第八章立体几何初步
8.1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)关于简单几何体的结构特征,下列说法正确的是( )
A.棱柱的侧棱长都相等
B.棱锥的侧棱长都相等
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
答案ACD
解析根据棱锥的结构特征知,棱锥的侧棱相交于一点但长度不一定相等.
2.下面多面体中,是棱柱的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
答案D
解析根据棱柱的定义进行判定,知这4个图都满足.
3.如图,在三棱台A'B'C'-ABC中,截去三棱锥A'-ABC,则剩余部分是( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
答案B
解析剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'.
4.下列说法错误的有( )
①有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的多面体是棱锥;
②如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形,那么这个棱锥可能为六棱锥;
③如果一个棱柱的所有面都是长方形,那么这个棱柱是长方体.
A.0个 B.1个
C.2个 D.3个
答案C
解析有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥,即其余各面的三角形必须有公共的顶点,故①错误;当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时,各侧面构成平面图形,故②错误;若每个侧面都是长方形,则说明侧棱与底面垂直,又底面也是长方形,符合长方体的定义,故③正确.
5.在下列四个平面图形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的图形是( )
答案C
解析动手将四个选项中的平面图形折叠,看哪一个可以折叠围成正方体即可.
6.
如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A.棱柱
B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体
D.不能确定
答案A
解析如图.∵平面AA1D1D∥平面BB1C1C,∴有水的部分始终有两个平面平行,而其余各面都是平行四边形(水面与两平行平面的交线),因此呈棱柱形状.
7.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为 cm.
答案12
解析n棱柱有2n个顶点,因为此棱柱有10个顶点,所以此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱都相等,五条侧棱长的和为60 cm,可知每条侧棱长为12 cm.
8.一个几何体的平面展开图如图.
(1)该几何体是哪种几何体;
(2)该几何体中与“祝”字面相对的是哪个面 与“你”字面相对的是哪个面
解(1)该几何体是四棱台.
(2)与“祝”字面相对的面是“前”字面,与“你”字面相对的面是“程”字面.
9.按下列条件分割三棱台ABC-A1B1C1(不需要画图,各写出一种分割方法即可).
(1)一个三棱柱和一个多面体;
(2)三个三棱锥.
解(1)在AC上取点D,使DC=A1C1,在BC上取点E,使EC=B1C1,连接A1D,B1E,DE,则得三棱柱A1B1C1-DEC与一个多面体A1B1BEDA.(答案不唯一)
(2)连接AB1,AC1,BC1,则可分割成三棱锥A-A1B1C1,三棱锥A-BCC1,三棱锥A-BB1C1.(答案不唯一)
关键能力提升练
10.(多选题)(2021江苏宜兴期中)一个多面体的所有棱长都相等,那么这个多面体一定不可能是( )
A.三棱锥 B.四棱台
C.六棱锥 D.六面体
答案BC
解析当三棱锥是正四面体时,满足题意,所以A可能.棱台的上底面与下底面的边长不相等,所以不满足题意,所以B不可能.假设六棱锥的所有棱长都相等,则它的每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,所以六棱锥的顶点会在底面上,所以C不可能.当六面体是正方体时,满足题意,所以D有可能.故选BC.
11.设集合M={正四棱柱},N={长方体},P={直四棱柱},Q={正方体},则这四个集合之间的关系是( )
A.P N M Q B.Q M N P
C.P M N Q D.Q N M P
答案B
解析根据定义知,正方体是特殊的正四棱柱,
正四棱柱是特殊的长方体,
长方体是特殊的直四棱柱,
所以{正方体} {正四棱柱} {长方体} {直四棱柱},
故选B.
12.下图代表未折叠正方体的展开图,将其折叠起来,变成正方体后的图形是( )
答案B
解析将其折叠起来,变成正方体后的图形中,相邻的平面中三条线段是平行线,排除A,C;相邻平面只有两个是空白面,排除D;故选B.
13.下列说法正确的有 个.
①棱台的侧棱都相等;
②正棱锥的侧面是等边三角形;
③底面是等边三角形,侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥.
答案0
解析①错误,根据棱台的定义可知,棱台的侧棱不一定都相等,故此说法是错误的;
②错误,正棱锥的侧面都是等腰三角形,不一定是等边三角形,故错误;
③错误,由已知条件知,此三棱锥的三个侧面未必全等,所以不一定是正三棱锥.
如图所示的三棱锥中有AB=AD=BD=BC=CD,
满足底面△BCD为等边三角形,
三个侧面△ABD,△ABC,△ACD都是等腰三角形,
但AC长度不一定,三个侧面不一定全等,故错误.
14.如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问:
(1)折起后形成的几何体是什么几何体
(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
(3)每个面的三角形面积为多少
解(1)如图,折起后的几何体是三棱锥.
(2)这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)S△PEF=a2,
S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.
学科素养创新练
15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=4,A1A=5,现有一只甲壳虫从点A出发沿长方体表面爬行到点C1来获取食物,试画出它的最短爬行路线,并求其路程的最小值.
解把长方体的部分面展开,如图,有三种情况.第八章立体几何初步
8.1 基本立体图形
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征 简单组合体的结构特征
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.下列几何体中不是旋转体的是( )
答案D
2.日常生活中,常用到的螺母可以看成一个组合体,其结构特征是( )
A.一个棱柱中挖去一个棱柱
B.一个棱柱中挖去一个圆柱
C.一个圆柱中挖去一个棱锥
D.一个棱台中挖去一个圆柱
答案B
3.用一个平面去截一个几何体,得到的截面是四边形,这个几何体可能是( )
A.圆锥 B.圆柱
C.球体 D.以上都有可能
答案B
解析用一个平面去截一个圆锥,得到的截面图形不可能是四边形,故A不满足要求;用一个平面去截一个圆柱,得到的图形可能是圆、椭圆、四边形,故B满足要求;用一个平面去截一个球体得到的图形只能是圆,故C不满足要求,故选B.
4.如图,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台 B.②是圆台
C.③是棱锥 D.④不是棱柱
答案C
解析图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台.图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台.图③是棱锥.图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C.
5.已知一个圆锥的母线长为6,底面半径为3,用该圆锥截出一个圆台,所得圆台的母线长为4,则圆台的另一底面半径为 .
答案1
解析作轴截面如图,则.解得r=1.
6.一正方体内接于一个球,经过球心作一个截面,则截面的可能图形为 .(只填写序号)
答案①②③
解析当截面与正方体的某一面平行时,截面图形如①;将截面旋转可得②;当截面过正方体的对角面时,可得③,不可能得④.
7.已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.
解过
内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边AA1和AC的长分别为x和x.
因为△VA1C1∽△VMN,所以.
所以hx=2rh-2rx,
所以x=.
故该圆锥的内接正方体的棱长为.
8.从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底,下底面中心为顶点的圆锥,得到如图所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于l(l解轴
截面如图.
被平行于下底面的平面所截的圆柱的截面圆的半径O1C=R,圆锥的截面圆的半径O1D设为x.
∵OA=AB=R,∴△OAB是等腰直角三角形.
又CD∥OA,则CD=BC.∴x=l.
∴截面面积S=πR2-πl2=π(R2-l2)(l关键能力提升练
9.下列说法错误的是( )
A.正棱锥的所有侧棱长均相等
B.圆柱的母线垂直于底面
C.直棱柱的侧面都是全等的矩形
D.用经过旋转轴的平面截圆锥,所得的截面一定是全等的等腰三角形
答案C
解析对于A,根据正棱锥的定义知,正棱锥的所有侧棱长均相等,故A正确;对于B,根据圆柱的定义可知圆柱的母线与底面垂直,故B正确;对于C,直棱柱的侧面都是矩形,但不一定全等,故C错误;对于D,圆锥的轴截面是全等的等腰三角形,故D正确.
10.
(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是( )
A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成的
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成的
C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成的
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成的
答案AB
解析如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选项AB正确.
11.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面半径的比是1∶4,且该圆台的母线长为9,则截去的圆锥的母线长为( )
A. B.3 C.12 D.36
答案B
解析根据题意,设圆台的上、下底面的半径分别为r,R,设圆锥的母线长为L,截去的小圆锥的母线长为l,
∵圆台的上、下底面互相平行,
∴,可得L=4l.
∵圆台的母线长为9,可得L-l=9,
∴L=9,解得L=12,
∴截去的圆锥的母线长为12-9=3.
12.已知圆柱的轴截面是正方形,其面积为Q,则它的一个底面的面积为( )
A.Q B.πQ C. D.
答案C
解析圆柱的轴截面一边为高,另一边为底面的直径,由轴截面为正方形可知,高与底面直径均为,所以底面半径为,所以底面的面积为π·.
13.如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面,下底面圆心为顶点的圆锥而得到的.现用一个竖直的平面去截这个几何体,则所截得的图形可能是 .(填序号)
答案①⑤
解析由题意,当截面过旋转轴时,圆锥的轴截面为①;当截面不过旋转轴时,圆锥的轴截面为⑤,
综上可知截面的图形可能是①⑤.
14.球的两个平行截面的面积分别是5π,8π,两截面间的距离为1,求球的半径.
解设两个平行截面圆的半径分别为r1,r2,球半径为R.由π=5π,得r1=.由π=8π,得r2=2.
(1)如图,当两个截面位于球心O的同侧时,有=1,即=1+,解得R=3.
(2)当两个截面位于球心O的异侧时,有=1.此方程无解.由(1)(2)知球的半径为3.
15.圆台上底面面积为π,下底面面积为16π,用一个平行于底面的平面去截圆台,该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1,求这个截面的面积.
解圆
台的轴截面如图,O1,O2,O3分别为上底面、下底面、截面的圆心.
过点D作DF⊥AB于点F,交GH于点E.由题意知DO1=1,AO2=4,
∴AF=3.
∵DE=2EF,∴DF=3EF,
∴,∴GE=2.
∴☉O3的半径为3.∴这个截面面积为9π.
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16.
圆台的上、下底面半径分别为5 cm、10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点(B在下底面),求:
(1)绳子的最短长度;
(2)在绳子最短时,上底面圆的圆周上的点到绳子的最短距离.
解(1)画出圆台的侧面展开图,并还原成圆锥展开的扇形,且设扇形的圆心为O.
由图得,所求的最短距离是MB'.设OA=R,圆心角是θ,则由题意知,
10π=θR①,20π=θ(20+R)②,
由①②解得,θ=,R=20.
∴OM=30,OB'=40,则MB'=50.
故绳子最短的长度为50 cm.第八章立体几何初步
8.2 立体图形的直观图
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)(2021浙江北仑校级期中)给出以下关于斜二测画法的结论,其中正确的是( )
A.水平放置的角的直观图一定是角
B.相等的角在直观图中仍然相等
C.相等的线段在直观图中仍然相等
D.若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行
答案AD
解析水平放置的角的直观图仍然是角,故A正确;利用斜二测画法画水平放置的90°角的直观图是45°角或135°角,故B错误;平行于x轴的线段长度不变,平行于y轴的长度变为原来的一半,故C错误;根据斜二测画法知,直观图中平行关系不会改变,故D正确.故选AD.
2.如图,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,其中A'B'=A'C',A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,则△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
答案B
解析∵A'B'∥x'轴,A'C'∥y'轴,∴AB⊥AC.
又AC=2A'C'=2AB,∴△ABC是直角三角形,不是等腰三角形.
3.如图所示,△A'B'C'是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是( )
A.AB B.AD
C.BC D.AC
答案D
解析△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°,则AC>AB,AC>AD,AC>BC,故AC是最长的线段.
4.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形OABC的直观图为如图所示的直角梯形O'A'B'C',其中梯形的上底长是下底长的.若原平面图形OABC的面积为3,则O'A'的长为( )
A.2 B. C. D.
答案D
解析设O'A'=x,则O'B'=x,在原图形中OB=2O'B'=2x,BC=B'C'=,OA=O'A'=x,OB为原图形中梯形的高,
故原平面图形OABC的面积S=×x+x×2x=3,解得x=.
5.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为( )
A.a2 B.a2 C.a2 D.a2
答案D
解析如图①②所示的分别是实际图形和直观图.
由斜二测画法可知,A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',
则C'D'=O'C'=a.所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.
6.
已知一个水平放置的正方形的直观图是一个平行四边形,如图,其中有一边长为4,则此正方形的面积是 .
答案16或64
解析若O'A'=4,则正方形边长为4,其面积为16;若O'C'=4,则正方形边长为8,面积为64.
7.按如图的建系方法,画水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
画法(1)在图①中作AG⊥x轴于点G,作DH⊥x轴于点H.
(2)在图②中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
(3)在图②中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,在y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上沿y轴正方向取G'A'=GA,H'D'=HD.
(4)连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图③).
8.用斜二测画法画出棱长为2 cm的正方体ABCD-A'B'C'D'的直观图.
画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
①
(2)画底面.以点O为中心,在x轴上取线段MN,使MN=2 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ=1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线,过点P和Q作x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D,四边形ABCD 就是正方体的底面ABCD.
②
(3)画侧棱.过A,B,C,D分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA',BB',CC',DD'.
(4)成图.顺次连接A',B',C',D',并加以整理(去掉辅助线,将被遮挡的部分改为虚线),就得到正方体的直观图(如图②).
关键能力提升练
9.(多选题)水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B'O'=C'O'=1,A'O'=,那么原△ABC是一个( )
A.等边三角形 B.直角三角形
C.三边互不相等的三角形 D.面积为的三角形
答案AD
解析由题中图形知,在原△ABC中,AO⊥BC.
∵A'O'=,∴AO=.
∵B'O'=C'O'=1,∴BC=2,AB=AC=2,
∴△ABC为等边三角形.
∴△ABC的面积为×2×.
10.如图是利用斜二测画法画出的△ABO的直观图,已知O'B'=4,A'B'∥y轴,且△ABO的面积为16,过A'作A'C'⊥x'轴交于点C',则A'C'的长为( )
A.2 B. C.16 D.1
答案A
解析因为A'B'∥y轴,所以在△ABO中,AB⊥OB,又三角形的面积为16,所以AB·OB=16.所以AB=8,所以A'B'=4.所以A'C'的长为4·sin 45°=2.
11.如图,矩形O'A'B'C'是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O'A'=6,O'C'=2,则原图形是( )
A.正方形 B.矩形
C.菱形 D.梯形
答案C
解析设y'轴与B'C'交于点D',则O'D'=2.
在原图形中,OD=4,CD=2,且OD⊥CD.
∴OC==6=OA,∴原图形是菱形.
12.
水平放置△ABC的直观图如图所示,A'C'=3,B'C'=2,则AB边上的中线的长度为 .
答案
解析在直观图中,A'C'=3,B'C'=2,所以在Rt△ABC中,AC=3,BC=4,∠C为直角,
∴AB==5,∴AB边上的中线的长度为AB=.
13.如图所示,已知用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的直观图△A'B'C'是边长为a的正三角形,则原△ABC的面积为 .
答案a2
解析过点C'作C'M'∥y'轴,且交x'轴于点M'.
过C'作C'D'⊥x'轴,且交x'轴于点D',则C'D'=a.
∴∠C'M'D'=45°,∴C'M'=a.∴原三角形的高CM=a,底边长为a,其面积为S=×a×a=a2,或S直观=S原,∴S原=a2=a2.
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14.画出一个上、下底面边长分别为1 cm,2 cm,高为2 cm的正三棱台的直观图.
画法(1)画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴相交于点O,
使∠xOy=45°,∠xOz=90°.
(2)画下底面.以O为中点,在x轴上取线段AB,使AB=2 cm,在y轴上取线段OC,使OC= cm.连接BC,CA,则△ABC就是正三棱台的下底面的直观图.
(3)画上底面.在Oz轴上取O',使OO'=2 cm,过点O'作平行于轴Ox的轴O'x',平行于轴Oy的轴O'y',类似下底面的作法作出上底面的直观图△A'B'C'.第八章立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)长方体ABCD-A1B1C1D1的长、宽、高分别为3,2,1,则( )
A.长方体的表面积为20
B.长方体的体积为6
C.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3
D.沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2
答案BC
解析长方体的表面积为2×(3×2+3×1+2×1)=22,A错误.长方体的体积为3×2×1=6,B正确.如图①所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距离可把几何体展开成平面图形,如图②所示,将侧面ABB1A1和侧面BCC1B1展开,
则有AC1=,即当经过侧面ABB1A1和侧面BCC1B1时的最短距离是;如图③所示,将侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1展开,则有AC1==3,即当经过侧面ABB1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是3;如图④所示,将侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1展开,
则有AC1==2,即当经过侧面ADD1A1和底面A1B1C1D1时的最短距离是2.因为3<2,所以沿长方体表面从A到C1的最短距离是3,C正确,D不正确.
2.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则三棱锥D-ACD1的体积是( )
A. B. C. D.1
答案A
解析三棱锥D-ACD1的体积等于三棱锥D1-ACD的体积,三棱锥D1-ACD的底面ACD是直角边长为1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱锥D-ACD1的体积为V=×1×1×1=.
3.一个正四棱锥的底面边长为2,高为,则该正四棱锥的表面积为( )
A.8 B.12 C.16 D.20
答案B
解析由题意得侧面三角形底边上的高为=2,所以该四棱锥的表面积为22+4××2×2=12.
4.正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为( )
A.3π B. C.π D.1
答案B
如图所示,由图可知,该几何体由两个四棱锥构成,并且这两个四棱锥体积相等.四棱锥的底面为正方形,且边长为,故底面积为()2=2;四棱锥的高为1,则四棱锥的体积为×2×1=.故几何体的体积为2×.
5.正三棱锥的底面周长为6,侧面都是直角三角形,则此棱锥的体积为( )
A. B. C. D.
答案D
解析由题意,正三棱锥的底面周长为6,所以正三棱锥的底面边长为2,侧面均为直角三角形,可知侧棱长均为,三条侧棱两两垂直,所以此三棱锥的体积为.
6.
用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图,得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'.已知点O'是斜边B'C'的中点,且A'O'=1,则△ABC的边BC上的高为( )
A.1 B.2 C. D.2
答案D
解析∵直观图是等腰直角三角形A'B'C',∠B'A'C'=90°,A'O'=1,∴A'C'=,根据画直观图时平行于y轴的长度变为原来的一半,∴△ABC的边BC上的高AC=2A'C'=2.故选D.
7.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E-BCD的体积是 .
答案10
解析因为长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为120,
所以AB·BC·CC1=120,
因为E为CC1的中点,所以CE=CC1,
由长方体的性质知CC1⊥底面ABCD,
所以CE是三棱锥E-BCD的底面BCD上的高,
所以三棱锥E-BCD的体积V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.
8.已知某几何体是由两个全等的长方体和一个三棱柱组合而成,如图所示,其中长方体的长、宽、高分别为4,3,3,三棱柱底面是直角边分别为4,3的直角三角形,侧棱长为3,则此几何体的体积是 ,表面积是 .
答案90 138
解析该几何体的体积V=4×6×3+×4×3×3=90,表面积S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.
9.在正四棱锥S-ABCD中,点O是底面中心,SO=2,侧棱SA=2,则该棱锥的体积为 .
答案
解析∵侧棱SA=2,高SO=2,
∴AO==2,因此,底面正方形的边长AB=AO=4,底面积为AB2=16.该棱锥的体积为V=AB2·SO=×16×2=.
10.有一个正四棱台形状的油槽,可以装油190 L,假如它的两底面边长分别等于60 cm和40 cm,则它的深度为 cm.
答案75
解析设油槽的上、下底面积分别为S',S.由V=(S++S')h,得h==75(cm).
关键能力提升练
11.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭,令上方六尺,问亭方几何 ”大致意思为“有一个正四棱锥下底面边长为二丈,高三丈,现从上面截去一段,使之成为正四棱台状方亭,且正四棱台的上底面边长为六尺,问该正四棱台的体积是多少立方尺 ”(注:1丈=10尺)( )
A.1 946立方尺 B.3 892立方尺
C.7 784立方尺 D.11 676立方尺
答案B
解析由
题意可知,正四棱锥的高为30,所截得正四棱台的下底面棱长为20,上底面棱长为6,设棱台的高为OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱台的体积为×21×(62+202+6×20)=3 892(立方尺),故选B.
12.如图所示,在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中,过上底面的一边A1B1和AC,BC的中点F,E作一个平面A1B1EF,记平面分三棱台两部分的体积为V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2两部分,那么V1∶V2= .
答案3∶4
解析设三棱台的高为h,上底面的面积是S,则下底面的面积是4S,∴V棱台=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.
13.如图,AA1,BB1,CC1相交于点O,形成两个顶点相对、底面水平的三棱锥容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.设三棱锥的高均为1,若上面三棱锥中装有高度为0.5的液体,且液体能流入下面的三棱锥,则液体流下去后液面的高度为 .
答案1-
解析液体部分的体积为三棱锥体积的,流下去后,液体上方空出的三棱锥的体积为三棱锥体积的.设空出的三棱锥的高为x,则,所以x=,所以液面高度为1-.
14.(2021广东东莞期末)广场上的玩具石凳是由正方体截去八个全等的四面体得到的(如图).如果被截正方体的棱长为2,那么玩具石凳的表面积为 .
答案8+24
解析根据题意可知,玩具石凳的表面由8个全等的以2为边长的等边三角形和6个以2为边长的全等的正方形构成,故玩具石凳的表面积为8××22sin 60°+6×22=8+24.
15.一个正三棱锥P-ABC的底面边长为a,高为h.一个正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的顶点A1,B1,C1分别在三条棱上,A0,B0,C0分别在底面△ABC上,何时此三棱柱的侧面积取到最大值
解设三棱锥的底面中心为O,连接PO,图略,则PO为三棱锥的高,设A1,B1,C1所在的底面与PO交于O1点,则,令A1B1=x,而PO=h,则PO1=x,
于是OO1=h-PO1=h-x=h.
所以所求三棱柱的侧面积为S=3x·h(a-x)x=.
当x=时,S有最大值为ah,此时O1为PO的中点,即A1,B1,C1分别是三条棱的中点.
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16.在正三棱台ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱台一个侧面梯形的面积为,O1,O分别为上、下底面正三角形的中心,连接A1O1,AO并延长,分别交B1C1,BC于点D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的边长.
解∵AB=10,
∴AD=AB=5,OD=AD=.
设上底面的边长为x(x>0),则O1D1=x.
如图所示,连接O1O,过D1作D1H⊥AD于点H,则四边形OHD1O1为矩形,且OH=O1D1=x.
∴DH=OD-OH=x,
在Rt△D1DH中,D1D==2x.
∵四边形B1C1CB的面积为(B1C1+BC)·D1D,
∴(x+10)×2x,第八章立体几何初步
8.3 简单几何体的表面积与体积
8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R相等,下列结论正确的是( )
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
答案CD
解析依题意得球的半径为R,则圆柱的侧面积为2πR×2R=4πR2,∴A错误;圆锥的侧面积为πR×R=πR2,∴B错误;球的表面积为4πR2,∵圆柱的侧面积为4πR2,∴C正确;∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,∴D正确.
2.若一个正方体内接于表面积为4π的球,则正方体的表面积等于( )
A.4 B.8 C.8 D.8
答案B
解析设正方体棱长为x,球半径为R,则S球=4πR2=4π,∴R=1.∵正方体内接于球,∴x=2R=2,∴x=,∴S正=6x2=6×=8.
3.若一个圆锥的高和底面直径相等,且它的体积为π,则此圆锥的侧面积为( )
A.π B.π C.π D.2π
答案A
解析如
图所示,设圆锥的底面半径为r,则高为h=2r,所以圆锥的体积为V圆锥=π·r2·2r=π,∴r=1,h=2,l=,则此圆锥的侧面积为S侧面积=πrl=π·1·π.故选A.
4.
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何 ”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少 ”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有( )
A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛
答案B
解析设底面圆半径为R,米堆高为h.
∵米堆底部弧长为8尺,∴·2πR=8,∴R=.
∴体积V=·πR2h=×π××5.
∵π≈3,∴V≈(立方尺).
∴堆放的米约为≈22(斛).
5.圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,且圆锥的体积V=18π,则圆锥的表面积为( )
A.18π B.9(1+2)π
C.9π D.9(1+)π
答案D
解析∵圆锥的高h和底面半径r之比h∶r=2∶1,∴h=2r,又圆锥的体积V=18π,即πr2h==18π,解得r=3.∴h=6,母线长为l==3,则圆锥的表面积为S=πrl+πr2=π×3×3+π×32=9(1+)π.
6.
圆柱形容器内盛有高度为8的水,若放入3个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后,水恰好淹没最上面的球(如图),则球的半径是 .
答案4
解析设球的半径为r,则圆柱形容器的水高为6r(放置球后),水和球的总体积为πr2×6r=6πr3,高度为8的水的体积为8πr2,3个球的体积和为3×πr3=4πr3,由题意得6πr3-8πr2=4πr3,解得r=4.
7.如图,球O的半径为5,一个内接圆台的两底面半径分别为3和4(球心O在圆台的两底面之间),则圆台的体积为 .
答案
解析作经过球心的截面(如图),O1A=3,O2B=4,OA=OB=5,则OO1=4,OO2=3,O1O2=7,V=(32++42)×7=.
8.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为 .
答案
解析由
底面边长为,
可得OC=1.
设M为VC的中点,O1M=OC=,O1O=VO,
VO==2,
∴O1O=1.
V柱=π·O1M2·O1O=π×2×1=.
9.某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积.
解该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π.该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=.
10.
如图所示,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求该圆柱的体积及表面积.
解设圆柱的底面半径为r,高为h'.易知圆锥的高h==2.又h'=,∴h'=h,∴,∴r=1.故圆柱的体积V=πr2h'=π,S表=2S底+S侧=2πr2+2πrh'=2π+2π×=(2+2)π.
关键能力提升练
11.某圆台上、下底面面积分别是4π、9π,母线长为2,则这个圆台的侧面积是( )
A.10π B.12π C.15π D.20π
答案A
解析圆
台的轴截面是等腰梯形ABCD(如图).由已知可得上底半径O1A=2,下底半径OB=3.
又腰长为2,
∴高AM=,
∴设截得此圆台的圆锥的母线长为x,则由△SAO1∽△SBO可得,解得x=6,
∴截得此圆台的圆锥的母线长为6,可得大圆锥的底面周长为2×3π=6π,小圆锥的底面周长为2×2π=4π,这个圆台的侧面积=大圆锥侧面积-小圆锥的侧面积=×6π×6-×4π×(6-2)=10π.故选A.
12.(多选题)如图所示,△ABC的三边长分别是AC=3,BC=4,AB=5,过点C作CD⊥AB,垂足为D.下列说法正确的是 ( )
A.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为15π
B.以BC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为36π
C.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的侧面积为25π
D.以AC所在直线为轴,将此三角形旋转一周,所得旋转体的体积为16π
答案AD
解析以BC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为3,母线长为5,高为4的圆锥,∴侧面积为π×3×5=15π,体积为×π×32×4=12π,∴A正确,B错误;以AC所在直线为轴旋转,所得旋转体为底面半径为4,母线长为5,高为3的圆锥,侧面积为π×4×5=20π,体积为×π×42×3=16π,∴C错误,D正确.
13.设矩形边长分别为a,b(a>b),将其按两种方式卷成高为a和b的圆柱(无底面),其体积分别为Va和Vb,则Va与Vb的大小关系是( )
A.Va>Vb B.Va=Vb
C.Va答案C
解析由题意,当卷成高为a的圆柱时,此时设圆柱的底面半径为r1,则2πr1=b,解得r1=,则圆柱的体积为Va=πa=π×a=.当卷成高为b的圆柱时,此时设圆柱的底面半径为r2,则2πr2=a,解得r2=,则圆柱的体积为Vb=πb=π×b=.又由a>b,所以,即Vb>Va,故选C.
14.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题,大概意思如下:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水,天池盆盆口直径为2尺8寸,盆底直径为1尺2寸,盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸,则平均降雨量是(注:①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②1尺等于10寸)( )
A.3寸 B.4寸 C.5寸 D.6寸
答案A
解析作
出圆台的轴截面如图所示:由题意知,BF=14寸,OC=6寸,
OF=18寸,OG=9寸.
即G是OF的中点,∴GE为梯形OCBF的中位线,∴GE==10(寸).
即积水的上底面半径为10寸.∴盆中积水的体积为π×(100+36+10×6)×9=588π(立方寸),又盆口的面积为142π=196π(平方寸),
∴平均降雨量是=3(寸),即平均降雨量是3寸.
15.如果我们把高和底面半径相等的圆锥称为“标准圆锥”,那么母线长为2的“标准圆锥”的体积为 .
答案
解析设圆锥底面半径为r,则=2,则r=2,
所以圆锥的体积V=×πr2×2=.
16.
如图所示,半径为R的半圆内(其中∠BAC=30°)的阴影部分以直径AB所在直线为轴,旋转一周得到一个几何体,则该几何体的表面积为 ,体积为 .
答案πR2 πR3
解析如图所示,过C作CO1⊥AB于O1,在半圆中可得∠BCA=90°,
又∠BAC=30°,AB=2R,
∴AC=R,BC=R,CO1=R,
∴=π×R×R=πR2,=π×R×R=πR2,
∴S几何体表=S球+πR2,
又V球=πR3,
∴V几何体=V球-()=πR3-×AB×π×CπR3-πR3.
17.在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为3的正方形,且各侧棱长均为2.求该四棱锥外接球的表面积.
解取正方形ABCD的中心O1,连接SO1并延长交球面于点E.
连接CO1,CE,如图.
则球心O在SE上,即SE为球的直径,且SC⊥EC.
∵AB=3,∴O1C=3.
在Rt△SO1C中,SC=2,
∴SO1=.
∵Rt△SCE∽Rt△SO1C,∴SC2=SO1·SE,
∴SE==4.
∴球半径R=2.
∴球的表面积为S=4πR2=4π·(2)2=48π.
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18.如图所示,在棱锥P-ABCD中,底面ABCD是长方形,底面周长为8,PD=3,且PD是四棱锥的高.设AB=x.
(1)当x=3时,求三棱锥A-PBC的体积;
(2)求四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值.
解(1)当x=3时,AB=3,BC=1,
S△ABC=AB·BC=,
因此VA-PBC=VP-ABC=PD·S△ABC=.
(2)将四棱锥P-ABCD补成长方体ABCD-A1B1C1P,
则四棱锥P-ABCD的外接球和长方体ABCD-A1B1C1P的外接球相同.
因为AB=x,则BC=4-x,所以球的半径R=,当x=2时,R取得最小值.故四棱锥P-ABCD的外接球的表面积的最小值为4πR2=17π.
19.如图,四边形ABCD是直角梯形,求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解由题意知所求几何体的表面积等于圆台下底面面积、圆台的侧面积与半球面面积的和.
又因为S半球面=×4π×22=8π(cm2),
S圆台侧=π×(2+5)×=35π(cm2),
S圆台下底=π×52=25π(cm2),
所以所求几何体的表面积为
8π+35π+25π=68π(cm2).
又因为V圆台=×(22+2×5+52)×4=52π(cm3),
V半球=×23=(cm3).
