1.4.2充要条件 课件（共28张PPT）

(共28张PPT)
1.4 充分条件与必要条件
第2课时 充要条件
素 养 目 标 学 科 素 养
1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点) 2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点) 3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点) 1、数学抽象
2、逻辑推理
学习目标
充分条件与必要条件
命题真假 “若p，则q”真
推理关系
条件关系
“若p，则q”假
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
注：已知满足条件p,满足条件q则p是q的充分条件；p是q的必要条件
复习引入
问题导入
思考1：下列“若,则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
(2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
将命题“若,则”中的条件和结论互换，就得到一个新的命题“若,则”，称这个命题为原命题的逆命题.
逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等；
逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；
(4)若是空集，则与均是空集.
逆命题：若，则一元二次方程有两个不相等的实数根；
逆命题：若与均是空集，则是空集.
新知探索一
概括地说，如果，那么与互为充要条件.上述命题(1)(4)中的与互为充要条件.
不难发现，上述命题中的命题(1)(4)和它们的逆命题都是真命题；命题(2)是真命题，(3)是假命题，但它们的逆命题是假命题.
如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题，即既有，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件.显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件.
例析
例1.下列各题中，哪些是的充要条件？
(1)：四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直且平分；
(2)：两个三角形相似，两个三角形三边成比例；
(3)：，
(4):是一元二次方程的一个根,.
解：(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形不一定是正方形(为什么)，
所以，所以不是的充要条件.
(2)因为“若,则”是相似三角形的性质定理，“若,则”是相似三角形的判定定理，所以它们均为真命题，即，所以是的充要条件.
(3)因为时，不一定成立(也可以是，)，
所以，所以不是的充要条件.
(4)因为“若,则”与“若,则”均为真命题，即，所以是的充要条件.
新知探索二
思考2：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？
定义：“四边形的两组对边分别平行”
①“四边形的两组对角分别相等”
③“四边形的一组对边平行且相等”
②“四边形的两组对边分别相等”
④“四边形的对角线互相平分”
四边形是平行四边形
根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义
追问：你能给出“三角形全等”或“三角形相似”的其他形式的定义吗？
新知探索
“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的几个充要条件.
①“两个三角形的三边相等”
③“两个三角形的两角和它们的夹边分别相等”
②“两个三角形的两边和它们的夹角分别相等”
④“两个三角形的两角和其中一角的对边相等”
两个三角形全等
①“两个三角形的三边成比例”
③“两个三角形的其中两角相等”
②“两个三角形的两边成比例且它们的夹角相等”
两个三角形相似
这些定义也是相互等价的.
思考3：，则是的充分必要条件，类似的，
你能否列举说明是的充分不必要条件、必要不充分条件、既不必要也不充分条件
新知探索
条件p 结论q p能否推q q能否推p p与q的关系
x=1 x3=1 p是q的________________条件
x>2 x2>4 p是q的________________条件
ab=0 a=0 p是q的________________条件
|a|>|b| a>b p是q的_________________条件
充分必要(充要)
充分不必要
必要不充分
既不充分也不必要
例析
例2.判断下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条件”和“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．
(1) p: x-3=0, q: (x-2)(x-3)=0；
(2) p: 两个三角形相似, q: 两个三角形全等；
(3) p: a>b, q: a+c>b+c；
(4) p: a>b , q: ac > bc .
充分不必要条件
必要不充分条件
充要条件
既不充分也不必要条件
(5) p: x2-1=0 , q: |x|-1=0 .
充要条件
(6) p: x<5 , q: x<3 .
必要不充分条件
新知探索三
条件类型与集合的关系【集合判断】
记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若p是q的充分条件，则集合A，B的关系是什么？
(2)若p是q的必要条件,则集合A，B的关系是什么？
(3)若p是q的充分必要条件，则集合A，B的关系是什么？
(4)若p是q的充分不必要条件，则集合A，B的关系是什么？
(5)若p是q的必要不充分条件，则集合A，B的关系是什么？
(6)若p是q的即不充分也不必要条件，则集合A，B的关系是什么？
条件 定义法 集合法
A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}
p是q的充分条件
p是q的必要条件
p是q的充要条件
p是q的充分不 必要条件
p是q的必要不 充分条件
p是q的既不充分也不必要条件
充分条件与必要条件的两种判断方法
新知探索三
课堂练习
1.以下选项中， 是 的充要条件的是( ).
A. ，
B. , ，
C. 四边形的两条对角线互相垂直平分， 四边形是正方形
D. ， 关于 的方程 有唯一解
[解析] 对于A， ， ，所以 是 的既不充分也不必要条件；对于B， ，但 ，所以 是 的充分不必要条件；对于C， ，但 ，所以 是 的必要不充分条件；对于D，显然 ，所以 是 的充要条件.故选D.
课堂练习
2.下列选项中， 是 的充要条件的为( ).
A. ， ， B. ，
C. ， D. ，
BD
[解析] 对于A， ，但 ，故 不是 的充要条件；对于B， ，且 ，即 ，故 是 的充要条件；对于C， ，但 ，故 不是 的充要条件；对于D， ，且 ，故 是 的充要条件．
3.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A B”的 (　　)
A.充分不必要条件　B.必要不充分条件 C.充要条件　 D.既不充分又不必要条件
解析 　∵A={1,a},B={1,2,3},A B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,∴“a=3”
是“A B”的充分不必要条件.
A
课堂练习
4.四边形 的对角线为 , ，则“四边形 为菱形”是“ ”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
[解析] 若“四边形 为菱形”，则显然对角线互相垂直；
但“ ”推不出“四边形 为菱形”，例如对角线垂直的等腰梯形．
所以“四边形 为菱形”是“ ”的充分不必要条件．
5.设 , 是两个集合，则“ ”是“ ”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
[解析] ，
∴“ ”是“ ”的充要条件.
C
6.已知 ， 都是 的充分条件， 是 的必要条件， 是 的必要条件.那么：
（1） 是 的什么条件？
（2） 是 的什么条件？
（3） 是 的什么条件？
[解析] 将 ， ， ， 的关系作图表示，如图所示.
（1）因为 ， ，所以 是 的充要条件.
（2）因为 ， ，所以 是 的充要条件.
（3）因为 ，所以 是 的充分条件.
课堂练习
例题讲解
题型一：充要条件的判断
例1.(多选)下列各题中，是的充要条件的有( ).
A.为二次函数
B.
C.四边形是正方形，四边形的对角线互相垂直平分
D.或
答案：AD.
解：对于A，当时，可得为二次函数，当为二次函数时，可得故是的充要条件，故A正确.
对于B，当时，或故是的不必要条件，故B错误.
对于C，当四边形对角线互相平分时，不能推出四边形是正方形，故是的不必要条件，故C错误.
对于D，当或时，两边同时平方可得解得或故是的充要条件，故D正确.
类题通法：
判断充分、必要条件的步骤
认清
找推式
下结论
分清哪个是条件，哪个是结论
判断“若，则”及“若，则”的真假
根据推论及定义下结论
例题讲解
变1.下列各题中，哪些是的充要条件？
(1)且；
(2)三角形是等腰三角形，三角形是等边三角形；
(3)
解：(1)∵
∴是的充要条件.
(2)∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定是等边三角形
∴不是的充要条件，是的必要不充分条件..
(3)∵,
∴是的充要条件.
例题讲解
题型二：利用充分、必要条件求参数
例2.已知
(1)当为何值时，是的充分不必要条件？
(2)当为何值时，是的必要不充分条件？
(3)当为何值时，是的充要条件？
解：(1)∵是的充分不必要条件∴，
∴.∴当时，∴是的充分不必要条件.





例题讲解
(2)∵是的必要不充分条件，∴，
∴.∴当时，是的必要不充分条件.



(3)∵是的充要条件，∴，此时
∴当时，是的充要条件.


练习
类题通法：
由条件关系求参数的值(范围)的步骤
(1) 根据条件关系建立条件构成的集合之间的关系.
(2)根据集合端点或数形结合列方程或不等式(组)求解.
变1.已知
(1)当为何值时，是的充分不必要条件？
(2)当为何值时，是的必要不充分条件？





解：(1)若是的充分不必要条件，
即但，亦即是的必要不充分条件，
∴，∴.
∴当时，是的必要不充分条件，即是的充分不必要条件.
例题讲解
(2)若是的必要不充分条件，即但，
∴，∴.∴当时，
∴是的充分不必要条件，即是的必要不充分条件.



例3.已知：的半径为，圆心到直线的距离为.求证：是直线与相切的充要条件.
证明：设：直线与相切.
(1)充分性()：如图，作于点，则若则点在上.在直线上任取一点(易于点),连接在中，所以，除点外直线上的点都在的外部，即直线与仅有一个公共点.所以直线与相切.
(2)必要性()：若直线与相切，不妨设切点为，则因此，.
由(1)(2)可得，是直线与相切的充要条件.
P
Q
O
l
d
r
题型三：充要条件的证明与探究
例题讲解
练习
类题通法：
充要条件的证明思路
根据充要条件的定义，证明充要条件对要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地，证明“成立的充要条件为”:
(1)充分性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出；
(2)必要性，把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出.
变1.证明:如图,梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．
A
B
C
D
证明：(1)必要性( )：
在等腰梯形ABCD中，
AB=CD, ∠ABC=∠DCB,
∴△BAC≌△CDB.
∴AC=BD.
又∵BC=CB,
(2)充分性( )：
E
1
2
如图,过点D作DE//AC, 交BC的延长线于点E.
∵ AD//BE , DE//AC .
∴ 四边形ACED是平行四边形，∴ DE=AC .
∵ AC=BD,
∴ BD=DE .
∴ ∠E= ∠1 .
又∵AC//DE ,
∴ ∠2=∠E .
∴ ∠1= ∠2 .
在△ABC和△DCB中，
∴ △ABC≌△DCB .
∴ ∠ABC=∠DCB .
梯形ABCD为等腰梯形.
∴梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC＝BD．
条件：AC＝BD
结论：梯形ABCD为等腰梯形
例题讲解
E
B
C
D
A
F
变2.求证：“关于 的方程 有一个根为2”的充要条件是“ ”.
[解析] ①先证明必要性：
因为方程 有一个根为2，把 代入方程 中，可得 ，所以必要性成立.
②再证明充分性：
因为 ，所以 ，代入方程 中，得 ，即 ,故方程 有一个根为2，所以充分性成立.
综上，“关于 的方程 有一个根为2”的充要条件是“ ”.
例题讲解
例题讲解
变3.设 , ，求证： 成立的充要条件是 .
[解析] ①充分性：若 ，则有 和 两种情况，
当 时，不妨设 ， ，得 ， ,所以等式成立.
同理，当 , 或 , 时，等式均成立.
当 时， , 或 , ，
当 , 时， ， ，所以等式成立.
当 , 时， ，
，所以等式成立.
综上，当 时， 成立.
②必要性：若 且 , ,则 ,
即 ,
所以 ，所以 .
综上可知， 是等式 成立的充要条件.