2023-2024学年广东省江门市台山市某中学高一（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省江门市台山市华侨中学高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，集合，则为( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列各组中的两个函数为同一函数的是( )
A.
B.
C. ，
D.
4.设，，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
5.函数，，则( )
A. 函数有最小值，最大值 B. 函数有最小值，最大值
C. 函数有最小值，最大值 D. 函数有最小值，最大值
6.若一个幂函数的图象经过点，则它的单调递减区间是( )
A. B. C. D.
7.已知不等式的解集为，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D. ，或
8.已知函数，若在上是减函数，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设集合，，若，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.下列说法中正确的有( )
A. 命题，则命题的否定是，
B. “”是“”的必要条件
C. 命题“，”的是真命题
D. “”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件
11.已知函数，关于函数的结论正确的是( )
A. 的定义域为 B. 的值域为
C. D. 若，则的值是
12.已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则( )
A. 的最小值为
B. 在上单调递减
C. 的解集为
D. 存在实数满足
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的值为______ ．
14.求函数的定义域______．
15.已知为奇函数，，则__________．
16.已知命题“，”是假命题，则实数的取值范围为______ ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
化简求值：
计算；
．
18.本小题分
已知全集，，．
若，求；
若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
已知，求最小值；
已知，求的最大值．
20.本小题分
已知函数是定义在上的奇函数，当时，．
求函数在上的解析式；
用单调性定义证明函数在区间上是增函数．
21.本小题分
年，某厂计划生产吨至吨的某种产品，已知生产该产品的总成本万元与总产量吨之间的关系可表示为．
当总产量为吨时，总成本为多少万元？
若该产品的出厂价为每吨万元，求该厂获得利润的最大值；
求该产品每吨的最低生产成本．
22.本小题分
已知函数，其中为常数，且．
若，求函数的表达式；
在的条件下，设函数，若在区间上是单调函数，求实数的取值范围；
是否存在使得函数在上的最大值是？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：全集，集合，
，
，
．
故选：．
根据全集及求出的补集，找出补集与的并集即可．
此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．
2.【答案】
【解析】解：命题“，”的否定是“，“．
故选：．
根据存在量词命题的否定是全称量词命题即可得出正确的选项．
本题考查了存在量词命题的否定是全称量词命题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：项：中，，中，，两个函数的定义域不同，所以是不同函数；
项：，即对应关系不同；
项：定义域都是实数集，对应关系都相同，是同一函数；
项：中，，中，，两个函数的定义域不同，所以是不同函数．
故选：．
按函数相等的定义逐项判断即可．
本题考查同一函数的判断，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：由，可设，．
对于：，不对；
对于：，，，不对；
对于，当时，可得，不对；
对于：当时，，，当时，，，对；
故选：．
利用特殊值即可判断．
本题考查了不等式的性质和特殊值的利用判断．比较基础．
5.【答案】
【解析】解：，
，
由，得，
设，
，
，
．
函数有最小值，最大值．
故选A．
由，知，利用导数性质能求出函数，的最大值和最小值．
本题考查闭区间上函数的最值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．
6.【答案】
【解析】解：设幂函数，
幂函数的图象过点，
，
解得，即，
易知在为增函数，在为减函数．
故的单调递减区间是．
故选：．
根据幂函数的定义及性质计算即可．
本题主要考查了幂函数的定义和性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：不等式的解集为，
的两根为，，且
即
解得，则不等式可化为
解得
故选：．
不等式的解集为，的两根为，，且，根据韦达定理，我们易得，的值，代入不等式易解出其解集．
本题考查的知识点是一元二次不等式的解法，及三个二次之间的关系，其中根据三个二次之间的关系求出，的值，是解答本题的关键．
8.【答案】
【解析】解：由在上是减函数可得，解得．
故选：．
根据反比例函数以及一次函数的单调性，即可结合分段函数的性质求解．
本题主要考查了一次函数及反比例函数单调性的应用，还考查了分段函数性质的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
当时，，则成立，所以满足题意；
当时，，若成立，则，；
所以，，满足题意．
故选：．
分成，两种情况表示集合，结合交集运算得出结果．
本题考查交集定义等基础知识，考查运算运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，命题的否定是，，故A正确；
对于，不能推出，例如，但；也不能推出，例如，而；
所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于，当时，，故C错误；
对于，关于的方程有一正一负根，
所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：．
根据全称命题与特称命题的否定、充分必要条件等逐项判断即可．
本题主要考查了命题的否定，考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题意知函数的定义域为，故A错误；
当时，的取值范围是，
当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确；
当时，，故C错误；
当时，，无解，当时，，，故D正确．
故选：．
对根据解析式判断定义域，对结合单调性求出值域，对代值即可求出，对利用函数值分段讨论求出．变量的值．
本题考查的知识点是分段函数的应用，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数是定义在上的偶函数，当时，，
可得，
可得时，在时取得最小值，由偶函数的图象关于轴对称，可得在上取得最小值，故A正确；
在递减，在递增，故B错误；
由或，解得或，故C正确；
由，，即存在实数满足，故D正确；
故选：．
由偶函数的定义可得的解析式，由二次函数的最值求法和单调性的判断、二次不等式的解法和，可得结论．
本题考查函数的奇偶性和单调性的性质和运用，考查转化思想、运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：原式．
故答案为：．
利用有理数指数幂的运算性质求解．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，解之得且
函数的定义域为
且，即
故答案为：
由分式的分母不为零且二次根号的被开方数大于或等于零，建立关于的不等式组，解之即可得到函数的定义域．
本题给出函数表达式，求函数的定义域，着重考查了分式的分母不为零、二次根号的被开方数不小于零，等等求函数定义域的常用方法，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
将等式中的用代替；利用奇函数的定义及，求出的值．
本题考查奇函数的定义：对于定义域中的任意都有
【解答】
解：
为奇函数
所以
故答案为
16.【答案】
【解析】解：“，”是假命题，
等价于“，”为真命题，
所以有实数解，
所以，解得或，
所以实数的取值范围为．
故答案为：
转化为有实数解，利用判别式即可求解．
本题主要考查全称量词和全称命题，属于基础题．
17.【答案】解：原式；
原式
．
【解析】根据分数指数幂的运算性质化简可得；
先将根式化为分数指数幂，然后由幂的运算性质可得．
本题主要考查指数幂的运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：，
若，，
所以；
因为“”是“”的充分条件，所以，
所以，
即实数的取值范围是．
【解析】根据补集、交集的概念运算即可；
先判断集合间的包含关系，再列出不等式即可．
本题考查补集、交集的概念以及集合间的包含关系，属于基础题．
19.【答案】解：因为，所以，
当且仅当时等号成立，
所以该函数的最小值为；
因为，所以，
则，当且仅当时，即当时，函数取得最大值．
【解析】利用基本不等式求解即可；
将函数解析式变形为，然后利用基本不等式可求得该函数的最大值．
本题主要考查了基本不等式求解最值，属于基础题．
20.【答案】解：是定义在上的奇函数，所以，
设，则，
由时，可知，，
又为奇函数，故，
函数在上的解析式为；
证明：设，则，
，
，
，即，
函数在区间上是增函数，得证．
【解析】本题考查利用函数奇偶性求函数解析式，考查函数单调性的证明，属于中档题．
利用奇函数的性质直接可以求得函数解析式，需要注意的是；
利用单调性定义直接证明即可．
21.【答案】解：当时，；
设利润为，
当时，有最大利润为万元；
该产品每吨的生产成本为，
当，即时等号成立，
故当时，每吨的最低生产成本为万元．
【解析】代入数据计算即可；
设利润为，计算最值得到答案；
，利用均值不等式计算得到答案．
本题考查了函数模型的实际应用，属于中档题．
22.【答案】解：由，可得，
；
由得，函数的对称轴为
在区间上是单调函数，
或
或；
的对称轴为
时，函数图象开口向上，，此时函数在上的最大值是，，不合题意，舍去；
时，函数图象开口向下，，
若，即时，函数在上的最大值是
，或，符合题意；
若，即时，函数在上递增，最大值为，
，不合题意，舍去；
综上，存在使得函数在上的最大值是，且或．
【解析】由，可得的值，从而可得函数的表达式；
，函数的对称轴为，根据在区间上是单调函数，可得或，从而可求实数的取值范围；
的对称轴为，分类讨论，确定函数图象开口向上，函数在上的单调性，利用最大值是，建立方程，即可求得结论．
本题考查函数解析式的确定，考查二次函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
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