第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件 10.1.2 事件的关系和运算
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.关于样本点、样本空间,下列说法错误的是( )
A.样本点是构成样本空间的元素
B.样本点是构成随机事件的元素
C.随机事件是样本空间的子集
D.随机事件中样本点的个数可能比样本空间中的多
答案D
解析由定义知A,B,C均正确.因为随机事件是样本空间的子集,所以由子集的定义可知D错.
2.抛掷一枚骰子,记事件A为“落地时向上的数是奇数”,事件B为“落地时向上的数是偶数”,事件C为“落地时向上的数是3的倍数”,事件D为“落地时向上的数是2或4”,则下列各对事件是互斥事件但不是对立事件的是 ( )
A.A与B B.B与C
C.A与D D.B与D
答案C
解析在A选项中,A与B是对立事件,故A错误;在B选项中,B与C能同时发生,故B与C不是互斥事件,故B错误;在C选项中,A与D不能同时发生,且不是对立事件,故A与D是互斥事件但不是对立事件,故C正确;在D选项中,B与D能同时发生,故B与D不是互斥事件,故D错误。故选C.
3.一批产品共有100件,其中5件是次品,95件是合格品,从这批产品中任意抽取5件.现给出以下四个事件:
事件A:恰有1件次品;
事件B:至少有2件次品;
事件C:至少有1件次品;
事件D:至多有1件次品.
并给出以下结论:
①A∪B=C;②D∪B是必然事件;③A∩B=C;④A∩D=C.
其中正确结论的序号有( )
A.①② B.③④
C.①③ D.②③
答案A
解析事件A∪B表示的事件:至少有1件次品,即事件C,所以①正确;事件D∪B表示的事件:至少有2件次品或至多有1件次品,包括了所有情况,所以②正确;事件A∩B= ,③不正确;事件A∩D表示的事件:恰有1件次品,即事件A,所以④不正确.
4.从装有3个红球2个绿球的袋子中任取两个小球,请写出这一过程中的一个随机事件: .
答案两个小球都是绿色(答案不唯一)
5.连续抛掷3枚硬币,研究正面向上的情况,则其样本空间Ω= .
答案{(正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(正,反,反),(反,正,正),(反,正,反),(反,反,正),(反,反,反)}
6.某射手进行射击测试,设A=“射中10环”,B=“射中9环”,C=“射中8环”.
(1)“射中10环或9环”可表示为 .
(2)“不够8环”可表示为 .
答案(1)A∪B (2)
7.用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色,每个圆只涂一种颜色.设事件A=“三个圆的颜色全不相同”,事件B=“三个圆的颜色不全相同”,事件C=“其中两个圆的颜色相同”,事件D=“三个圆的颜色全相同”.
(1)写出试验的样本空间;
(2)用集合的形式表示事件A,B,C,D.
解(1)由题意可知3个球可能颜色一样,可能有2个一样,另1个异色,或者三个球都异色,则试验的样本空间
Ω={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝),(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黃,蓝)}.
(2)A={(红,黄,蓝)},
B={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝),(红,黄,蓝)},
C={(红,红,黄),(红,红,蓝),(蓝,蓝,红),(蓝,蓝,黄),(黄,黄,红),(黄,黄,蓝)},
D={(红,红,红),(黄,黄,黄),(蓝,蓝,蓝)}.
关键能力提升练
8.下列现象是必然事件的是( )
A.某路口单位时间内通过的车辆数
B.正n边形的内角和为(n-2)·180°(n≥3)
C.某同学竞选学生会主席成功
D.一名篮球运动员每场比赛所得的分数
答案B
解析A,C,D选项为随机事件,B选项为必然事件.
9.任意抛两枚一元硬币,记事件A=“恰好一枚正面朝上”;B=“恰好两枚正面朝上”;C=“恰好两枚正面朝下”;D=“至少一枚正面朝上”;E=“至多一枚正面朝上”,则下列事件为对立事件的是( )
A.A与B B.C与D
C.B与C D.C与E
答案B
解析在A选项中,A与B不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故A错误;在B选项中,C与D不能同时发生,也不能同时不发生,是对立事件,故B正确;在C选项中,B与C不能同时发生,但能同时不发生,是互斥但不对立事件,故C错误;在D选项中,C与E能同时发生,不是互斥事件,故D错误.
10.(多选题)设集合A={x|x2≤4,x∈Z},a,b∈A,设直线3x+4y=0与圆(x-a)2+(y-b)2=1相切,则满足条件的样本点可能是( )
A.(-1,2) B.(1,-2)
C.(-1,-2) D.(1,2)
答案AB
解析A={-2,-1,0,1,2},由直线与圆相切知,=1,所以3a+4b=±5,依次取a=-2,-1,0,1,2,验证知只有满足等式.所以Ω={(-1,2),(1,-2)}.
11.(多选题)下列各组事件中是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班的数学成绩,平均分不低于90分与平均分不高于90分
C.播种100粒菜籽,发芽90粒与发芽80粒
D.检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%
答案ACD
解析对于A,一个射手进行一次射击,命中环数大于8与命中环数小于6,不可能同时发生,故A中两事件为互斥事件;对于B,设事件A1为平均分不低于90分,事件A2为平均分不高于90分,则A1∩A2为平均分等于90分,A1,A2可能同时发生,故它们不是互斥事件;对于C,播种菜籽100粒,发芽90粒与发芽80粒,不可能同时发生,故C中两事件为互斥事件;对于D,检验某种产品,合格率高于70%与合格率低于70%,不可能同时发生,故D中两事件为互斥事件.
12.某人忘了电话号码的最后一个数字,因而他随意拨号,假设拨过的号码不再重复,若用Ai=“第i次拨号接通电话”,i=1,2,3.则事件第3次拨号才接通电话可表示为 ,拨号不超过3次而接通电话可表示为 .
答案 A3 A1∪A2∪A3
13.(2021山西阳泉期末)从一批产品中取出三件产品,设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,则下列结论不正确的是 .
①A与C互斥 ②B与C互斥 ③任何两个均互斥 ④任何两个均不互斥
答案①③④
解析从一批产品中取出三件产品,
设A=“三件产品全不是次品”,B=“三件产品全是次品”,C=“三件产品不全是次品”,
在①中,A与C能同时发生,∴A与C不是互斥事件,故①错误;
在②中,B与C不能同时发生,B与C互斥,故②正确;
在③中,A与C不是互斥事件,故③错误;
在④中,B与C互斥,故④错误.
14.甲、乙、丙三人参加某电视台的一档节目,他们都得到了一件精美的礼物.其过程是这样的:墙上挂着两串礼物(如图),每次只能从其中一串的最下端取一件,直到礼物取完为止.甲第一个取得礼物,然后,乙、丙依次取得第2件、第3件礼物.事后他们打开这些礼物仔细比较发现礼物B最精美,那么取得礼物B可能性最大的是 .
答案丙
解析取得礼物,共有三种情况,
(1)甲C,乙A,丙B;(2)甲A,乙B,丙C;(3)甲A,乙C,丙B.
可见,取得礼物B可能性最大的是丙.
15.设某人向一个目标射击3次,用事件Ai表示随机事件“第i次射击击中目标”(i=1,2,3),指出下列事件的含义:
(1)A1∩A2;
(2)A1∩A2∩;
(3);
(4).
解(1)A1∩A2表示第1次和第2次射击都击中目标.
(2)A1∩A2∩表示第1次和第2次射击都击中目标,而第3次没有击中目标.
(3)表示第1次和第2次都没击中目标.
(4)表示三次都没击中目标.
16.某连锁火锅城开业之际,为吸引更多的消费者,开展抽奖活动,前20位顾客可参加如下活动:摇动如图所示的游戏转盘(上面扇形的圆心角都相等),顾客可以免费获得按照指针所指区域的数字10倍金额的店内菜品或饮品,最高120元,每人只能参加一次这个活动.记事件A=“获得不多于30元菜品或饮品”.
(1)求事件A包含的基本事件;
(2)写出事件A的对立事件,以及一个与事件A互斥的事件.
解(1)事件A包含的基本事件为{获得10元菜品或饮品},{获得20元菜品或饮品},{获得30元菜品或饮品}.
(2)事件A的对立事件是=“获得多于30元但不多于120元菜品或饮品”,与事件A互斥的一个事件为“获得40元菜品或饮品”.
学科素养创新练
17.甲、乙两人玩一种游戏,每次由甲、乙各伸出1到5根手指,若和为偶数算甲赢,否则算乙赢.
(1)若以A表示和为6的事件,写出事件A的样本点;
(2)现连玩三次,若以B表示甲至少赢一次的事件,C表示乙至少赢两次的事件,试问:B与C是否为互斥事件 为什么
(3)这种游戏规则公平吗 试说明理由.
解(1)样本空间与点集S={(x,y)|x∈N*,y∈N*,1≤x≤5,1≤y≤5}中的元素一一对应.
事件A包含的样本点共5个,即(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1).第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.3 古典概型
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必备知识基础练
1.下列试验是古典概型的是( )
A.种下一粒大豆观察它是否发芽
B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径
C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况
D.某人射击中靶或不中靶
答案C
解析只有C具有古典概型两个特征.
2.在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是( )
A. B. C. D.
答案A
解析从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=.故选A.
3.从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
答案B
解析从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是.
4.在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,则“是整数”的概率为( )
A. B. C. D.
答案A
解析在2,4,6,8四个数中随机地抽取一个数记为a,再在剩余的三个数中随机地抽取一个数记为b,基本事件总数n=12,是整数包含的样本点(a,b)有:(4,2),(6,2),(8,2),(8,4),共4个,则“是整数”的概率P=.故选A.
5.假设有2名志愿者医生来自甲医院,有2名志愿者医生来自乙医院,从这4人中任取2人分配新的任务,则两所医院各取一人的概率为( )
A. B. C. D.
答案B
解析记2名来自甲医院的医生分别为a,b,记2名来自乙医院的医生分别为A,B,设x1,x2分别表示从4人中取的第1个人,第2个人,则可用(x1,x2)表示样本点.从这4人中任取2人,则该试验的样本空间Ω={(a,b),(a,A),(a,B),(b,A),(b,B),(A,B)},共6种,设A=“两所医院各取一人”,则A={(a,A),(a,B),(b,A),(b,B)},共4种.因此,两所医院各取一人的概率为P(A)=.
6.甲、乙、丙三人一起玩“黑白配”游戏:甲、乙、丙三人每次都随机出“手心(白)”“手背(黑)”中的某一个手势,当其中一个人出示的手势与另外两人都不一样时,这个人胜出;其他情况,不分胜负.则一次游戏中甲胜出的概率是 .
答案
解析一次游戏中,甲、乙、丙出的方法种数都有2种,所以总共有8种方案,而甲胜出的样本空间Ω={甲黑乙白丙白,甲白乙黑丙黑},共2种,所以甲胜出的概率为.
7.甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.
(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.
(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.
解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.
从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.
设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,
所以选出的2名教师性别相同的概率为P=.
(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.
设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,
所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=.
关键能力提升练
8.投掷一枚质地均匀的骰子两次,若第一次向上的点数小于第二次向上的点数,则我们称其为正试验;若第二次向上的点数小于第一次向上的点数,则我们称其为负试验;若两次向上的点数相等,则我们称其为无效试验.则一个人投掷该骰子两次出现无效试验的概率是( )
A. B. C. D.
答案C
解析连续抛一枚骰子两次向上的点数记为(x,y),则样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),
(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),
(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),
(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),
(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),
(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)},
共有36个样本点,设“出现无效试验”为事件A,则A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},共6个样本点,则P(A)=.
9.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为( )
A. B. C. D.
答案D
解析不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为.
10.新高考综合改革实施方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为( )
A. B. C. D.
答案B
解析按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=.故选B.
11.(2021江西南昌期末)2021年3月28日,云南省人民政府发布《关于命名“云南省美丽县城”“云南省特色小镇”的通知》,命名16个“云南省美丽县城”和6个“云南省特色小镇”,其中这6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为( )
A. B. C. D.
答案A
解析6个云南省特色小镇分别是安宁温泉小镇、腾冲银杏小镇、禄丰黑井古镇、剑川沙溪古镇、瑞丽畹町小镇、德钦梅里雪山小镇.某人计划在今年暑假期间从这6个云南特色小镇中任意选三个去旅游,样本点共有20个,分别是:(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,腾冲银杏小镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(安宁温泉小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(安宁温泉小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,禄丰黑井古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(腾冲银杏小镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(腾冲银杏小镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇),(禄丰黑井古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇),(禄丰黑井古镇,剑川沙溪古镇,德钦梅里雪山小镇),(剑川沙溪古镇,瑞丽畹町小镇,德钦梅里雪山小镇).其中一个是安宁温泉小镇的有10个,则其中一个是安宁温泉小镇的概率为P=.故选A.
12.(多选题)下列试验是古典概型的是( )
A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率
B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率
C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率
D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率
答案BD
13.(多选题)下列关于各事件发生的概率判断正确的是 ( )
A.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表,甲被选中的概率为
B.四条线段的长度分别是1,3,5,7,从这四条线段中任取三条,则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是
C.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物,假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条路径,则它能获得食物的概率为
D.已知集合A={2,3,4,5,6,7},B={2,3,6,9},在集合A∪B中任取一个元素,则该元素是集合A∩B中的元素的概率为
答案ABC
解析对于A,从甲、乙、丙三人中任选两人,则该试验的样本空间Ω={(甲、乙),(甲、丙),(乙、丙)},共3种情况,其中,甲被选中的情况有2种,故甲被选中的概率为P=,故A正确;对于B,样本空间Ω={(1,3,5),(1,3,7),(1,5,7),(3,5,7)},共四种情况,而能构成三角形的基本事件只有(3,5,7)一种情况,所以所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是P=,故B正确;对于C,该树枝的树梢有6处,有2处能找到食物,所以获得食物的概率为,故C正确;对于D,因为A∪B={2,3,4,5,6,7,9},A∩B={2,3,6},所以由古典概型的概率公式得,所求的概率是,故D错误.
14.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是( )
A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是
B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16
C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是
D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为16
答案ACD
解析记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω)=16,D正确.
15.从甲、乙、丙、丁四名同学中选两人当班长和副班长,其中甲、乙是男生,丙、丁是女生,则选举结果中至少有一名女生当选的概率是 .
答案
解析该试验的样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},设A=“没有女生当选”,则A中只包含(甲,乙)1个样本点,故至少一名女生当选的概率为P()=1-P(A)=1-.
16.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是 .
答案
解析从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=.
17.(2021安徽六安期末)一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b答案
解析a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为P=.
18.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为 .
答案
解析从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}.“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和A2不全被选中的概率为.
19.某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究,他们分别记录了 3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天100颗种子浸泡后的发芽数,得到如下资料:
日期 3月1日 3月2日 3月3日 3月4日 3月5日
温差 x/℃ 10 11 13 12 8
发芽数 y/颗 23 25 30 26 16
(1)求这5天发芽数的中位数;
(2)求这5天的平均发芽率;
(3)从3月1日至3月5日中任选2天,记前面一天发芽的种子数为m,后面一天发芽的种子数为n,用(m,n)的形式列出所有样本点,并求满足“”的概率.
解(1)因为16<23<25<26<30,所以这5天发芽数的中位数是25.
(2)这5天的平均发芽率为
×100%=24%.
(3)用(x,y)表示所求试验的样本点,则有(23,25),(23,30),(23,26),(23,16),(25,30),(25,26),(25,16),(30,26),(30,16),(26,16),共10个样本点.
记“”为事件A,则A={(25,30),(25,26),(30,26)},共有3个样本点.所以P(A)=,即事件“”的概率为.
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20.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
答案BC
解析由题意,该试验的样本空间Ω={(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共12个样本点,则事件A3:点P(m,n)落在直线x+y=3上,包含其中(2,1),共1个样本点,所以P(A3)=;事件A4:点P(m,n)落在直线x+y=4上,包含其中(2,2),(3,1),共2个样本点,所以P(A4)=;事件A5:点P(m,n)落在直线x+y=5上,包含其中(2,3),(3,2),(4,1),共3个样本点,所以P(A5)=;事件A6:点P(m,n)落在直线x+y=6上,包含其中(2,4),(3,3),(4,2),共3个样本点,所以P(A6)=;事件A7:点P(m,n)落在直线x+y=7上,包含其中(3,4),(4,3),共2个样本点,所以P(A7)=;事件A8:点P(m,n)落在直线x+y=8上,包含其中(4,4),共1个样本点,所以P(A8)=.综上可得,当k=5或6时,P(Ak)max=P(A5)=P(A6)=.
21.(2021山西大同期末)某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1 200名志愿者服用此药,结果如下:
治疗效果 病情好转 疗效不时显 病情恶化
人数 800 200 200
现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1 200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率.
解采用分层随机抽样的方法,从病情好转的志愿者中抽4人,
从疗效不明显及病情恶化的志愿者中各取1人组成6个人的样本.
将6人中病情恶化的1人用符号A代替,其余5人分别用1,2,3,4,5代替,
则从6人中任意抽取3人的样本点表示如下:(A,1,2),(A,1,3),(A,1,4),(A,1,5),(A,2,3),(A,2,4),(A,2,5),(A,3,4),(A,3,5),(A,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),共20个样本点.第十章概率
10.1 随机事件与概率
10.1.4 概率的基本性质
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1.已知100件产品中有5件次品,从这100件产品中任意取出3件,设E表示事件“3件产品全不是次品”,F表示事件“3件产品全是次品”,G表示事件“3件产品中至少有1件次品”,则下列结论正确的是( )
A.F与G互斥
B.E与G互斥但不对立
C.E,F,G任意两个事件均互斥
D.E与G对立
答案D
解析由题意得,事件E与事件F不可能同时发生,是互斥事件;事件E与事件G不可能同时发生,是互斥事件;当事件F发生时,事件G一定发生,所以事件F与事件G不是互斥事件,故A,C错误;事件E与事件G中必有一个发生,所以事件E与事件G对立,所以B错误,D正确.
2.许洋说:“本周我至少做完三套练习题.”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为( )
A.至多做完三套练习题
B.至多做完两套练习题
C.至多做完四套练习题
D.至少做完两套练习题
答案B
解析至少做完3套练习题包含做完3,4,5,6,…套练习题,故它的对立事件为做完0,1,2套练习题,即至多做完两套练习题.
3.某产品共有三个等级,分别为一等品、二等品和不合格品.从一箱产品中随机抽取1件进行检测,若“抽到一等品”的概率为0.65,“抽到二等品”的概率为0.3,则“抽到不合格品”的概率为( )
A.0.95 B.0.7
C.0.35 D.0.05
答案D
解析设事件A为“抽到一等品”,事件B为“抽到二等品”,事件C为“抽到不合格品”,因为事件A与B是互斥事件,所以P(A∪B)=0.65+0.3=0.95,P(C)=1-P(A∪B)=0.05.
4.某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛,甲、乙两个班取得冠军的概率分别为,则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为( )
A. B. C. D.
答案A
解析“甲班取得冠军”和“乙班取得冠军”是两个互斥事件,该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件,其概率为两个互斥事件的概率之和,即为.
5.从一批羽毛球产品中任取一个,质量小于4.8 g的概率为0.3,质量小于4.85 g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)(g)范围内的概率是 .
答案0.02
解析从羽毛球产品中任取一个,A=“质量小于4.8 g”,B=“质量在[4.8,4.85)(g)范围内”,C=“质量小于4.85 g”,P(A)=0.3,P(C)=0.32,由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B),得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02.
6.已知射手甲射击一次,命中9环以上(含9环)的概率为0.5,命中8环的概率为0.2,命中7环的概率为0.1,则甲射击一次,命中6环以下(含6环)的概率为 .
答案0.2
解析设“命中9环以上(含9环)”为事件A,“命中8环”为事件B,“命中7环”为事件C,“命中6环以下(含6环)”为事件D,则D与A∪B∪C对立,已知P(A)=0.5,P(B)=0.2,P(C)=0.1,又A,B,C三个事件两两互斥,∴P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.8,∴P(D)=1-0.8=0.2.
7.如果事件A与B是互斥事件,且事件A∪B的概率是0.8,事件A的概率是事件B的概率的3倍,则事件A的概率为 .
答案0.6
解析依题意得∴P(A)=0.6.
8.国家射击队的队员为在世界射击锦标赛上取得优异成绩加紧备战,经过近期训练,某队员射击一次命中7~10环的概率如下表所示:
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击队员在一次射击中:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中不足8环的概率.
解记事件“射击一次,命中k环”为Ak(k∈N,k≤10),则事件Ak之间彼此互斥.
(1)设“射击一次,命中9环或10环”为事件A,那么当A9,A10之一发生时,事件A发生,由互斥事件概率的加法公式得P(A)=P(A9)+P(A10)=0.28+0.32=0.6.
(2)设“射击一次,至少命中8环”为事件B,那么当A8,A9,A10之一发生时,事件B发生,由互斥事件概率的加法公式得P(B)=P(A8)+P(A9)+P(A10)=0.18+0.28+0.32=0.78.
(3)设“射击一次命中不足8环”为事件C,由于事件C与事件B互为对立事件,故P(C)=1-P(B)=1-0.78=0.22.
关键能力提升练
9.已知事件A,B,则(A∪B)∩()表示( )
A.必然事件 B.不可能事件
C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生
答案C
解析A∪B表示事件A,B至少有1个发生,表示事件A,B至少有一个不发生,∴(A∪B)∩()表示A与B恰有一个发生.
10.若A,B为互斥事件,则( )
A.P(A)+P(B)<1 B.P(A)+P(B)>1
C.P(A)+P(B)=1 D.P(A)+P(B)≤1
答案D
解析由已知中A,B为互斥事件,由互斥事件概率加法公式可得P(A)+P(B)≤1,当A,B为对立事件时,P(A)+P(B)=1,故选D.
11.在一次随机试验中,彼此互斥的事件A,B,C,D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )
A.A∪B与C是互斥事件,也是对立事件
B.B∪C与D是互斥事件,也是对立事件
C.A∪C与B∪D是互斥事件,但不是对立事件
D.A与B∪C∪D是互斥事件,也是对立事件
答案D
解析由于A,B,C,D彼此互斥,且由P(A∪B∪C∪D)=P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=1,知A∪B∪C∪D是一个必然事件,故其事件的关系如图所示.
由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件,故只有D中的说法正确.
12.掷一枚骰子的试验中,出现各点的概率均为.事件A表示“小于5的偶数点出现”,事件B表示“小于5的点数出现”,则一次试验中,事件A∪表示事件B的对立事件)发生的概率为( )
A. B. C. D.
答案C
解析由题意知,表示“大于或等于5的点数出现”,事件A与事件互斥,由概率的加法计算公式可得P(A∪)=P(A)+P()=.
13.(多选题)下列命题中为真命题的是( )
A.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A与事件B为互斥事件
B.若事件A与事件B为互斥事件,则事件A与事件B互为对立事件
C.若事件A与事件B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件
D.若事件A∪B为必然事件,则事件A与事件B为互斥事件
答案AC
解析对于A,对立事件首先是互斥事件,故A为真命题.对于B,互斥事件不一定是对立事件,故B为假命题.对于C,事件A,B为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个发生,故C为真命题.对于D,事件A∪B表示事件A,B至少有一个要发生,A,B不一定互斥,故D为假命题.
14.现有8名翻译人员,其中A1,A2,A3通晓日语,B1,B2,B3通晓俄语,C1,C2通晓韩语,从中选出通晓日语、俄语、韩语的翻译人员各一人组成一个翻译小组,则B1和C1不全被选中的概率为 .
答案
解析用列举法可求出样本点总数共18个,若N表示“B1,C1不全被选中”这一事件,则表示“B1,C1全被选中”这一事件,由于由(A1,B1,C1),(A2,B1,C1),(A3,B1,C1)3个样本点组成,∴P()=,∴P(N)=1-P()=.
15.抛掷一个均匀的正方体玩具(各面分别标有数字1,2,3,4,5,6),事件A表示“朝上一面的数是奇数”,事件B表示“朝上一面的数不超过3”,则P(A∪B)= .
答案
解析将事件A∪B分成“出现1,2,3”和“出现5”这两个事件,记“出现1,2,3”为事件C,“出现5”为事件D,则C与D两个事件互斥,所以P(A∪B)=P(C∪D)=P(C)+P(D)=.
16.围棋盒子中有多粒黑子和白子,已知从中取出2粒都是黑子的概率为,从中取出2粒都是白子的概率是.则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ,任取出2粒恰好不同色的概率是 .
答案
解析易知事件“从中取出2粒都是黑子”和“从中取出2粒都是白子”为互斥事件,故所求的概率为.不同色的概率为1-.
17.在一个袋子中放入大小相同的3个白球,1个红球,摇匀后随机摸球.
(1)摸出的球不放回袋中,求第1次或第2次摸出红球的概率;
(2)摸出的球放回袋中,连续摸2次,求第1次或第2次摸出红球的概率.
解(1)记“第1次摸到红球”为事件A,“第2次摸到红球”为事件B.显然A,B为互斥事件,易知P(A)=.
下面计算P(B).记3个白球分别为白1,白2,白3,则不放回地摸两次球的样本点为(白1,白2),(白1,白3),(白1,红),(白2,白1),(白2,白3),(白2,红),(白3,白1),(白3,白2),(白3,红),(红,白1),(红,白2),(红,白3),共12个,第二次摸到红球有3个样本点,所以P(B)=,故第1次或第2次摸到红球的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=.
(2)把第1次,第2次摸球的样本点列举出来,除了上题中列举的12个以外,由于放回,又会增加4个,即(白1,白1),(白2,白2),(白3,白3),(红,红),这样共有16个.
其中第1次摸出红球,第2次摸出不是红球的概率为P1=.
第1次摸出不是红球,第2次摸出是红球的概率为P2=.
两次都是红球的概率为P3=.
所以第1次或第2次摸出红球的概率为P=P1+P2+P3=.
18.(2021青海西宁期末)在某次数学考试中,小江的成绩在90分以上的概率是x,在[80,90]的概率是0.48,在[70,80)的概率是0.11,在[60,70)的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07.计算:
(1)x的值;
(2)小江在此次数学考试中取得80分及以上的概率;
(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率.
解(1)分别记小江的成绩在90分以上,[80,90),[70,80),[60,70),60分以下为事件A,B,C,D,E,它们是互斥事件,
由条件得P(A)=x,P(B)=0.48,P(C)=0.11,P(D)=0.09,P(E)=0.07,
由题意得P(A)+P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=1,
∴x=1-0.48-0.11-0.09-0.07=0.25.
(2)小江的成绩在80分及以上的概率为P(A∪B),
P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.25+0.48=0.73.
(3)小江考试及格(成绩不低于60分)的概率为
P()=1-P(E)=1-0.07=0.93.
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19.(2021四川广安期末)口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,摸出黄球或白球的概率是0.6,那么摸出白球的概率是 .
答案0.25
解析口袋内装有一些大小相同的红球、黄球、白球,
设红、黄、白球各有a,b,c个,
∵从中摸出一个球,摸出红球或白球的概率为0.65,
摸出黄球或白球的概率是0.6,
∴第十章概率
10.2 事件的相互独立性
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1.如图,在两个圆盘中,指针落在本圆盘每个数所在区域的机会均等,那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是( )
A. B. C. D.
答案A
解析左边圆盘指针落在奇数区域的概率为,右边圆盘指针落在奇数区域的概率也为,则两个指针同时落在奇数区域的概率为.
2.社区开展“建军90周年主题活动——军事知识竞赛”,甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为,两人是否获得一等奖相互独立,则这两人中至少有一人获得一等奖的概率为( )
A. B. C. D.
答案C
解析由题意可知,甲、乙两人都不能获得一等奖的概率为1-×1-=,故这两人中至少有一人获得一等奖的概率为1-.故选C.
3.在某道路A,B,C三处设有交通灯,这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒.某辆车在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为( )
A. B. C. D.
答案C
解析由题意可知,每个交通灯开放绿灯的概率分别为.在这条道路上匀速行驶,则三处都不停车的概率为.
4.袋内有除颜色外其他都相同的3个白球和2个黑球,从中有放回地摸球,用事件A表示“第一次摸得白球”,如果“第二次摸得白球”记为事件B,否则记为事件C,那么事件A与B,A与C间的关系是( )
A.A与B,A与C均相互独立
B.A与B相互独立,A与C互斥
C.A与B,A与C均互斥
D.A与B互斥,A与C相互独立
答案A
解析由于摸球是有放回的,则第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响,故A与B,A与C均相互独立.而A与B,A与C均能同时发生,从而不互斥.
5.台风在危害人类的同时,也在保护人类.台风给人类送来了淡水资源,大大缓解了全球水荒,另外还使世界各地冷热保持相对均衡.甲、乙、丙三颗卫星同时监测台风,在同一时刻,甲、乙、丙三颗卫星准确预报台风的概率分别为0.8,0.7,0.9,各卫星间相互独立,则在同一时刻至少有两颗卫星预报准确的概率是 .
答案0.902
解析设甲、乙、丙预报准确依次记为事件A,B,C,不准确记为事件,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,P()=0.2,P()=0.3,P()=0.1,至少两颗预报准确的事件有AB,AC,BC,ABC,这四个事件两两互斥.
∴至少两颗卫星预报准确的概率为
P=P(AB)+P(AC)+P(BC)+P(ABC)=0.8×0.7×0.1+0.8×0.3×0.9+0.2×0.7×0.9+0.8×0.7×0.9=0.056+0.216+0.126+0.504=0.902.
6.有一道数学难题,在半小时内,甲能解决的概率是,乙能解决的概率是,2人试图独立地在半小时内解决它,则2人都未解决的概率为 ,问题得到解决的概率为 .
答案
解析甲、乙两人都未能解决的概率为1-1-=.
问题得到解决就是至少有1人能解决问题,∴P=1-.
7.甲、乙、丙三位大学毕业生同时应聘一个用人单位,其能被选中的概率分别为,且各自能否被选中相互之间没有影响.
(1)求三人都被选中的概率;
(2)求只有两人被选中的概率.
解记甲、乙、丙被选中的事件分别为A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)∵A,B,C是相互独立事件,
∴三人都被选中的概率为P1=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=.
(2)三种情形:
①甲未被选中,乙、丙被选中,概率为P(BC)=P()P(B)P(C)=.
②乙未被选中,甲、丙被选中,概率为P(AC)=P(A)P()P(C)=.
③丙未被选中,甲、乙被选中,概率为P(AB)=P(A)P(B)P()=.
以上三种情况是互斥的.因此,只有两人被选中的概率为P2=.
关键能力提升练
8.从某地区的儿童中预选体操学员,已知这些儿童体型合格的概率为,身体关节构造合格的概率为.从中任挑一名儿童,这两项至少有一项合格的概率是(假定体型与身体关节构造合格与否相互之间没有影响)( )
A. B. C. D.
答案D
解析这两项都不合格的概率是,则至少有一项合格的概率是1-.
9.人的眼皮单双是由遗传基因决定的,其中显性基因记作A,隐性基因记作a.成对的基因中,只要出现了显性基因,就一定是双眼皮,也就是说,“双眼皮”的充要条件是“基因对是AA,aA或Aa”.人的卷舌与平舌(指是否能左右卷起来)也是由一对基因对决定的,分别用B,b表示显性基因、隐性基因,基因对中只要出现了显性基因B,就一定是卷舌的.生物学上已经证明:控制不同性状的基因遗传时互不干扰,基因对中两个基因分别来自父本和母本,且是随机组合的.若有一对夫妻,两人决定眼皮单双和舌头形态的基因都是AaBb,不考虑基因突变,那么他们的孩子是双眼皮且卷舌的概率为( )
A. B. C. D.
答案D
解析父母决定眼皮单双的基因均为Aa,遗传给孩子的基因可能为AA,Aa,aA,aa,所以孩子为双眼皮的概率为P1=.同理孩子卷舌的概率为P2=.根据相互独立事件的概率公式知孩子是双眼皮且卷舌的概率为P=.
10.设两个相互独立事件A和B都不发生的概率为,A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于( )
A. B. C. D.
答案D
解析由题意知,P()P()=,P()P(B)=P(A)P().设P(A)=x,P(B)=y,则∴x2-2x+1=,∴x-1=-,或x-1=(舍去),∴x=,即事件A发生的概率P(A)等于.
11.(多选题)下列各对事件中,M,N是相互独立事件的有 ( )
A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现的点数为奇数”,事件N表示“出现的点数为偶数”
B.袋中有5个白球,5个黄球,除颜色外完全相同,依次不放回地摸两次,事件M表示“第1次摸到白球”,事件N表示“第2次摸到白球”
C.掷一枚质地均匀的骰子一次,事件M表示“出现点数为奇数”,事件N表示“出现点数为3或4”
D.一枚硬币掷两次,事件M表示“第一次为正面”,事件N表示“第二次为反面”
答案CD
解析在A中,M,N是互斥事件,不相互独立;在B中,M,N不是相互独立事件;在C中,P(M)=,P(N)=,P(MN)=,P(MN)=P(M)P(N),因此M,N是相互独立事件;在D中,第一次为正面对第二次的结果不影响,因此M,N是相互独立事件.
12.(多选题)下列对各事件发生的概率判断正确的是 ( )
A.某学生在上学的路上要经过4个路口,假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的,遇到红灯的概率都是,那么该学生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为
B.三人独立地破译一份密码,他们能单独破译出的概率分别为,假设他们能否破译出密码是相互独立的,则此密码被破译的概率为
C.甲袋中有8个白球,4个红球,乙袋中有6个白球,6个红球,从每袋中各任取一个球,则取到同色球的概率为
D.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是
答案AC
解析对于A,该学生在第3个路口首次遇到红灯的情况为前2个路口没遇到红灯,第3个路口遇到红灯,所以概率为1-2×,故A正确;对于B,用A,B,C分别表示事件甲、乙、丙三人能破译出密码,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,“三个人都不能破译出密码”发生的概率为,所以此密码被破译的概率为1-,故B不正确;对于C,设“从甲袋中取到白球”为事件A,则P(A)=,设“从乙袋中取到白球”为事件B,则P(B)=,故取到同色球的概率为,故C正确;对于D,易得P(A)=P(B),即P(A)P()=P(B)P(),
即P(A)[1-P(B)]=P(B)[1-P(A)],所以P(A)=P(B).
又P()=,
所以P()=P()=,
所以P(A)=,故D错误.
13.(多选题)如图所示的电路中,5只箱子表示保险匣,设5个盒子分别被断开为事件A,B,C,D,E.箱中所示数值表示通电时保险丝被切断的概率,下列结论正确的是 ( )
A.A,B两个盒子串联后畅通的概率为
B.D,E两个盒子并联后畅通的概率为
C.A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为
D.当开关合上时,整个电路畅通的概率为
答案ACD
解析由题意知,P(A)=,P(B)=,P(C)=,P(D)=,P(E)=,所以A,B两个盒子畅通的概率为1-×1-=,因此A正确;D,E两个盒子并联后畅通的概率为1-=1-,因此B错误;A,B,C三个盒子混联后畅通的概率为1-=1-,C正确;当开关合上时,整个电路畅通的概率为,D正确.
14.设两个相互独立事件A与B,若事件A发生的概率为p,事件B发生的概率为1-p,则A与B同时发生的概率的最大值为 .
答案
解析事件A与B同时发生的概率为p(1-p)=p-p2(p∈[0,1]),当p=时,最大值为.
15.事件A,B,C相互独立,如果P(AB)=,P(C)=,P(AB)=,则P(B)= ,P(B)= .
答案
解析∵P(AB)=P(AB)P()=P()=,
∴P()=,即P(C)=.
又P(C)=P()P(C)=,
∴P()=,P(B)=.
又P(AB)=,则P(A)=,
∴P(B)=P()P(B)=.
16.某种电子玩具按下按钮后,会出现红球或绿球,已知按钮第一次被按下后,出现红球与绿球的概率都是,从按钮第二次被按下起,若前一次出现红球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为;若前一次出现绿球,则下一次出现红球、绿球的概率分别为.记第n(n∈N,n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn.
(1)求P2的值;
(2)当n∈N,n≥2时,求用Pn-1表示Pn的表达式.
解(1)P2=.
(2)Pn=Pn-1×+(1-Pn-1)×
=-Pn-1+(n∈N,n≥2).
学科素养创新练
17.(2021江苏淮安期末)某企业生产两种如图所示的电路子模块R,Q:要求在每个模块中,不同位置接入不同种类型的电子元件,且备选电子元件为A,B,C型.假设不同位置的元件是否正常工作不受其他元件影响.在电路子模块R中,当1号位与2号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.在电路子模块Q中,当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,电路子模块才能正常工作.
(1)若备选电子元件A,B型正常工作的概率分别为0.9,0.8,依次接入位置1,2,求此时电路子模块R能正常工作的概率;
(2)若备选电子元件A,B,C型正常工作的概率分别为0.7,0.8,0.9,试问如何接入备选电子元件,电路子模块Q能正常工作的概率最大,并说明理由.
解假设事件A,B,C分别表示电子元件A,B,C正常工作,
(1)电路子模块R不能正常工作的概率为P(),由于事件A,B互相独立,
所以P()=P()P()=(1-0.9)×(1-0.8)=0.02,
因此电路子模块R能正常工作的概率为1-0.02=0.98.
(2)由于当1号位元件正常工作,同时2号位与3号位元件中至少有一件正常工作时,
电路子模块Q才能正常工作,
①若1号位元件为电子元件A,
则电路子模块Q正常工作的概率为P(A)[1-P()]=0.7×(1-0.2×0.1)=0.686;
②若1号位元件为电子元件B,则电路子模块Q正常工作的概率为P(B)[1-P()]=0.8×(1-0.3×0.1)=0.776;第十章概率
10.3 频率与概率
10.3.1 频率的稳定性 10.3.2 随机模拟
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.掷两枚质地均匀的骰子,用随机模拟方法估计出现点数之和为10的概率时产生的整数随机数中,每几个数为一组( )
A.1 B.2 C.3 D.10
答案B
解析因为要考查两枚骰子得出的点数之和,所以在产生的整数随机数中,应每两个数字一组.
2.在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,那么P(A)与的大小关系是( )
A.P(A)≈ B.P(A)<
C.P(A)> D.P(A)=
答案A
解析在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近P(A),因此我们可以用近似地代替P(A).故选A.
3.关于天气预报中的“某地降水概率为10%”,下列解释正确的是( )
A.有10%的区域降水
B.10%太小,不可能降水
C.降水的可能性为10%
D.是否降水不确定,10%没有意义
答案C
解析根据概率的含义判定.
4.袋子中有四个小球,分别写有“文、明、中、国”四个字,有放回地从中任取一个小球,直到“中”“国”两个字都取到就停止,用随机模拟的方法估计恰好第三次就停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数,分别用0,1,2,3代表“文、明、中、国”这四个字,以每三个随机数为一组,表示取球三次的结果,经随机模拟产生了以下18组随机数:
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 013 320 122 103 233
由此可以估计,恰好第三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
答案B
解析由题意得18组随机数中,巧好第三次就停止的数为023,123,132,故恰好第三次就停止的概率为,故选B.
5.有一个样本量为66的样本,数据的分组及各组的频数如下:[11.5,15.5),2;[15.5,19.5),4;[19.5,23.5),9;[23.5,27.5),18;[27.5,31.5),11;[31.5,35.5),12;[35.5,39.5),7;[39.5,43.5],3.根据样本的频率分布估计,数据在范围[31.5,43.5]内的概率是( )
A. B. C. D.
答案B
解析数据在范围[31.5,43.5]内的有12+7+3=22(个),总的数据有66个,根据频率估计概率得到P=.故选B.
6.一袋中有红球3只,白球5只,还有黄球若干只,某人随意有放回地摸100次,其摸到红球的频数为30,那么袋中的黄球约有 只.每次摸球,摸到白球的概率为 .
答案2
解析设x为袋中黄球的只数,则由,解得x=2.每次摸球,摸到白球的概率为.
7.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是 .
答案0.03
解析P==0.03.
8.李老师在某大学连续3年主讲经济学院的《高等数学》,下表是李老师统计的这门课3年来的学生考试成绩分布:
成绩 人数
90分以上 43
80~89分 182
70~79分 260
60~69分 90
50~59分 62
50分以下 8
经济学院一年级的学生王小慧下学期将选修李老师的《高等数学》,用已有的信息估计她得以下分数的概率(结果保留到小数点后三位).
(1)90分以上;(2)60~69分;(3)60分以上.
解总人数为43+182+260+90+62+8=645,根据公式可计算出选修李老师的《高等数学》的人的考试成绩在各个段上的频率依次为:≈0.067,≈0.282,≈0.403,≈0.140,≈0.096,≈0.012.
用已有的信息,可以估计出王小慧下学期选修李老师的《高等数学》得分的概率如下:
(1)将“90分以上”记为事件A,则P(A)≈0.067.
(2)将“60~69分”记为事件B,则P(B)≈0.140.
(3)将“60分以上”记为事件C,则P(C)≈0.067+0.282+0.403+0.140=0.892.
关键能力提升练
9.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率:先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数,指定1,2,3,4表示命中,5,6,7,8,9,0表示未命中;再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
907 966 191 925 271 932 812 458 569 683
431 257 393 027 556 488 730 113 537 989
据此估计,该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 ( )
A.0.35 B.0.25 C.0.20 D.0.15
答案B
解析易知20组随机数中表示恰有两次命中的数据有191,271,932,812,393,所以P==0.25.
10.随着互联网的普及,网上购物已逐渐成为消费时尚,为了解消费者对网上购物的满意情况,某公司随机对4 500名网上购物消费者进行了调查(每名消费者限选一种情况回答),统计结果如下表:
满意情况 不满意 比较满意 满意 非常满意
人数 200 n 2 100 1 000
根据表中数据,估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率是( )
A. B. C. D.
答案C
解析由题意得,n=4 500-200-2 100-1 000=1 200,所以随机调查的网上购物消费者中对网上购物“比较满意”或“满意”的总人数为1 200+2 100=3 300,频率为.由此估计在网上购物的消费者群体中对网上购物“比较满意”或“满意”的概率为.
11.数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2 020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为( )
A.222石 B.224石 C.230石 D.232石
答案B
解析由题意,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,即夹谷占有的概率为,所以2 020石米中夹谷约为2 020×≈224(石).
12.(多选题)下列说法中不正确的有( )
A.做9次抛掷一枚均匀硬币的试验,结果有5次出现正面,所以出现正面的频率是
B.盒子中装有大小均匀的3个红球,3个黑球,2个白球,每种颜色的球被摸到的可能性相同
C.从-4,-3,-2,-1,0,1,2中任取一个数,取得的数小于0和不小于0的可能性相同
D.分别从2名男生,3名女生中各选1名作为代表,那么每名学生被选中的可能性相同
答案BCD
解析B中,摸到白球的概率要小于摸到红球或黑球的概率;C中,取得的数小于0的概率大于不小于0的概率;D中,男生被选中的概率为,而女生被选中的概率为,故BCD均不正确.
13.某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获收益12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是去年200例类似项目开发的实施结果:
投资成功 投资失败
192次 8次
则该公司一年后估计可获收益的平均数是 .
答案4 760
解析设可获收益为x,如果成功,x的取值为5×12%,如果失败,x的取值为-5×50%,一年后公司成功的概率为,失败的概率为,所以一年后公司收益的平均数是×10 000=4 760.
14.容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为 ,估计数据落在[2,10)内的概率约为 .
答案64 0.4
解析数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4=64,落在[2,10)内的频率为(0.02+0.08)×4=0.4,由频率估计概率知,所求概率约为0.4.
15.深夜,某市某路段发生一起出租车交通事故.该市有两家出租车公司,红色出租车公司和蓝色出租车公司,其中红色出租车公司和蓝色出租车公司的出租车分别占整个城市出租车的15%和85%.据现场目击证人说,事故现场的出租车是红色的,并对现场目击证人的辨别能力做了测试,测得他辨认的正确率为80%,于是警察就认定红色出租车具有较大嫌疑.警察这一认定是 的.(填“公平”或“不公平”)
答案不公平
解析设该市的出租车有1 000辆,那么依题意可得如下信息:
类别 真实颜色 证人眼中的颜色(正确率80%)
蓝色 红色
蓝色(85%) 850 680 170
红色(15%) 150 30 120
合计 1 000 710 290
从表中可以看出,当证人说出租车是红色时,确定它是红色的概率为≈0.41,而它是蓝色的概率为≈0.59.在实际数据面前,警察仅以目击证人的证词作为推断的依据对红色出租车公司显然是不公平的.
16.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.
顾客人数 商品
甲 乙 丙 丁
100 √ × √ √
217 × √ × √
200 √ √ √ ×
300 √ × √ ×
85 √ × × ×
98 × √ × ×
(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率;
(3)若顾客购买了甲,则该顾客同时购买了乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大
解(1)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为=0.2.
(2)从统计表可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为=0.3.
(3)与(1)同理,可得,顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为=0.6,顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为=0.1,所以,若顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.
学科素养创新练
17.如图所示,A地到火车站共有两条路径L1和L2,现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如下:
所用时间/分钟 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60
选择L1的人数 6 12 18 12 12
选择L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率;
(2)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们应如何选择各自的路径.
解(1)由已知共调查了100人,其中40分钟内不能赶到火车站的有12+12+16+4=44(人),
所以用频率估计相应的概率为0.44.
(2)设A1,A2分别表示甲选择L1和L2时,在40分钟内赶到火车站;B1,B2分别表示乙选择L1和L2时,在50分钟内赶到火车站.
由频数分布表知,40分钟赶往火车站,选择不同路径L1,L2的频率分别为(6+12+18)÷60=0.6,(4+16)÷40=0.5,
所以估计P(A1)=0.6,P(A2)=0.5,则P(A1)> P(A2),
因此,甲应该选择路径L1,
同理,50分钟赶到火车站,乙选择路径L1,L2的频率分别为48÷60=0.8,36÷40=0.9,
