,以5为半径的圆.
关键能力提升练
9.(多选题)设复数z满足z=-1-2i,i为虚数单位,则下列结论正确的是( )
A.|z|=
B.复数z在复平面内对应的点在第四象限
C.z的共轭复数为-1+2i
D.复数z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
答案AC
解析|z|=,A正确;复数z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,B不正确;z的共轭复数为-1+2i,C正确;复数z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,D不正确.
10.(多选题)(2021江苏泰州模拟)设z为复数,在复平面内z,对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列说法正确的有( )
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,
D.当z为实数时,
答案ABD
解析对于A,当z为纯虚数时,设z=bi(b∈R且b≠0),则P(0,b),O(0,0),Q(0,-b)三点共线,故A正确;对于B,当z=1+i时,=1-i,则P(1,1),Q(1,-1),|OP|=|OQ|,且=1×1-1×1=0,则△POQ为等腰直角三角形,故B正确;对于C,取z=1,则z==1,有,故C错误;对于D,当z为实数时,z=,则,故D正确.故选ABD.
11.设z为纯虚数,且|z-1|=|-1+i|,则复数z= .
答案±i
解析因为z为纯虚数,所以设z=ai(a∈R,且a≠0),
则|z-1|=|ai-1|=.
又因为|-1+i|=,所以,即a2=1,
所以a=±1,即z=±i.
12.(2021江苏连云港期末)已知平行四边形OABC的三个顶点O,A,C对应的复数为0,3+2i,-2+4i,则点B对应的复数为 .
答案1+6i
解析设点B对应的复数为x+yi(x,y∈R),
∵四边形OABC是平行四边形,∴.
又A(3,2),B(x,y),C(-2,4),
∴(x,y)=(3,2)+(-2,4)=(1,6),
即x=1,y=6,则点B所对应的复数为1+6i.
13.在复平面内,已知a∈R,则复数z=(a2-2a+4)-(a2-2a+2)i所对应的点在第几象限 复数z所对应的点的轨迹是什么
解∵a2-2a+4=(a-1)2+3≥3,
-(a2-2a+2)=-(a-1)2-1≤-1,
∴z的实部为正数,虚部为负数,
∴复数z所对应的点在第四象限.
设z=x+yi(x,y∈R),则
消去a2-2a,得y=-x+2(x≥3),∴复数z对应点的轨迹是一条射线,其方程为y=-x+2(x≥3).
学科素养创新练
14.已知z1=x2+i,z2=(x2+a)i对任意的x∈R均有|z1|>|z2|成立,试求实数a的取值范围.
解∵|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>|z2|,
∴>|x2+a|对x∈R恒成立等价于(1-2a)x2+(1-a2)>0恒成立.
若1-2a=0,解得a=,
当a=时,0·x2+>0恒成立.
若1-2a≠0,则第七章复数
7.2 复数的四则运算
7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案C
解析z1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.
2.设z1=2+bi(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+bi为( )
A.1+i B.2+i C.3 D.-2-i
答案D
解析因为z1+z2=(2+bi)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以于是故a+bi=-2-i.
3.复数z1=a+4i,z2=-3+bi,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为( )
A.a=-3,b=-4 B.a=-3,b=4
C.a=3,b=-4 D.a=3,b=4
答案A
解析由题意可知z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.
4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是( )
A.2+4i B.-2+4i
C.-4+2i D.4-2i
答案D
解析依题意有,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.
5.若z1=2+i,z2=3+ai(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为( )
A.3 B.2 C.1 D.-1
答案D
解析由于z1+z2=2+i+3+ai=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故a=-1.
6.(2021安徽期中)若复数z1=3+4i,z2=-2+3i,则z1-z2在复平面内对应的点位于第 象限.
答案一
解析∵z1=3+4i,z2=-2+3i,
∴z1-z2=(3+4i)-(-2+3i)=5+i,
∴z1-z2在复平面内对应的点的坐标为(5,1),位于第一象限.
7.已知z是复数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z= .
答案3i
解析设z=a+bi(a,b∈R),则a+bi+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.
8.设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i.若z1+z2是虚数,求m的取值范围.
解∵z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,
∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i
=+(m2-2m-15)i.
∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2,
解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).
所以m的取值范围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).
关键能力提升练
9.(2019全国Ⅰ卷)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则( )
A.(x+1)2+y2=1 B.(x-1)2+y2=1
C.x2+(y-1)2=1 D.x2+(y+1)2=1
答案C
解析设z=x+yi(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,
所以|z-i|==1,
则x2+(y-1)2=1.故选C.
10.若|z|+z=3+i,则z=( )
A.1-i B.1+i
C.+i D.-+i
答案C
解析设复数z=x+yi(x,y∈R),
依题意有+x+yi=3+i,
因此解得故z=+i.
11.设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为 ( )
A.0 B.1 C. D.
答案C
解析由|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为.
12.(多选题)(2021广东东莞期末)已知复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的可能取值有( )
A.0 B.1 C.2 D.3
答案BC
解析复数z满足|z|=1,则|z-1-i|的几何意义是以原点为圆心的单位圆上的点与复平面上的点(1,1)的距离,所以最大值为原点与(1,1)的距离加半径,即+1=+1,最小值为原点与(1,1)的距离减去半径,即-1=-1,所以|z-1-i|的取值范围为[-1,+1],故1,2满足题意,0,3不满足.故选BC.
13.复数z1=-2mi,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m= ,对应的点位于第 象限.
答案2 三
解析z1+z2=(-2mi)+(-m+m2i)
=(-m)+(m2-2m)i.
∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.
∴解得m=2.
∴z2=-2+4i,=-2-4i,
对应点为(-2,-4),位于第三象限.
14.(2021安徽黄山期中)已知O为坐标原点,向量分别对应复数z1,z2,且z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i(a∈R),+z2是实数.求:
(1)实数a的值;
(2)以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积.
解(1)由z1=+(10-a2)i,得-(10-a2)i,则+z2=+[(a2-10)+(2a-5)]i的虚部为0,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.
又a+5≠0,∴a=3.
(2)由(1)可得z1=+i,z2=-1+i,
则=,1,=(-1,1),
则||=,||=,
∴cos<>=,
∴sin<>=,
∴以OZ1,OZ2为邻边的平行四边形的面积
S=||||sin<>=.
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15.复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.锐角三角形 D.钝角三角形第七章复数
7.2 复数的四则运算
7.2.2 复数的乘、除运算
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2019全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则=( )
A.1+2i B.-1+2i
C.1-2i D.-1-2i
答案D
解析z=2i+i2=-1+2i,则=-1-2i.故选D.
2.若z=1+2i,则=( )
A.1 B.-1 C.i D.-i
答案C
解析=i,故选C.
3.(2019全国Ⅲ卷)若z(1+i)=2i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i
答案D
解析z==1+i.故选D.
4.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1是实数,则实数a等于( )
A. B. C.- D.-
答案A
解析z1=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z1是实数,所以4a-3=0,即a=.
5.设z=+2i,则|z|=( )
A.0 B. C.1 D.
答案C
解析z=+2i=+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C.
6.已知复数z满足=1+i,则在复平面内,复数z对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
答案D
解析∵=1+i,∴z-2==-i,∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D.
7.(2021山东枣庄期末)方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x= .
答案-1±i
解析由求根公式可得,x==-1±i.
8.已知复数z=(i是虚数单位),则z2= ;|z|= .
答案2i
解析z==-1-i,
∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=.
9.计算:
(1)(2-i)(3+i);
(2).
解(1)(2-i)(3+i)= (7-i)=i.
(2)=-2-2i.
10.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
(2)试判断x=1-i是否为方程的根.
解(1)因为1+i是方程x2+bx+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,
于是解得
故b的值为-2,c的值为2.
(2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0,
把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)+2=0,显然方程成立,
所以x=1-i也是方程的根.
关键能力提升练
11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是 ( )
A.若|z1-z2|=0,则
B.若z1=,则=z2
C.若|z1|=|z2|,则z1=z2
D.若|z1|=|z2|,则
答案ABC
解析A,|z1-z2|=0 z1-z2=0 z1=z2 ,真命题;
B,z1==z2,真命题;
C,|z1|=|z2| |z1|2=|z2|2 z1=z2,真命题;
D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然=1,=-1,即,假命题.
12.若复数z=,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是( )
A.z的虚部为-i
B.|z|=2
C.z的共轭复数为-1-i
D.z2为纯虚数
答案D
解析z==1-i.z的虚部为-1,A错误;|z|=,B错误;=1+i,C错误;z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确.
13.若复数z=为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+1+i的虚部为( )
A.2i B.2 C.3i D.3
答案B
解析∵为纯虚数,∴=0且≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i,其虚部为2.故选B.
14.(多选题)(2021江苏邳州校级期中)已知z1与z2是共轭复数,以下说法一定正确的是( )
A.>|z2|2 B.z1z2=|z1z2|
C.z1+z2∈R D.=z1
答案BC
解析设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-bi.=a2-b2+2abi,当ab≠0时,为虚数,由虚数与实数不能比较大小可知A错误;z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1z2|=|a2+b2|=a2+b2,故B正确;z1+z2=a+bi+a-bi=2a∈R,故C正确;,若a2+b2≠1,则≠a+bi,故D错误.故选BC.
15.(2021上海杨浦校级三模)若复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点在直线y=x上,则实数a= .
答案3
解析∵(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i,
∴复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3.
16.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实数根,则实数a的值等于 .
答案11或-
解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
所以解得a=11或-.
17.已知复数z满足(1+2i)=4+3i.
(1)求复数z;
(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.
解∵(1+2i)=4+3i,
∴=2-i.
∴z=2+i.
(2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4-(a+1)2+4(a+1)i,
∵复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,
∴
解得-118.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根.
(1)求p+q的值;
(2)复数w满足zw是实数,且|w|=2,求复数w的值.
解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1.
(2)设w=a+bi(a,b∈R).
由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.
又|w|=2,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.
学科素养创新练
19.设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围;
(2)设u=,证明u为纯虚数.
(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+=x+yi+
=x+yi+=x+i.
因为ω是实数且y≠0,所以y-=0,
所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.
因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-(2)证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,
由(1)知,x2+y2=1,第七章复数
7.3* 复数的三角表示
7.3.1 复数的三角表示式
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(2021河南郑州期末)已知z=cos+isin,则下列结论正确的是( )
A.z2的实部为1 B.z2=z-1
C.z2= D.|z2|=2
答案B
解析z=cos+isini.z2=i2=i=-i,其实部为-,故A错误;z-1=-i=z2,故B正确;i≠z2,故C错误;|z2|=-2+2=1,故D错误.故选B.
2.将复数z=-2+2i化成三角形式是 .
答案4
解析模长|z|==4,设辐角为θ,tan θ=-,且点(-2,2)在第二象限,得辐角主值为π,故z=4.
3.[2(cos 60°+isin 60°)]3= .
答案-8
解析原式=23[cos(60°×3)+isin(60°×3)]
=8(cos 180°+isin 180°)=-8.
4.计算:4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)].
解4(cos 80°+isin 80°)÷[2(cos 320°+isin 320°)]
=[cos(80°-320°)+isin(80°-320°)]
=2[cos(-240°)+isin(-240°)]
=2=-1+i.
5.已知z1=,z2=6cos+isin,计算z1z2,并说明其几何意义.
解z1z2=×6×cos+isin
=3=3i.
首先作复数z1对应的向量,然后将绕点O按逆时针方向旋转,再将其长度伸长为原来的6倍,得到的向量即为z1z2所对应向量.
6.已知复数z=r(cos θ+isin θ),r≠0,求的三角形式.
解[cos(0°-θ)+isin(0°-θ)]=[cos(-θ)+isin(-θ)].
关键能力提升练
7.复数z=-1+的辐角主值为 .
答案
解析因为=i,所以=i2 021=i.
所以z=-1+i=cos+isin,
所以复数z的辐角主值为.
8.÷(3i)= .
答案-i
解析原式=÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin÷3cos+isin=cos+isin=cos+isin==-i.
9.莱昂哈德·欧拉发现并证明了欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ,从而建立了三角函数和指数函数的关系.若将其中的θ取作π就得到了欧拉恒等式eπi+1=0,它是数学里令人着迷的一个公式,它将数学里最重要的几个量联系起来:两个超越数(自然对数的底数e,圆周率π),两个单位(虚数单位i,自然数单位1)以及0.请你根据欧拉公式:eiθ=cos θ+isin θ,解决以下问题:
(1)试将复数写成a+bi(a,b∈R,i是虚数单位)的形式;
(2)试求复数的模.
解(1)根据欧拉公式可得=cos+isini.
(2)由题意可知i+=1+i,
因此,.
10.已知复数z的模为2,实部为,求复数z的代数形式和三角形式.
解由题意,可设z=+bi(b∈R).
∵|z|=2,∴=2,解得b=±1,
∴z=+i或z=-i.
化为三角形式,得z=2cos+isin或z=2cos+isin.
11.计算下列各式的值:
(1)·2cos+isin;
(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°).
解(1)·2cos+isin
=cos+isin·2cos+isin
=2(cos π+isin π)=-2.
(2)3(cos 63°+isin 63°)·2(cos 99°+isin 99°)·5(cos 108°+isin 108°)
=30(cos 270°+isin 270°)=-30i.
12.求证:=cos θ-isin θ.
证明左边=
==cos(-θ)+isin(-θ)
=cos θ-isin θ=右边.
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13.已知k是实数,ω是非零复数,且满足arg ω=,(1+)2+(1+i)2=1+kω.
(1)求ω;
(2)设z=cos θ+isin θ,θ∈[0,2π),若|z-ω|=1+,求θ的值.
解(1)arg ω=,可设ω=a-ai(a∈R),
将其代入(1+)2+(1+i)2=1+kω,
化简可得2a+2a(1+a)i+2i=ka-kai,
∴解得
∴ω=-1+i.
(2)|z-ω|=|(cos θ+1)+(sin θ-1)i|
=
=.
∵|z-ω|=1+,∴=1+,