第八章立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.1 平面
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.空间中可以确定一个平面的条件是( )
A.三个点 B.四个点
C.三角形 D.四边形
答案C
解析当三个点共线时不能确定一个平面,故选项A错误;当四个点为三棱锥的四个顶点时,最多确定四个平面,故选项B错误;三角形的三个顶点不共线,因此能确定一个平面,故选项C正确;空间四边形不能确定一个平面,故选项D错误.
2.圆心和圆上任意两点可确定的平面有( )
A.0个 B.1个
C.2个 D.1个或无数个
答案D
解析若圆心和圆上两点共线,则可确定无数个平面;若三点不共线,则确定一个平面.
3.已知A,B是点,a,b,l是直线,α是平面,如果a α,b α,l∩a=A,l∩b=B,那么下列关系中成立的是( )
A.l α B.l∈α
C.l∩α=A D.l∩α=B
答案A
解析由基本事实2或画图可知:l α.
4.已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,下列推理错误的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
答案C
解析两平面有公共点,则两平面有一条交线,故C错.
5.(多选题)下列说法错误的是( )
A.不共面的四点中,任意三点不共线
B.三条两两相交的直线在同一平面内
C.有三个不同公共点的两个平面重合
D.依次首尾相接的四条线段不一定共面
答案BC
解析由基本事实易知选项A,D正确;对于选项B,如正方体中,具有同一顶点的三条棱不在同一平面内,故选项B错误;对于选项C,三个不同的公共点可在两平面的交线上,故选项C错误.
6.平面α∩平面β=l,点A,B∈α,点C∈平面β且C l,AB∩l=R,设过点A,B,C三点的平面为平面γ,则β∩γ=( )
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上都不对
答案C
解析根
据题意画出图形,如图所示,因为点C∈β,且点C∈γ,所以C∈β∩γ.因为点R∈AB,所以点R∈γ,又R∈β,所以R∈β∩γ,从而β∩γ=CR.
7.三条直线两两平行,则过其中任意两条直线最多共可确定 个平面.
答案3
解析当三条直线在同一个平面内时,则可确定一个平面;当三条直线不在同一个平面内时,如三棱柱三条侧棱所在直线,此时可确定三个平面.
8.把下列符号叙述所对应的图形的序号填在题后横线上.
(1)A α,a α: ;
(2)α∩β=a,P α且P β: ;
(3)a α,a∩α=A: ;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O: .
答案(1)③ (2)④ (3)① (4)②
解析根据几何中的图示法和几何描述法的对应关系,
(1)A α,a α:对应③;
(2)α∩β=a,P α且P β:对应④;
(3)a α,a∩α=A:对应①;
(4)α∩β=a,α∩γ=c,β∩γ=b,a∩b∩c=O:对应②.
9.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线.
证明∵MN∩EF=Q,∴Q∈直线MN,Q∈直线EF.
又M∈直线CD,N∈直线AB,CD 平面ABCD,AB 平面ABCD,∴M,N∈平面ABCD,
∴MN 平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.
同理,可得EF 平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,
∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线.
10.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q.求证:
(1)D,B,F,E四点共面;
(2)若A1C交平面DBEF于点R,则P,Q,R三点共线.
证明(1)∵EF是△D1B1C1的中位线,
∴EF∥B1D1.
在正方体AC1中,B1D1∥BD,
∴EF∥BD.
∴EF,BD确定一个平面,即D,B,F,E四点共面.
(2)正方体AC1中,设A1ACC1确定的平面为α,
又设平面BDEF为β.
∵A1C1∩EF=Q,
∴Q∈A1C1,Q∈EF,∴Q∈α,Q∈β.
则Q是α与β的公共点.同理,P是α与β的公共点.
∴α∩β=PQ.
又A1C交平面β于点R,∴R∈A1C.
∴R∈α,且R∈β,
则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
关键能力提升练
11.已知平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有( )
A.1条或2条 B.2条或3条
C.1条或3条 D.1条或2条或3条
答案D
解析当α过平面β与γ的交线时,这三个平面有1条交线;
当β与γ平行时,α与β和γ各有一条交线,共有2条交线;
当β∩γ=b,α∩β=a,α∩γ=c时,有3条交线.
12.已知α,β,γ是平面,a,b,c是直线,α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c,若a∩b=P,则( )
A.P∈c B.P c
C.c∩a= D.c∩β=
答案A
解析如
图,∵a∩b=P,
∴P∈a,P∈b.
∵α∩β=a,β∩γ=b,
∴P∈α,P∈γ,而γ∩α=c,
∴P∈c.
13.
(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1是长方体,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线
B.A,M,O,A1四点共面
C.A,O,C,M四点共面
D.B,B1,O,M四点共面
答案ABC
解析因为A,M,O三点既在平面AB1D1内,又在平面AA1C内,故A,M,O三点共线,从而易知ABC均正确.
14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱DD1和BB1上的点,MD=DD1,NB=BB1,那么正方体中过M,N,C1的截面图形是( )
A.三角形 B.四边形
C.五边形 D.六边形
答案C
解析设直线C1M,CD相交于点E,直线C1N,CB相交于点F,连接EF交直线AD于点P,交直线AB于点Q,则五边形C1MPQN为所求截面图形.
15.
如图,已知在四面体A-BCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点,且=2.求证:直线EG,FH,AC相交于同一点.
证明∵E,F分别是AB,AD的中点,
∴EF∥BD,且EF=BD.
又=2,
∴GH∥BD,且GH=BD,
∴EF∥GH,且EF>GH,
∴四边形EFHG是梯形,其两腰所在直线必相交.设两腰EG,FH的延长线相交于一点P,
∵EG 平面ABC,FH 平面ACD,
∴P∈平面ABC,P∈平面ACD.
又平面ABC∩平面ACD=AC,
∴P∈AC,故直线EG,FH,AC相交于同一点.
学科素养创新练
16.如
图,在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AA1,D1C1的中点,过D,M,N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.
(1)画出直线l;
(2)设l∩A1B1=P,求线段PB1的长.
解(1)
延长DM交D1A1的延长线于点E,连接NE,则直线NE即直线l.
(2)∵M为AA1的中点,AD∥ED1,
∴AD=A1E=A1D1=a.
∵A1P∥D1N,且D1N=a,第八章立体几何初步
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.如图所示,用符号语言可表示为( )
A.α∩β=l B.α∥β,l∈α
C.l∥β,l α D.α∥β,l α
答案D
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C、平面ABC1D1、平面ADC1B1、平面BB1D1D、平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中,与棱AA1平行的平面共有( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
答案B
解析如图,结合图形可知AA1∥平面BB1C1C,AA1∥平面DD1C1C,AA1∥平面BB1D1D.
3.(多选题)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则以下四个结论正确的是( )
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线AM与BN是平行直线
C.直线BN与MB1是异面直线
D.直线AM与DD1是异面直线
答案CD
解析直线AM与CC1不同在任何一个平面内,直线AM与BN不同在任何一个平面内,故A,B错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,直线AM与DD1不同在任何一个平面内,故C,D正确.
4.如果空间的三个平面两两相交,那么( )
A.不可能只有两条交线 B.必相交于一点
C.必相交于一条直线 D.必相交于三条平行线
答案A
解析空间三个平面两两相交,可能相交于一点,也可能相交于一条直线,还可能相交于三条平行线,故选A.
5.若两个平面内分别有一条直线,且这两条直线是异面直线,则这两个平面的公共点( )
A.有有限个
B.有无数个
C.不存在
D.不存在或有无数个
答案D
解析如图,直线AB与直线CC1异面,平面ABCD与平面CDD1C1相交,有无数个公共点;平面ABB1A1与平面CDD1C1平行,没有公共点.
6.以下说法正确的是( )
A.若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交
B.直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b一定相交
C.若直线a和b都和平面α平行,则a和b也平行
D.若点M∈l,点N∈l,N α,M∈α,则直线l与平面α相交
答案D
解析若直线a不平行于平面α,则直线a与平面α相交,或a α,故A错误;若直线a和b是异面直线,若直线c∥a,则c与b相交或异面,故B错误;若直线a和b都和平面α平行,则a和b可能平行,可能相交,也可能异面,故C错误;若点M,N∈l,N α,M∈α,则直线l和平面α相交,故D正确.故选D.
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有 条.
答案6
解析由异面直线的定义,知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,所在直线与BD1异面的棱有CD,A1B1,AD,B1C1,AA1,CC1共6条.
8.已知直线a,平面α,β,且a∥α,a∥β,则平面α与β的位置关系是 .
答案相交或平行
解析因为a∥α,a∥β,所以平面α与β相交(如图①)或平行(如图②).
9.过三棱柱ABC-A1B1C1的任意两条棱的中点作直线,其中与平面ABB1A1平行的直线共有 条.
答案6
解析如图,与平面ABB1A1平行的直线有6条:D1E1,E1E,ED,DD1,D1E,DE1.
10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,面对角线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何
解∵B1∈平面A1B1C1D1,D1∈平面A1B1C1D1,
∴B1D1 平面A1B1C1D1.
∵B1∈平面BB1C1C,D1 平面BB1C1C,
∴直线B1D1∩平面BB1C1C=B1.
同理直线B1D1与平面AA1B1B、平面AA1D1D、平面CC1D1D都相交.在平行四边形B1BDD1中,B1D1∥BD,B1D1与BD无公共点,∴B1D1与平面ABCD无公共点,∴B1D1∥平面ABCD.
关键能力提升练
11.若a,b是异面直线,且a∥平面α,那么b与平面α的位置关系是( )
A.b∥α
B.b与α相交
C.b α
D.以上三种情况都有可能
答案D
解析若a,b是异面直线,且a∥平面α,则根据空间中线面的位置关系可得,b∥a,或b α,或b与α相交.
12.(多选题)以下结论中,正确的是( )
A.过平面α外一点P,有且仅有一条直线与α平行
B.过平面α外一点P,有且仅有一个平面与α平行
C.过直线l外一点P,有且仅有一条直线与l平行
D.过直线l外一点P,有且仅有一个平面与l平行
答案BC
解析如图①所示,过点P有无数条直线都与α平行,这无数条直线都在平面β内,过点P有且只有一个平面与α平行,故A错,B正确;
如图②所示,过点P只有一条直线与l平行,但有无数个平面与l平行,故C正确,D错.
13.(多选题)下列说法中正确的是( )
A.若直线a不在平面α内,则a∥α
B.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
C.若l∥α,则直线l与平面α内任何一条直线都没有公共点
D.平行于同一平面的两直线可以相交
答案CD
解析A中,直线a也可能与平面α相交,故A错误;
B中,直线l与平面α相交时,l上也有无数个点不在平面α内,故B错误;
C中,当l∥α时,l与α没有公共点,所以l与α内任何一条直线都没有公共点,故C正确;
D中,平行于同一个平面的直线,可以平行也可以相交,也可以是异面直线,故D正确.
14.一个正方体的平面展开图如图所示,A,B,C,D为原正方体的顶点,则在原来的正方体中( )
A.AB∥CD B.AB与CD相交
C.AB⊥CD D.AB与CD异面
答案D
解析由平面展开图还原原正方体如图,则在原来的正方体中,由异面直线的定义可知AB与CD异面.故选D.
15.下列命题正确的有 .(填序号)
①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;
②若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;
③若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;
④若直线a 平面α,平面α∩平面β=b,a∥b,则a∥β.
答案①③④
解析①显然是正确的;②中,直线l和平面α内过l与α交点的直线都相交而不是异面,所以②是错误的;③中,直线l与平面α没有公共点,所以直线l与平面α内的直线没有公共点,即它们平行或异面,所以③是正确的;因为a∥b,所以a与b无公共点.又因为a α,且α与β的公共点都在直线b上,所以a与β无公共点,故a与β平行,故④是正确的.
16.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系,并证明你的结论.
解a∥b,a∥β.
证明如下.由α∩γ=a知a α,且a γ,
由β∩γ=b知b β,且b γ.
∵α∥β,a α,b β,
∴a,b无公共点.
又∵a γ,且b γ,∴a∥b.
∵α∥β,∴α与β无公共点.
又a α,∴a与β无公共点,∴a∥β.
学科素养创新练
17.若直线a不平行于平面α,且a α,则下列结论成立的是( )
A.平面α内的所有直线与a异面
B.平面α内不存在与a平行的直线
C.平面α内存在唯一的直线与a平行
D.平面α内的直线与a都相交
答案B
解析由条件知直线a与平面α相交,则平面α内的直线与a可能相交,也可能异面,不可能平行.故选B.
18.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是( )
A.若a∥b,b α,则直线a平行于平面α内的无数条直线
B.若α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线
C.若α∥β,a α,则a∥β
D.若α∩β=b,a α,则a,b一定相交第八章立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.1 直线与直线平行
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.和直线l都平行的直线a,b的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.平行、相交或异面
答案C
2.若两个三角形不在同一平面内,它们的边两两对应平行,那么这两个三角形( )
A.全等 B.相似
C.仅有一个角相等 D.全等或相似
答案D
解析由等角定理知,这两个三角形的三个角分别对应相等.
3.(多选题)下列命题中,错误的有( )
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
答案AC
解析这两个角相等或互补,选项A错误;由等角定理知选项B正确;在空间中,这样的两个角大小关系不确定,选项C错误;由基本事实4知选项D正确.
4.
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F分别是AB,AC上的点,且AE∶EB=AF∶FC,则EF与B1C1的位置关系是 .
答案平行
解析在△ABC中,
因为AE∶EB=AF∶FC,所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC∥B1C1,
所以EF∥B1C1.
5.
如图,在三棱锥A-BCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH为菱形,当AC,BD满足条件 时,四边形EFGH是正方形.
答案AC=BD AC=BD且AC⊥BD
解析由题意,知EH∥BD∥FG,且EH=FG=BD,
同理EF∥AC∥HG,且EF=HG=AC.
∴四边形EFGH是平行四边形.
要使EFGH为菱形,则需满足EH=FG=EF=HG,即AC=BD.
要使EFGH为正方形,则需满足EH=FG=EF=HG且EF⊥EH,即AC=BD且AC⊥BD.
6.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中的平面A1C1内有一点P,经过点P作棱BC的平行线,应该怎样画 请说明理由.
解如
图,在平面A1C1内过点P作直线EF∥B1C1,交A1B1于点E,交C1D1于点F,则直线EF即为所求.理由如下:
因为EF∥B1C1,BC∥B1C1,所以EF∥BC.
7.长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点.
(1)求证:D1E∥BF;
(2)求证:∠B1BF=∠A1ED1.
证明(1)如图,取BB1的中点M,连接EM,C1M.
在矩形ABB1A1中,易得EM∥A1B1,EM=A1B1,
因为A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,
所以EM∥C1D1,EM=C1D1.
所以四边形EMC1D1为平行四边形,所以D1E∥MC1.
在矩形BCC1B1中,易得MB∥C1F,
又因为M,F分别为BB1,CC1的中点,
所以MB=C1F.
所以四边形MBFC1为平行四边形,
所以BF∥MC1,所以D1E∥BF.
(2)因为D1E∥BF,BB1∥EA1,
又∠B1BF与∠A1ED1的对应边方向相同,
所以∠B1BF=∠A1ED1.
关键能力提升练
8.如图,在空间四边形ABCD中,M,N分别是△ABC和△ACD的重心,若BD=m,则MN= .
答案m
解析连接AM并延长交BC于E,连接AN并延长交CD
于F,再连接MN,EF,图略,根据三角形重心性质得BE=EC,CF=FD.∴MN EF,EF BD.∴MN BD.∴MN=m.
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9.在空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成的角为 .
答案75°或15°
解析取
BD的中点G,连接EG,FG.
∵E,F,G分别为BC,AD,BD的中点,
∴EG∥CD,且EG=CD,GF∥AB,且GF=AB.
∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.
∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.第八章立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.2 直线与平面平行
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.有以下四个说法,其中正确的说法是( )
①若直线与平面没有公共点,则直线与平面平行;
②若直线与平面内的任意一条直线不相交,则直线与平面平行;
③若直线与平面内的无数条直线不相交,则直线与平面平行;
④若平面外的直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面不相交.
A.①② B.①②③
C.①③④ D.①②④
答案D
解析③中若直线在平面内,虽与平面内的无数条直线不相交,但直线与平面不平行,故③不正确,①②④正确.
2.如图,在四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )
A.MN∥PD B.MN∥PA
C.MN∥AD D.以上均有可能
答案B
解析∵MN∥平面PAD,MN 平面PAC,
平面PAD∩平面PAC=PA,∴MN∥PA.
3.如果两直线a∥b,且a∥α,则b与α的位置关系是( )
A.相交 B.b∥α
C.b α D.b∥α或b α
答案D
解析由a∥b,且a∥α,知b与α平行或b α.
4.(多选题)在空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA上的点,当BD∥平面EFGH时,下面结论正确的是( )
A.E,F,G,H一定是各边的中点
B.G,H一定是CD,DA的中点
C.AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC
D.四边形EFGH是平行四边形或梯形
答案CD
解析因为BD ∥平面EFGH,所以由线面平行的性质定理,得BD∥EH,BD∥FG,则AE∶EB=AH∶HD,且BF∶FC=DG∶GC,且EH∥FG,所以四边形EFGH是平行四边形或梯形.
5.如图,E,F,G分别是四面体ABCD的棱BC,CD,DA的中点,则此四面体中与过点E,F,G的截面平行的棱是 .
答案BD,AC
解析∵E,F分别是BC,CD的中点,∴EF∥BD,
又BD 平面EFG,EF 平面EFG,
∴BD∥平面EFG.
同理可得AC∥平面EFG.
很明显,CB,CD,AD,AB均与平面EFG相交.
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱BC,C1D1的中点,则EF与平面BDD1B1的位置关系是 .
答案平行
解析取
D1B1的中点M,连接FM,MB,则FM B1C1.
又BE B1C1,∴FM BE.
∴四边形FMBE是平行四边形.
∴EF∥BM.
∵BM 平面BDD1B1,EF 平面BDD1B1,
∴EF∥平面BDD1B1.
7.如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,点D是AB的中点,求证:BC1∥平面CA1D.
证明如图所示,连接AC1交A1C于点O,连接OD,则O是AC1的中点.
∵点D是AB的中点,∴OD∥BC1.
又∵OD 平面CA1D,BC1 平面CA1D,∴BC1∥平面CA1D.
8.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为梯形,AB∥CD,AB=4,CD=2,点M在棱PD上.
(1)求证:CD∥平面PAB;
(2)若PB∥平面MAC,求的值.
(1)证明因为CD∥AB,CD 平面PAB,AB 平面PAB,所以CD∥平面PAB.
(2)解连接BD交AC于点O,连接OM,因为PB∥平面MAC,且PB 平面PBD,平面PBD∩平面MAC=MO,
所以PB∥MO.
所以△DOM∽△DBP,
所以.
因为CD∥AB,易得△COD∽△AOB,则=2.
故=2.
关键能力提升练
9.(多选题)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ平行的是( )
答案BCD
解析对
于A,如图,O为底面对角线的交点,可得AB∥OQ,又OQ∩平面MNQ=Q,所以直线AB与平面MNQ不平行;对于B,由于AB∥MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;对于C,由于AB∥MQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行;对于D,由于AB∥NQ,结合线面平行的判定定理可知AB与平面MNQ平行.故选BCD.
10.如图,四棱锥S-ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 ( )
A.2+ B.3+
C.3+2 D.2+2
答案C
解析由AB=BC=CD=DA=2,得四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,
即AB∥平面DCFE,
∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.
∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=.
∴四边形DEFC的周长为3+2.
11.
(2021上海高二期末)如图,在底面边长为8 cm,高为6 cm的正三棱柱ABC-A1B1C1中,若D为棱A1B1的中点,则过BC和D的截面面积等于 cm2.
答案24
解析过
点D作DE∥B1C1,交A1C1于点E,连接CE,则四边形BCED即为过BC和点D的截面,
因为D为棱A1B1的中点,DE∥B1C1,所以E为A1C1中点,
所以DE是△A1B1C1的中位线,
所以DE=B1C1=4 cm,
又因为B1C1∥BC,所以DE∥BC,
所以四边形BCED是梯形;
过点D作DF⊥BC于点F,
则DF==4(cm),
所以截面BCED的面积为S=×(4+8)×4=24(cm2).
12.
如图是一个以△A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得的几何体,截面为△ABC.已知AA1=4,BB1=2,CC1=3.在边AB上是否存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1 请说明理由.
解存
在.理由如下,取AB的中点O,连接OC.作OD∥AA1交A1B1于点D,连接C1D,则OD∥BB1∥CC1.
因为O是AB的中点,
所以OD=(AA1+BB1)=3=CC1,则四边形ODC1C是平行四边形,所以OC∥C1D.
又C1D 平面C1B1A1,且OC 平面C1B1A1,
所以OC∥平面A1B1C1.
即在边AB上存在一点O,使得OC∥平面A1B1C1.
学科素养创新练
13.如图所示,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,CD=2AB,M为线段PC上一点.在棱PC上是否存在点M,使得PA∥平面MBD 若存在,请确定点M的位置;若不存在,请说明理由.
解假设存在点M,使得PA∥平面MBD,
连接AC交BD于点O,连接MO.
因为AB∥CD,且CD=2AB,所以.
∵PA 平面PAC,平面PAC∩平面MBD=MO,PA∥平面MBD,第八章立体几何初步
8.5 空间直线、平面的平行
8.5.3 平面与平面平行
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.(多选题)设a,b是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,则α∥β的一个充分条件是( )
A.存在一条直线a,a∥α,a∥β
B.存在一条直线a,a α,a∥β
C.存在一个平面γ,满足α∥γ,β∥γ
D.存在两条异面直线a,b,a α,b β,a∥β,b∥α
答案CD
解析对于选项A,若存在一条直线a,a∥α,a∥β,则α∥β或α与β相交.
若α∥β,则存在一条直线a,使得a∥α,a∥β.
所以选项A的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;
对于选项B,存在一条直线a,a α,a∥β,则α∥β或α与β相交.
若α∥β,则存在一条直线a,a α,a∥β.
所以选项B的内容是α∥β的一个必要条件而不是充分条件;
对于选项C,平行于同一个平面的两个平面显然是平行的,故选项C的内容是α∥β的一个充分条件;
对于选项D,可以通过平移把两条异面直线平移到其中一个平面γ中,成为相交直线,由面面平行的判定定理可知γ∥α,γ∥β,则α∥β,
所以选项D的内容是α∥β的一个充分条件.
2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若经过D1B的平面分别交AA1和CC1于点E,F,则四边形D1EBF的形状是 ( )
A.矩形 B.菱形
C.平行四边形 D.正方形
答案C
解析如
图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ABB1A1∥平面CDD1C1,过D1B的平面BED1F与平面ABB1A1交于直线BE,与平面CDD1C1交于直线D1F.由面面平行的性质定理,得BE∥D1F.同理BF∥D1E.所以四边形D1EBF为平行四边形.
3.
如图,在三棱台A1B1C1-ABC中,点D在A1B1上,且AA1∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面A1C,则动点M的轨迹是( )
A.平面 B.直线
C.线段,但只含1个端点 D.圆
答案C
解析∵平面BDM∥平面A1C,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1C∩平面A1B1C1=A1C1,
∴DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于E1(图略),
则点M的轨迹是线段DE1(不包括点D).
4.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,若E,F,G,H分别是棱A1B1,BB1,CC1,C1D1的中点,则必有 ( )
A.BD1∥GH
B.BD∥EF
C.平面EFGH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
答案D
解析易知GH∥D1C,因为过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,所以BD1,GH不可能互相平行,故选项A错误;易知EF∥A1B,与选项A类似可判断选项B错误;因为EF∥A1B,而直线A1B与平面ABCD相交,故直线EF与平面ABCD也相交,所以平面EFGH与平面ABCD相交,选项C错误;因为EF∥A1B,EH∥A1D1,所以有EF∥平面A1BCD1,EH∥平面A1BCD1,而EF∩EH=E,因此平面EFGH∥平面A1BCD1.
5.已知直线l,m,平面α,β,下列命题正确的是( )
A.l∥β,l α α∥β
B.l∥β,m∥β,l α,m α α∥β
C.l∥m,l α,m β α∥β
D.l∥β,m∥β,l α,m α,l∩m=M α∥β
答案D
解析如
图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,直线AB∥CD,则直线AB∥平面DC1,直线AB 平面AC,但是平面AC与平面DC1不平行,所以选项A错误;取BB1的中点E,CC1的中点F,则可证EF∥平面AC,B1C1∥平面AC,又EF 平面BC1,B1C1 平面BC1,但是平面AC与平面BC1不平行,所以选项B错误;直线AD∥B1C1,AD 平面AC,B1C1 平面BC1,但平面AC与平面BC1不平行,所以选项C错误;很明显选项D是两个平面平行的判定定理,所以选项D正确.
6.如图是一几何体的平面展开图,其中四边形ABCD为正方形,E,F,G,H分别为PA,PD,PC,PB的中点,在此几何体中,给出下面五个结论:
①平面EFGH∥平面ABCD;②PA∥平面BDG;③直线EF∥平面PBC;④FH∥平面BDG;⑤EF∥平面BDG.
其中正确结论的序号是 .
答案①②③④
解析把图形还原为一个四棱锥,然后根据线面、面面平行的判定定理判断可知①②③④正确.
7.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则= .
答案
解析由平面α∥平面ABC,得AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C',则∠ABC=∠A'B'C',∠BCA=∠B'C'A',∠CAB=∠C'A'B',
从而△ABC∽△A'B'C',△PAB∽△PA'B',
.
8.(2021吉林长春第二十九中学高一期中)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的中点.
(1)求证:GH∥平面ABC;
(2)求证:平面EFA1∥平面BCHG.
证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,
因为G,H分别是A1B1,A1C1的中点,
所以GH∥B1C1.
又因为BC∥B1C1,所以GH∥BC.
因为GH 平面ABC,BC 平面ABC,
所以GH∥平面ABC.
(2)因为E,F分别是AB,AC的中点,所以EF∥BC.
又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,G为A1B1的中点,
所以A1G∥EB,A1G=EB,即四边形A1EBG为平行四边形.
所以A1E∥BG.
因为EF∥BC,EF 平面BCHG,BC 平面BCHG,
所以EF∥平面BCHG.
因为A1E∥BG,A1E 平面BCHG,BG 平面BCHG,
所以A1E∥平面BCHG.
又因为EF,A1E 平面EFA1,且EF∩A1E=E,
所以平面EFA1∥平面BCHG.
9.已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC.
证明在△PAD中,∵PM∶MA=PQ∶QD,
∴MQ∥AD.
同理NQ∥BP.
而BP 平面PBC,NQ 平面PBC,
∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形,∴BC∥AD,
∴MQ∥BC,而BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.易知MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,可知平面MNQ∥平面PBC.
10.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点.问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO
解当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
证明如下.
∵Q为CC1的中点,P为DD1的中点,
∴QB∥PA.
∵P,O分别为DD1,DB的中点,
∴D1B∥PO.
∴D1B∥面PAO,QB∥面PAO.
又D1B∩QB=B,
∴平面D1BQ∥平面PAO.
关键能力提升练
11.
如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B1的中点是P,过点A1作与截面PBC1平行的截面,则该截面的面积为( )
A.2 B.2
C.2 D.4
答案C
解析由
题意作的截面如图所示,易知该截面唯一,且E,F分别为AB,D1C1的中点.又因为正方体的棱长为2,所以A1E=CE=CF=FA1=,所以四边形A1ECF为菱形.又因为A1C=2,EF=2,故截面面积为2.
12.(多选题)如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,下列命题中,正确的有( )
A.BM∥平面DE
B.CN∥平面AF
C.平面BDM∥平面AFN
D.平面BDE∥平面NCF
答案ABCD
解析展开图可以折成如图①所示的正方体.
①
②
在正方体中,连接AN,如图②所示.
∵AB∥MN,且AB=MN,
∴四边形ABMN是平行四边形.
∴BM∥AN.
∴BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,
∴AB正确;
③
如图③所示,连接NF,BE,BD,DM,CF,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,则平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以CD正确.
13.如图,在多面体ABC-DEFG中,平面ABC∥平面DEFG,EF∥DG,且AB=DE,DG=2EF,则 ( )
A.BF∥平面ACGD
B.CF∥平面ABED
C.BC∥FG
D.平面ABED∥平面CGF
答案A
解析如图所示,取DG的中点M,连接AM,FM,
则由已知条件易证得四边形DEFM是平行四边形,
∴DE∥FM,且DE=FM.
∵平面ABC∥平面DEFG,平面ABC∩平面ADEB=AB,平面DEFG∩平面ADEB=DE,
∴AB∥DE,∴AB∥FM.
又AB=DE,∴AB=FM,
∴四边形ABFM是平行四边形,∴BF∥AM.
又BF 平面ACGD,AM 平面ACGD,
∴BF∥平面ACGD.故选A.
14.已知a和b是异面直线,且a 平面α,b 平面β,a∥β,b∥α,则平面α与β的位置关系是 .
答案平行
解析在b上任取一点O,则直线a与点O确定一个平面γ.
设γ∩β=l,则l β.∵a∥β,∴a∥l,∴l∥α.
又b∥α,
∴根据面面平行的判定定理可得α∥β.
15.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为3,M,N分别是下底面的棱A1B1,B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=1,过P,M,N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ= .
答案2
解析因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,
平面ABCD∩平面PQNM=PQ,
平面A1B1C1D1∩平面PQNM=MN,
所以MN∥PQ,
又因为MN∥AC,所以PQ∥AC.
又因为AP=1,所以,
所以PQ=AC=×3=2.
16.如图,E,F,G,H分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC,CC1,C1D1,AA1的中点,求证:
(1)GE∥平面BB1D1D;
(2)平面BDF∥平面B1D1H.
证明(1)
取B1D1的中点O,连接GO,OB,易证OG∥B1C1,且OG=B1C1.
因为BE∥B1C1,且BE=B1C1,所以OG∥BE,且OG=BE,即四边形BEGO为平行四边形.所以OB∥GE.
因为OB 平面BDD1B1,GE 平面BDD1B1,所以GE∥平面BB1D1D.
(2)由正方体的性质,易知B1D1∥BD,且易证BF∥D1H.因为B1D1 平面BDF,BD 平面BDF,
所以B1D1∥平面BDF.
因为HD1 平面BDF,BF 平面BDF,
所以HD1∥平面BDF.
又B1D1∩HD1=D1,所以平面BDF∥平面B1D1H.
学科素养创新练
17.如图,在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,F为AD的中点,E是线段PD上的一点.
(1)若E为PD的中点,求证:平面CEF∥平面PAB;
(2)当点E在什么位置时,PB∥平面ACE
(1)证明因为E,F分别为PD,AD的中点,
所以EF∥PA.
因为EF 平面PAB,PA 平面PAB,所以EF∥平面PAB.
又因为AD=2BC,F为AD的中点,所以AF=BC.
又因为AF∥BC,所以四边形ABCF是平行四边形,所以CF∥AB.
因为CF 平面PAB,AB 平面PAB,所以CF∥平面PAB.
又因为EF 平面CEF,CF 平面CEF,EF∩CF=F,
所以平面CEF∥平面PAB.
(2)解连接BD,设AC∩BD=O,连接OE.
因为PB∥平面CEA,PB 平面PDB,平面CEA∩平面PDB=OE,
所以OE∥PB,所以.
在梯形ABCD中,AD∥BC,
所以△AOD∽△COB.
又AD=2BC,所以,第八章立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.1 直线与直线垂直
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于 ( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案B
解析如
图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.
∵E,F分别为CD,AB的中点,
∴FG∥AC,EG∥BD,
且FG=AC,EG=BD.
∵AC=BD,∴FG=EG,
∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.
∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,
∴∠FGE=90°,
∴△EFG为等腰直角三角形.
∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1的中点,则异面直线AE与CD所成角的正切值为( )
A. B. C. D.
答案C
解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中,CD∥AB,
所以异面直线AE与CD所成角为∠EAB(或其补角),
设正方体边长为2a,则由E为棱CC1的中点,可得CE=a,所以BE=a,AE2=AC2+CE2=9a2,则有AE2=AB2+BE2.
则tan∠EAB=.故选C.
3.(多选题)(2021重庆巴川中学高一期末)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形,E是BC的中点,则下列叙述错误的是( )
A.CC1与B1E是异面直线
B.C1C与AE共面
C.AE与B1C1是异面直线
D.AE与B1C1所成的角为60°
答案ABD
解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E共面,A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角,而E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,即AE与B1C1所成的角为90°,D错误.故选ABD.
4.如图,已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点,则异面直线CD1,EF所成的角的大小为 .
答案90°
解析取
CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点,
∴EG∥BC,EG=BC.
∵F是AD的中点,且AD∥BC,AD=BC,
∴DF∥BC,DF=BC,
∴EG∥DF,EG=DF,
∴四边形EFDG是平行四边形,∴EF∥DG,
∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.又A1A=AB,∴四边形ABB1A1,四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点,
∴DG⊥CD1,∴∠D1GD=90°,
∴异面直线CD1,EF所成的角为90°.
5.如图所示,在空间四边形ABCD中,AB=CD,且AB与CD所成的角为30°,E,F分别为BC,AD的中点,则EF与AB所成角的大小为 .
答案15°或75°
解析取AC的中点G,连接EG,FG,则EG∥AB,且EG=AB
,FG∥CD,且FG=CD,由AB=CD知EG=FG.
易知∠GEF(或其补角)为EF与AB所成的角,∠EGF(或其补角)为AB与CD所成的角.
∵AB与CD所成的角为30°,
∴∠EGF=30°或150°.
由EG=FG知△EFG为等腰三角形,
当∠EGF=30°时,∠GEF=75°;
当∠EGF=150°时,∠GEF=15°.
故EF与AB所成的角为15°或75°.
6.
如图所示,AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,D,E分别是VB,VC的中点,求异面直线DE与AB所成的角.
解因为D,E分别是VB,VC的中点,
所以BC∥DE,因此∠ABC是异面直线DE与AB所成的角.
又因为AB是圆O的直径,点C是弧AB的中点,
所以△ABC是以∠ACB为直角的等腰直角三角形,
于是∠ABC=45°,
故异面直线DE与AB所成的角为45°.
关键能力提升练
7.如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,EF=.求证:AD⊥BC.
证明如图所示,取BD的中点H,连接EH,FH.
因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.
同理FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
因为EF=,
所以EH2+FH2=EF2,
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边,
所以∠EHF=90°,即AD与BC所成的角是90°,
所以AD⊥BC.
8.
如图,空间四边形ABCD的对棱AD,BC成60°的角,且AD=BC=a,平行于AD与BC的截面分别交AB,AC,CD,BD于点E,F,G,H.E在AB的何处时截面EFGH的面积最大 最大面积是多少
解∵AD与BC成60°角,∴∠HGF=60°或120°.
设AE∶AB=x,则=x.又BC=a,
∴EF=ax.由=1-x,得EH=a(1-x).
∴S四边形EFGH=EF×EH×sin 60°=ax×a(1-x)×a2(-x2+x)=a2.
当x=时,S最大值=a2,即当E为AB的中点时,截面的面积最大,最大面积为a2.
学科素养创新练
9.如图,点S在平面ABC外,SB⊥AC,SB=AC=2,E,F分别是SC和AB的中点,则EF的长是( )
A.1 B. C. D.
答案B
解析取CB的中点D,连接ED,DF,则∠EDF(或其补角)为异面直线SB与AC所成的角,即∠EDF=90°.第八章立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.2 直线与平面垂直
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是( )
A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直
C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交
答案C
解析取BD的中点O,连接AO,CO,
则BD⊥AO,BD⊥CO,
故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.
又BD,AC异面,
故选C.
2.△ABC所在的平面为α,直线l⊥AB,l⊥AC,直线m⊥BC,m⊥AC,则直线l,m的位置关系是( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.不确定
答案C
解析因为l⊥AB,l⊥AC且AB∩AC=A,所以l⊥平面ABC.
同理可证,m⊥平面ABC,所以l∥m,故选C.
3.(多选题)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列命题正确的是( )
A.若a⊥α,a⊥β,则α∥β
B.若a⊥α,b⊥α,则a∥b
C.若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α∥β
D.若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a∥b
答案AB
解析对于A,若a⊥α,a⊥β,由线面垂直的性质及面面平行的定义可得α∥β,故A正确;对于B,若a⊥α,b⊥α,由线面垂直的性质定理可得a∥b,故B正确;对于C,若a⊥b,b⊥α,a∥β,则α与β可能平行,也可能相交,故C错误;对于D,若α∥β,a与α所成的角和b与β所成的角相等,则a与b可能平行、相交或异面,故D错误.故选AB.
4.在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=,则PC与平面ABCD所成角的大小为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
答案C
解析如
图,连接AC.
∵PA⊥平面ABCD,
∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.
∵AC=,PA=,
∴tan∠PCA=.
∴∠PCA=60°.
5.
如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是 .(填“平行”或“垂直”)
答案垂直
解析∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.
∵BB1⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,
∴AC⊥BB1.
又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.
∵EF是△ABC的中位线,
∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.
6.如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为 .
答案
解析如
图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.
∵底面△A'B'C'是正三角形,
∴C'D⊥A'B'.
∵AA'⊥底面ABC,
∴A'A⊥C'D.
又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',
故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.
等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=,
在Rt△BB'C'中,BC'=,故直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.
7.在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件 时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)
答案VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)
解析只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.
8.
如图,∠ACB=90°,平面ABC外有一点P,PC=4 cm,点P到角的两边AC,BC的距离都等于2 cm,则PC与平面ABC所成角的大小为 .
答案45°
解析过
P作PO⊥平面ABC于点O,连接CO,则CO为∠ABC的平分线,且∠PCO为PC与平面ABC所成的角,设其为θ,
连接OF,易知△CFO为直角三角形.
又PC=4,PF=2,∴CF=2,
∴CO=2,在Rt△PCO中,cos θ=,
∴θ=45°.
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.
证明如
图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.
又因为BP==2=BC,
F是PC的中点,所以BF⊥PC.
又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.
因为BE 平面BEF,所以PC⊥BE.
10.
如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.
(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;
(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.
(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,
∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,
∴AD⊥平面BCC1B1.
(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,
则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.
在Rt△AC1D中,AD=,AC1=,sin∠AC1D=,
即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为.
关键能力提升练
11.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是( )
A.BD∥平面CB1D1
B.AC1⊥BD
C.AC1⊥平面CB1D1
D.异面直线AD与CB1所成的角为60°
答案ABC
解析由于BD∥B1D1,BD 平面CB1D1,B1D1 平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;
因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,
所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;
可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,
所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;
由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.
12.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是( )
A.EF与AD所成角的正切值为
B.EF与AD所成角的正切值为
C.AB与面ACD所成角的余弦值为
D.AB与面ACD所成角的余弦值为
答案BC
解析设
AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.
因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,
所以EG∥BC,FG∥AD.
所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.
在三角形EFG中,EG=1,FG=,
由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,
又因为AH,HD 平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.
因为AD 平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,
所以tan∠EFG=,所以A错误,B正确.
过点B作BO垂直AF,垂足为O.
因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF 平面ABF,
所以CD⊥平面ABF.因为BO 平面ABF,所以CD⊥BO.
因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD 平面ACD,所以BO⊥平面ACD.
所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.
由题得BF=,AF=2,AB=3,
所以cos∠BAO=,所以C正确,D错误.
13.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:
①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是;④AD1与BD为异面直线.
其中正确结论的序号是 .
答案②③④
解析①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;
②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,
因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;
③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=,故③正确;
④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.
14.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.
(1)求证:AE⊥BC;
(2)求点A1到平面ABE的距离.
(1)证明因为AC=BC=,AB=2,
所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.
因为直棱柱ABC-A1B1C1,
所以AA1⊥底面ABC,BC 平面ABC,
所以AA1⊥BC,
又AA1∩AC=A,AA1 平面ACC1A1,AC 平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.
又因为AE 平面ACC1A1,所以AE⊥BC.
(2)解设
点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=.
所以△ABE的面积为×2×.
因为,
所以×S△ABE×h=×BC,
所以×h=×2×,解得h=,
所以点A1到平面ABE的距离为.
学科素养创新练
15.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是 .
①FM与BC1所成角为45°;
②BM⊥平面CC1F;
③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;
④三棱锥B-CFE的体积为定值.
答案②④
解析连接A1B,BC1,图略.
对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,
在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,
∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1C1B,
在△A1C1B中,A1C1=A1B=BC1,所以△A1C1B为等边三角形,则∠A1C1B=60°,故①错误;
对于②,∵BC=CD,CM=DF,∠BCM=∠CDF,
∴△BCM≌△CDF,
∴∠BMC+∠DCF=90°,∴BM⊥CF,
又因为CC1⊥平面ABCD,且BM 平面ABCD,所以CC1⊥BM,因为CF∩CC1=C,所以BM⊥平面CC1F,故②正确;
对于③,若平面BEF∥平面CC1D1D,因为平面CC1D1D∥平面AA1B1B,所以平面BEF∥平面AA1B1B,但平面BEF与平面AA1B1B有公共点B,故③错误;
对于④,VB-CFE=VE-BCF=S△BCF·AA1=BC·AB·AA1=(定值),故④正确.
16.
如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,E为A1C1的中点,CE⊥AC1.
(1)证明:CE⊥平面AB1C1;
(2)若C1E=,AA1=,AB=2BC,求点E到平面AB1C的距离.
(1)证明∵CC1⊥平面A1B1C1,B1C1 平面A1B1C1,
∴CC1⊥B1C1.
在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1∥AC,B1C1∥BC,AC⊥BC,则A1C1⊥B1C1.
又A1C1 平面AA1C1C,CC1 平面AA1C1C,A1C1∩CC1=C1,∴B1C1⊥平面AA1C1C.
又CE 平面AA1C1C,∴B1C1⊥CE.
又CE⊥AC1,AC1 平面AB1C1,B1C1 平面AB1C1,B1C1∩AC1=C1,∴CE⊥平面AB1C1.
(2)解连接AE,B1C,图略.
∵C1E=,E为A1C1的中点,∴A1C1=2.
又AA1=,∴S△ACE=×2=3.
∵AA1=,AB=2BC,∠ACB=90°,AC=2,
∴AB=4,B1C1=BC=2,S△ACE·B1C1=×3×2=2.
∴AB1=,B1C=,∴AC2+B1C2=A,
∴AC⊥B1C,∴×2.
设点E到平面AB1C的距离为h,则·h=,第八章立体几何初步
8.6 空间直线、平面的垂直
8.6.3 平面与平面垂直
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,则二面角B-PA-C的大小为( )
A.90° B.60° C.45° D.30°
答案A
解析∵PA⊥平面ABC,BA,CA 平面ABC,
∴BA⊥PA,CA⊥PA,
因此∠BAC即为二面角B-PA-C的平面角.
又∠BAC=90°,故选A.
2.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面(如图),图中互相垂直的平面有( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.5对
答案D
解析∵DA⊥AB,DA⊥PA,AB∩PA=A,
∴DA⊥平面PAB,同样BC⊥平面PAB,
又易知AB⊥平面PAD,∴DC⊥平面PAD.
∴平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面PAB,平面PBC⊥平面PAB,平面PAB⊥平面ABCD,平面PDC⊥平面PAD,共5对.
3.设α,β为不重合的平面,m,n为不重合的直线,则下列命题正确的是( )
A.若m⊥β,α⊥β,则m∥α
B.若m α,n β,m⊥n,则n⊥α
C.若α⊥β,m⊥α,n∥β,则m⊥n
D.若n⊥α,n⊥β,m⊥β,则m⊥α
答案D
解析当m α时,m⊥β,α⊥β也可以成立,所以A选项错误;若α∩β=n,显然n α,这时m α,n β,m⊥n也可以成立,所以B选项错误;当m∥n时,显然α⊥β,m⊥α,n∥β成立,所以C选项错误;因为n⊥β,m⊥β,所以m∥n.又因为n⊥α,所以m⊥α,所以D选项正确.故选D.
4.如图所示,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD= .
答案2
解析取
AB的中点E,连接DE,CE.因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC=AB,且DE⊥AB,所以DE⊥平面ABC,故DE⊥CE.
由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,
CD==2.
5.如图,在空间四边形ABCD中,平面ABD⊥平面BCD,∠BAD=90°,且AB=AD,则AD与平面BCD所成的角是 .
答案45°
解析过
A作AO⊥BD于点O,
∵平面ABD⊥平面BCD,
∴AO⊥平面BCD,则∠ADO即为AD与平面BCD所成的角.
∵∠BAD=90°,AB=AD,
∴∠ADO=45°.
6.在四面体ABCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,二面角A-BD-C为直二面角,E是CD的中点,则∠AED的大小为 .
答案90°
解析取
BD中点O,连接AO,CO,由AB=BC=CD=AD,
∴AO⊥BD,CO⊥BD,
∴∠AOC为二面角A-BD-C的平面角.
∴∠AOC=90°.
又∠BAD=∠BCD=90°,
∴△BAD与△BCD均为直角三角形.
∴OC=OD,∴△AOD≌△AOC,∴AD=AC,
∴△ACD为等边三角形.
∵E为CD中点,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.
7.三棱锥V-ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O,M分别为AB,VA的中点.
(1)求证:VB∥平面MOC;
(2)求证:平面MOC⊥平面VAB;
(3)求点B到平面MOC的距离.
(1)证明∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB.
又VB 平面MOC,OM 平面MOC,
∴VB∥平面MOC.
(2)证明∵AC=BC,O为AB的中点,
∴OC⊥AB.
又平面VAB⊥平面ABC,平面VAB∩平面ABC=AB,且OC 平面ABC,
∴OC⊥平面VAB,又OC 平面MOC,
∴平面MOC⊥平面VAB.
(3)解连接MB,VO,过M作MD⊥AB,垂足为D,图略,设h'为点B到平面MOC的距离,h为点M到平面BOC的距离.
∵VM-BOC=VB-MOC,∴S△BOC×h=S△MOC×h'.
∵平面VAB⊥平面ABC,VO⊥AB,∴VO⊥平面ABC.
又△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC=,O为AB中点,∴VO=.
又MD⊥AB,M为VA中点,
∴MD=VO=h=.
∵S△BOC=×1×1=,S△MOC=×1×1=,
∴h'=,即点B到平面MOC的距离为.
8.
如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中点,PA⊥底面ABCD,PA=.
(1)求证:平面PBE⊥平面PAB;
(2)求二面角A-BE-P的大小.
(1)证明如
图所示,连接BD,由底面ABCD是菱形且∠BCD=60°知,△BCD是等边三角形.
因为E是CD的中点,
所以BE⊥CD.
又因为AB∥CD,所以BE⊥AB.
又因为PA⊥平面ABCD,BE 平面ABCD,
所以PA⊥BE.而PA∩AB=A,
因此BE⊥平面PAB.
又因为BE 平面PBE,
所以平面PBE⊥平面PAB.
(2)解由(1)知,BE⊥平面PAB,PB 平面PAB,
所以PB⊥BE.又因为AB⊥BE,
所以∠PBA是二面角A-BE-P的平面角.
在Rt△PAB中,tan∠PBA=,∠PBA=60°,故二面角A-BE-P的大小是60°.
关键能力提升练
9.
如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α内,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的轨迹是( )
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
答案D
解析∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,平面PAC∩平面PBC=PC,AC 平面PAC,∴AC⊥平面PBC.
又BC 平面PBC,∴AC⊥BC.∴∠ACB=90°.
∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆,除去A和B两点.
10.
如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,则过点C1作C1H⊥平面ABC,垂足为H,则H必在( )
A.直线AB上
B.直线BC上
C.直线AC上
D.△ABC的内部
答案A
解析因为BC1⊥AC,AB⊥AC,BC1∩AB=B,
所以AC⊥平面ABC1.
因为AC 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面ABC1.
又因为平面ABC∩平面ABC1=AB,
所以过点C1再作C1H⊥平面ABC,则H∈AB,
即H在直线AB上.
11.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,∠DAB=60°,侧面PAD为正三角形,且平面PAD⊥平面ABCD,则下列说法正确的是 ( )
A.在棱AD上存在点M,使AD⊥平面PMB
B.异面直线AD与PB所成的角为90°
C.二面角P-BC-A的大小为45°
D.BD⊥平面PAC
答案ABC
解析如
图,对于A,取AD的中点M,连接PM,BM,∵侧面PAD为正三角形,
∴PM⊥AD,又底面ABCD是菱形,∠DAB=60°,
∴△ABD是等边三角形,
∴AD⊥BM,又PM∩BM=M,PM,BM 平面PMB,
∴AD⊥平面PMB,故A正确;
对于B,∵AD⊥平面PBM,∴AD⊥PB,即异面直线AD与PB所成的角为90°,故B正确;
对于C,∵平面PBC∩平面ABCD=BC,BC∥AD,∴BC⊥平面PBM,∴BC⊥PB,BC⊥BM,
∴∠PBM是二面角P-BC-A的平面角,设AB=1,则BM=,PM=,
在Rt△PBM中,tan∠PBM==1,即∠PBM=45°,故二面角P-BC-A的大小为45°,故C正确;
对于D,因为BD与PA不垂直,所以BD与平面PAC不垂直,故D错误.
12.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,且底面各边都相等,M是PC上的一动点,当点M满足 时,平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
答案DM⊥PC(或:BM⊥PC,答案不唯一)
解析连
接AC,则AC⊥BD.
∵PA⊥底面ABCD,
BD 平面ABCD,
∴PA⊥BD.
∵PA∩AC=A,
∴BD⊥平面PAC,
∴BD⊥PC.
∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时,即有PC⊥平面MBD,而PC 平面PCD,
∴平面MBD⊥平面PCD.
13.
如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB=2,AC=BC=,等边三角形ADB以AB为轴运动,当平面ADB⊥平面ABC时,CD= .
答案2
解析取AB的中点E,连接DE,CE,
因为△ADB是等边三角形,所以DE⊥AB.
当平面ADB⊥平面ABC时,
因为平面ADB∩平面ABC=AB,所以DE⊥平面ABC.
可知DE⊥CE.
由已知可得DE=,EC=1,在Rt△DEC中,CD==2.
14.图1是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.
(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE;
(2)求图2中的四边形ACGD的面积.
(1)证明由已知得AD∥BE,CG∥BE,所以AD∥CG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.
由已知得AB⊥BE,AB⊥BC,
故AB⊥平面BCGE.
又因为AB 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面BCGE.
(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为AB∥DE,AB⊥平面BCGE,所以DE⊥平面BCGE,
故DE⊥CG.
由已知,四边形BCGE是菱形,且∠EBC=60°得EM⊥CG,故CG⊥平面DEM.
因此DM⊥CG.在Rt△DEM中,DE=1,EM=,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.
15.
如图,在三棱锥P-ABC中,PB⊥平面ABC,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,AB=BC=2,∠PAB=45°,D,E,F分别为AC,AB,BC的中点.
(1)求证:EF⊥PD;
(2)求直线PF与平面PBD所成的角的正弦值;
(3)求二面角E-PF-B的平面角的正切值.
(1)证明连接BD,在△ABC中,∠B=90°.
∵AB=BC,点D为AC的中点,∴BD⊥AC.
又∵PB⊥平面ABC,AC 平面ABC,
∴AC⊥PB.
∵BD∩PB=B,∴AC⊥平面PBD.
∵E,F分别为AB,BC的中点,
∴EF∥AC,∴EF⊥平面PBD,
∵PD 平面PBD,∴EF⊥PD.
(2)解连接BD交EF于点O,由(1)知EF⊥平面PBD,
∴∠FPO为直线PF与平面PBD所成的角,且PO 平面PBD,∴EF⊥PO.
∵PB⊥平面ABC,BC,AB 平面ABC,
∴PB⊥AB,PB⊥BC.
∵∠PAB=45°,∴PB=AB=2.
∵OF=AC=,∴PF=.
在Rt△FPO中,sin∠FPO=,
∴直线PF与平面PBD所成的角的正弦值为.
(3)解过点B作BM⊥PF于点M,连接EM.
∵AB⊥PB,AB⊥BC,PB∩BC=B,
∴AB⊥平面PBC,
∴BE⊥BM,BE⊥平面PBC.
∵PF 平面PBC,∴PF⊥BE.
又PF⊥BM,BE∩BM=B,∴PF⊥平面BME,
∵EM 平面BME,∴PF⊥EM,
∴∠BME为二面角E-PF-B的平面角.
在Rt△PBF中,BM=,
∴tan∠BME=.
∴二面角E-PF-B的平面角的正切值为.
学科素养创新练
16.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAC⊥平面ABCD,且PA⊥AC,PA=AD=2,四边形ABCD满足BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,F为侧棱PC上的任意一点.
(1)求证:平面AFD⊥平面PAB;
(2)是否存在点F,使得直线AF与平面PCD垂直 若存在,写出证明过程并求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.
(1)证明∵平面PAC⊥平面ABCD,平面PAC∩平面ABCD=AC,且PA⊥AC,PA 平面PAC,
∴PA⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD,∴PA⊥AD.
又AB⊥AD,PA∩AB=A,
∴AD⊥平面PAB,又AD 平面AFD,
∴平面AFD⊥平面PAB.
(2)解存在点F,当AF⊥PC时,直线AF与平面PCD垂直.
证明如下,
由AB⊥AD,BC∥AD,AB=BC=1,AD=2,
得AC=CD=,
∴CD⊥AC.
又PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,
∵PA∩AC=A,
∴CD⊥平面PAC.又AF 平面PAC,
∴CD⊥AF.
又AF⊥PC,CD∩PC=C,∴AF⊥平面PCD.
在△PAC中,PA=2,AC=, ∠PAC=90°,
