辽宁省丹东市2023年中考数学试卷
1．（2023·丹东）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：6的相反数是-6.
故答案是：B.
【分析】根据相反数的定义即可求解.
2．（2023·丹东）如图所示的几何体是由个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是：
故答案为：C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可.
3．（2023·丹东）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（3xy）2=9x2y2，故选项A符合题意；
B、（y3）2=y6，故选项B不合题意；
C、x2·x2=x4，故选项C不合题意；
D、x6÷x2=x4，故选项D不合题意．
故答案为：A.
【分析】直接利用积的乘方运算法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；逐项化简即可求解.
4．（2023·丹东）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲、丙的平均数比乙、丁大，
∴应从甲和丙中选，
∵甲的方差比丙的大，
∴丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙.
故答案为：C.
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性也越小，据此即可求解.
5．（2023·丹东）如图所示，在中，，垂足为点，，交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∠A=50°，
∴∠BDE=∠A=50°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠BDE=∠A=50°，结合题意可得∠CDB=90°，即可求解.
6．（2023·丹东）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为：x＜4．
故答案为：B.
【分析】结合题意写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可.
7．（2023·丹东）在一个不透明的袋子中，装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
黑球的个数为：
=3×4-3
=12-3
=9，
故答案为：D.
【分析】根据题意和题目中的数据，根据概率公式列出算式，计算即可求解.
8．（2023·丹东）如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG=4，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠AGB=∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AG+DG=4+5=9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=CB=9.
故答案为：C.
【分析】根据作图方法可得BH平分∠ABC；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABH=∠CBH，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的腰所对的角相等可得∠ABG=∠AGB，推得∠AGB=∠CBH；根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对应边相等可得BC=AD=9；根据两直线平行，内错角相等得∠ABG=∠CHB，推得∠CBH=∠CHB；根据等腰三角形的性质即可求解.
9．（2023·丹东）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC=90°，，，且AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴，
∴AC=2AB，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AB=CD=4，
∴，
∴矩形ABCD的周长是.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，矩形的对角线相等可推得OA=OB；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形；根据等边三角形的三条边相等可推得AC=2AB；根据等边三角形三线合一的性质可得E为OB的中点；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值；求得AB的值；即可求得矩形ABCD的周长.
10．（2023·丹东）抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，故a＞0；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，
故b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
故c＜0；
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2，且x1+x2＜-2，
故x1+x2＜2x2＜-2，
则x2＜-1，
∴E，F两点都在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．故②错误；
③作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，如图：
则PC′=PC，
故PC+PD=PC′+PD=C′D，
故此时PC+PD的值最小；
将A（-3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c得，9a-3b+c=0，
又∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即，
∴b=2a，
故9a-6a+c=0，
∴c=-3a；
又∵抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
则点C坐标为（0，-3a），
∴点C′坐标为（0，3a）；
当x=-1时，y=-4a，
故D（-1，-4a）；
设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a，
将点D坐标代入得-k+3a=-4a，
解得：k=7a，
所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a；
将y=0代入y=7ax+3a得，
所以点P的坐标为，故③正确；
④∵方程ax2+b（x-2）+c=-4没有实数根，
即方程ax2+bx-2b+c+4=0根的判别式△=b2-4ac＜0，
∴b2-4a·（-2b+c+4）＜0，
∵b=2a，c=-3a，
故整理可得△=b（b-1）＜0；
∵b＞0，
∴b-1＜0，
即b＜1，
∴0＜b＜1；故④错误；
∴正确的有③．
故答案为：A.
【分析】首先根据函数图象可得出a、b、c的正负，即可判断①错误；根据抛物线的增减性和题意推得E，F两点都在对称轴的左侧，即可判断②错误；根据最短路径可得作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小，根据对称性和点A坐标、对称轴可求得点C′和点D的坐标，待定系数法求出直线C′D的函数表达式，求出直线C′D与x轴的交点坐标即可求出点P的坐标，判断③正确；根据一元二次方程根的判别式可求得△=b（b-1）＜0，结合b＞0，即可求出b的取值范围，判断④错误.
11．（2023·丹东）地球上的海洋面积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：361000000用科学记数法可以表示为.
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．（2023·丹东）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差分解即可.
13．（2023·丹东）某青年排球队有名队员，年龄的情况如下表：
年龄岁
人数
则这名队员年龄的中位数是 岁
【答案】19
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：观察统计表可知：共12名队员，中位数是第6，7个人平均年龄，
∴中位数是19岁；
故答案为：19.
【分析】根据将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数即可求解.
14．（2023·丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
【答案】，且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
x+2≥0，
即x≥-2；
又∵分母不能等于0，
即x-1≠0，
则x≠1；
故答案为：，且.
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，分母不等于0即可求解.
15．（2023·丹东）不等式组的解集是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：x＞3，
解不等式②，得：x＞6，
∴该不等式组的解集是：；
故答案为： .
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
16．（2023·丹东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠C，
又∵∠EBG=∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC=AB=12，CF=BE=5，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】根据正方形的四个角是直角，四条边相等可得∠ABE=∠C=90°，AB=BC；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ABE≌△BCF；根据全等三角形的对应角相等可得∠BAE=∠CBF，推得∠BGE=∠C；根据有两个角相等的三角形是相似三角形可得△EBG∽△FBC；根据相似三角形的对应边成比例可得；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BF的值，即可求出BG的值.
17．（2023·丹东）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是，则 ．
【答案】4
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（m，n），
∵点A在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴k=mn，m＞0，n＞0，
∵AC⊥x轴于点C，
∴OC=m，AC=n，
∴BC=2AC=2n，
∴AB=BC+AC=3n，
∵
即
∴mn=4，
∴k=mn=4；
故答案为：4.
【分析】设点A的坐标为（m，n），结合题意和图象可得k=mn，m＞0，n＞0；推得OC=m，AC=n，AB=3n，根据三角形的面积公式可求得mn=4，即可求得k的值.
18．（2023·丹东）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，点在轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点的坐标为 ；点的坐标为 ．
【答案】 ； 或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：
∵点A（3，0），B（0，4），
∴，
设BE=t，
∵tan∠ABC=2，
在Rt△BCE中，，
∴，
∴CE=2t，
∴，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC=OC+OA=3+OC，
∴，
即：5×2t=4×（3+OC），
∴，
在Rt△BOC中，BC2-OB2=OC2，
即，
整理得：t2-12t+20=0，
解得：t1=2，t2=10（不合题意，舍去），
∴t=2，此时，
∴点C的坐标为（-2，0），
设点D的坐标为（m，n），
BC2=（-2-0）2+（0-4）2=20，BD2=（m-0）2+（n-4）2，CD2=（m+2）2+（n-0）2，
∵△BCD为等边三角形，
∴BD=CD=BC，
∴（m-0）2+（n-4）2＝20，（m+2）2+（n-0）2＝20，
整理得：，
②-①得：4m+8n=12，
∴m=3-2n，
将m=3-2n代入①得：（3-2n）2+n2-8n=4，
整理得：n2-4n+1=0，
解得：，
当时，，
当时，，
∴点D的坐标为或．
故答案为：； 或.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，根据两点间的距离公式可得AB=5；设BE=t，根据锐角三角函数的定义可求得CE=2t，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得；根据三角形的面积格式可求得；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出t=2，OC的值；即可求出点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），根据两点间的距离公式表示出BC2、BD2、CD2，根据等边三角形的三条边相等可得BD=CD=BC，即可列出方程组，求解可得，代入即可求出m的值，即可求解.
19．（2023·丹东）先化简，再求值：
，其中．
【答案】解：原式
；
∵，
原式.
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】把括号内第一分式的分子分母分别分解因式后约分化简，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后利用同分母分式的减法法则计算括号内的减法，最后计算分式乘法得出最简结果；根据负整数指数幂及零指数的性质计算得出x的值，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
20．（2023·丹东）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀，良好，一般，不合格，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
【答案】（1）50；7
（2）解：由（1）知，m=7，
等级为A的有： 50-16-15-7=12（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
C等所在扇形圆心角的度数为：；
（3）解：
人，
即估计该校学生答题成绩为等和等共有人；
（4）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50；7；
【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算m的值即可；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出A等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，用360°乘以C等级的人数所占的百分比可计算出C等所在扇形圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据，用该校学生的总人数乘以A、B等级人数所占的百分比可以计算出该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，由图可知一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，然后可根据概率公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
21．（2023·丹东）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为米的桥梁进行重新改造为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
【答案】解：设施工队原计划每天改造x米，
根据题意得：，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设施工队原计划每天改造x米，则实际每天改造（1+50％）x米，根据工作总量除以工作效率等于工作时间分别表示出原计划的工作时间及实际的工作时间，进而根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务列出方程，求解并检验，即可得出答案.
22．（2023·丹东）如图，已知是的直径，是的弦，点是外的一点，，垂足为点，与相交于点，连接，且，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠ODB=∠OBD，∠PDE=∠PED；根据对顶角相等可得∠BEC=∠PDE；推得∠PDO=90°，根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可证明PD是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义可求出CF=6，OF=5，OC=1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得OD=3，求得BC=2，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得PC，即可求解.
23．（2023·丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到岛时，测得灯塔在它北偏东方向上，继续向东航行到达港，此时测得灯塔在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔的最短距离结果精确到参考数据：，，，，，．
【答案】解：过B作BD⊥AC于D，
则，
，，
设BD=xnmile，
，，
，
，
，
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，设BD=xnmile，根据锐角三角函数的定义可表示出AD和CD的值，进而根据AD+CD=AC即可列出等式，求出x的值，即可求解.
24．（2023·丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价元满足一次函数关系．
（1）请直接写出与的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
【答案】（1）解：根据题意设y=kx+b，
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，
则，
解得：，
则y与x的函数关系式为；
（2）解：定价为x元，每千克利润(x-4)元，
由(1)知销售量为，
则，
解得：舍，，
超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）解：设利润为W元，
根据题意可得：，
即，
，对称轴为，
当时，W随x的增大而增大，
又，
时，元
当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设y=kx+b，根据每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，列出二元一次方程组，求解可得k、b的值，从而即可得出y关于x的函数解析式；
（2）定价为x元，每千克利润（x-4）元，根据每千克的利润×销售数量=总利润，列一元二次方程，解方程即可；
（3）设利润为W，根据每千克的利润×销售数量=总利润可建立出W关于x的函数解析式，根据二次函数的性质即可求出合适的值.
25．（2023·丹东）在中，，，，点是的中点四边形是菱形按逆时针顺序排列，，且，菱形可以绕点旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．
（1）在菱形绕点旋转的过程中，当点在线段上时，如图，请直接写出与的数量关系及的值；
（2）当菱形绕点旋转到如图所示的位置时，中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线与直线的交点为，在菱形绕点旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积．
【答案】（1）解：，，理由：
在中，，，，
则，则，
点是的中点，则，
则，，
在中，，，
则为等边三角形，则；
（2）解：（1）的结论成立，理由：
证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，
，
，
，，
，
，，
，
.
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，DF，
∵四边形DEFG是菱形，DE=2，∠EDG=60°，
∴DE=DG=2，DF⊥EG，∠EDM=∠EFD=30°，，∠DEF=120°，
∴，，
则，
∴DF=BD，
∴∠FBC=∠EFD=30°，
又∵∠DEF=120°，
∴∠BED=60°；
故∠BDE=180°-∠DEF-∠FBC=90°；
即ED⊥BC；
∴∠GDC=90°-60°=30°，
又∵点D是BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠GDC=∠ECB，
∴DG=GC，
则E、G、C三点共线，此时点G、P共点，
∵∠EDG=60°，DE=DG，
∴△DEG是等边三角形，
∴DG=EG=CG=2，
∴△APC的面积；
当、重合时，也符合题意，过点A作AM⊥EC，连接AD，如下图：
由、知，，
在中，，AE=AB-BE=6-2=4，
则，
设，则，
则，
而，
即，
解得：，
则的面积；
综上，的面积为或．
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值可求得AC、BC的值，结合题意求出BD的值，即可求出AG、CE的值，得AD=CD，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形即可推得△ACD为等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°，即可求解；
（2）延长AG交CD于点T，交CE于点N，结合题意推得∠ADG=∠CDE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ADG≌△CDE；根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AG=CE，∠DCE=∠DAN，推得∠ANC=∠ADC=60°=α；
（3）当B、E、F共线时，连接AD，DF；根据菱形的对角线互相垂直，对角线互相平分，对角线平分对角可得EM=1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得DM的值，可得DF的值；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠FBC=∠EFD=30°，根据三角形内角和是180°推得ED⊥BC；结合题意可得CE=BE，根据等腰三角形的性质可得DG=GC，即可推得则E、G、C三点共线，点G、P共点；根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形可得△DEG是等边三角形，根据等边三角形的三条边相等可得DG=EG=CG=2，根据三角形的面积公式即可求解；当B、F重合时，过点A作AM⊥EC，连接AD；设PM=x，根据锐角三角函数的定义可求得AM和CM的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出x的值，根据三角形的面积公式即可求解.
26．（2023·丹东）抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
（3）若点是抛物线上的一个动点点不与顶点重合，点是抛物线对称轴上的一个点，点在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为：时，请直接写出点的横坐标．
【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由题意得，点，点，则点，
则，
当点在之间时，存在点是的中点，
则，
解得：舍去或，
则；
当点在之间时，
同理可得：，
解得：舍去或，
则，
综上，或；
（3）解：解：设点，，
当四边形是矩形时，则为直角，
①当在对称轴的左侧时，
如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，
，
∵为直角，
则，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形邻边之比为，即或，
即和的相似比为或，
即，
由题意得：，，
∴，
则，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）；
②当在对称轴的右侧时，
同理可得：，
解得：，
综上，或．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法（设出交点式）求解二次函数解析式即可；
（2）根据函数解析式求出点C的坐标；待定系数法求出直线A的解析式；结合题意可得点E、F、D的坐标，求出DF的值；当点E在OA之间时，存在点F是DE的中点，由中点坐标公式即可求出m的值；当点E在OB之间时，由中点坐标公式即可求出m的值，即可求解；
（3）设点，点M（-1，m），根据矩形的四个角是直角可得∠PMC为直角；当点P在对称轴的左侧时，根据有两个角相等的三角形是相似三角形可得△CGM∽△MHP；结合题意，根据相似三角形的相似比等于对应边之比即可求解；当点P在对称轴右侧时，同理可解.
1 / 1辽宁省丹东市2023年中考数学试卷
1．（2023·丹东）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·丹东）如图所示的几何体是由个完全相同的小立方块搭成，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·丹东）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·丹东）某校拟派一名跳高运动员参加一项校际比赛，对名跳高运动员进行了多次选拔比赛，他们比赛成绩的平均数和方差如下表：
甲 乙 丙 丁
平均数
方差
根据表中数据，要从中选择一名平均成绩好，且发挥稳定的运动员参加比赛，最合适的人选是（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
5．（2023·丹东）如图所示，在中，，垂足为点，，交于点若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·丹东）如图，直线过点，，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023·丹东）在一个不透明的袋子中，装有个红球和若干个黑球，每个球除颜色外都相同，若从袋中任意摸出一个球是红球的概率为，则袋中黑球的个数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2023·丹东）如图，在四边形中，，以点为圆心，以任意长为半径作弧，分别交，于点，，分别以，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点，作射线，交于点，交的延长线于点若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·丹东）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，，垂足为点，是的中点，连接，若，则矩形的周长是（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·丹东）抛物线与轴的一个交点为，与轴交于点，点是抛物线的顶点，对称轴为直线，其部分图象如图所示，则以下个结论：；，是抛物线上的两个点，若，且，则；在轴上有一动点，当的值最小时，则点的坐标为；若关于的方程无实数根，则的取值范围是其中正确的结论有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
11．（2023·丹东）地球上的海洋面积约为，将数据用科学记数法表示为 ．
12．（2023·丹东）因式分解： ．
13．（2023·丹东）某青年排球队有名队员，年龄的情况如下表：
年龄岁
人数
则这名队员年龄的中位数是 岁
14．（2023·丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ．
15．（2023·丹东）不等式组的解集是 ．
16．（2023·丹东）如图，在正方形中，，点，分别在边，上，与相交于点，若，则的长为 ．
17．（2023·丹东）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴，垂足为点，延长至点，使，点是轴上任意一点，连接，，若的面积是，则 ．
18．（2023·丹东）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知点，，点在轴负半轴上，连接，，若，以为边作等边三角形，则点的坐标为 ；点的坐标为 ．
19．（2023·丹东）先化简，再求值：
，其中．
20．（2023·丹东）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀，良好，一般，不合格，并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人；
（4）学校要从答题成绩为等且表达能力较强的甲、乙、丙、丁四名学生中，随机抽出两名学生去做“安全知识宣传员”，请用列表或画树状图的方法，求抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
21．（2023·丹东）“畅通交通，扮靓城市”，某市在道路提升改造中，将一座长度为米的桥梁进行重新改造为了尽快通车，某施工队在实际施工时，每天工作效率比原计划提高了，结果提前天成功地完成了大桥的改造任务，那么该施工队原计划每天改造多少米？
22．（2023·丹东）如图，已知是的直径，是的弦，点是外的一点，，垂足为点，与相交于点，连接，且，延长交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的长．
23．（2023·丹东）一艘轮船由西向东航行，行驶到岛时，测得灯塔在它北偏东方向上，继续向东航行到达港，此时测得灯塔在它北偏西方向上，求轮船在航行过程中与灯塔的最短距离结果精确到参考数据：，，，，，．
24．（2023·丹东）某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克元的该大米，以不低于成本价且不超过每千克元的价格销售当每千克售价为元时，每天售出大米；当每千克售价为元时，每天售出大米，通过分析销售数据发现：每天销售大米的数量与每千克售价元满足一次函数关系．
（1）请直接写出与的函数关系式；
（2）超市将该大米每千克售价定为多少元时，每天销售该大米的利润可达到元？
（3）当每千克售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？
25．（2023·丹东）在中，，，，点是的中点四边形是菱形按逆时针顺序排列，，且，菱形可以绕点旋转，连接和，设直线和直线所夹的锐角为．
（1）在菱形绕点旋转的过程中，当点在线段上时，如图，请直接写出与的数量关系及的值；
（2）当菱形绕点旋转到如图所示的位置时，中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）设直线与直线的交点为，在菱形绕点旋转一周的过程中，当所在的直线经过点时，请直接写出的面积．
26．（2023·丹东）抛物线与轴交于点，，与轴交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，点是抛物线上的一个动点，设点的横坐标是，过点作直线轴，垂足为点，交直线于点当，，三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；
（3）若点是抛物线上的一个动点点不与顶点重合，点是抛物线对称轴上的一个点，点在坐标平面内，当四边形是矩形邻边之比为：时，请直接写出点的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：6的相反数是-6.
故答案是：B.
【分析】根据相反数的定义即可求解.
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：它的主视图是：
故答案为：C.
【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（3xy）2=9x2y2，故选项A符合题意；
B、（y3）2=y6，故选项B不合题意；
C、x2·x2=x4，故选项C不合题意；
D、x6÷x2=x4，故选项D不合题意．
故答案为：A.
【分析】直接利用积的乘方运算法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方运算法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘除运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相除，底数不变，指数相减；逐项化简即可求解.
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵甲、丙的平均数比乙、丁大，
∴应从甲和丙中选，
∵甲的方差比丙的大，
∴丙的成绩较好且状态稳定，应选的是丙.
故答案为：C.
【分析】根据一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则数据的离散程度越大，稳定性也越小，据此即可求解.
5．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，∠A=50°，
∴∠BDE=∠A=50°，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB=90°，
∴∠CDE=∠CDB-∠BDE=90°-50°=40°.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠BDE=∠A=50°，结合题意可得∠CDB=90°，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）过点A（0，3），B（4，0），当x＜4时，y＞0，
∴不等式ax+b＞0的解集为：x＜4．
故答案为：B.
【分析】结合题意写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可.
7．【答案】D
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可得，
黑球的个数为：
=3×4-3
=12-3
=9，
故答案为：D.
【分析】根据题意和题目中的数据，根据概率公式列出算式，计算即可求解.
8．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作图可知BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵AB=AG=4，
∴∠ABG=∠AGB，
∴∠AGB=∠CBH，
∴AD∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=AG+DG=4+5=9，
∵AB∥CH，
∴∠ABG=∠CHB，
∴∠CBH=∠CHB，
∴CH=CB=9.
故答案为：C.
【分析】根据作图方法可得BH平分∠ABC；根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得∠ABH=∠CBH，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形的腰所对的角相等可得∠ABG=∠AGB，推得∠AGB=∠CBH；根据内错角相等，两直线平行可得AD∥CB；根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形ABCD是平行四边形；根据平行四边形的对应边相等可得BC=AD=9；根据两直线平行，内错角相等得∠ABG=∠CHB，推得∠CBH=∠CHB；根据等腰三角形的性质即可求解.
9．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC与BD相交于点O，
∴∠ABC=90°，，，且AC=BD，
∴OA=OB，
∵∠ABD=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴，
∴AC=2AB，
∵AE⊥BD于点E，
∴E为OB的中点，
∵F是OC的中点，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴AB=CD=4，
∴，
∴矩形ABCD的周长是.
故答案为：D.
【分析】根据矩形的四个角都是直角，矩形的对角线互相平分，矩形的对角线相等可推得OA=OB；根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形可得△AOB是等边三角形；根据等边三角形的三条边相等可推得AC=2AB；根据等边三角形三线合一的性质可得E为OB的中点；根据三角形的中位线等于第三边的一半可得BC的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得BC的值；求得AB的值；即可求得矩形ABCD的周长.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；轴对称的应用-最短距离问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，故a＞0；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即对称轴在y轴左侧，
∴a与b同号，
故b＞0；
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
故c＜0；
∴abc＜0，故①错误；
②∵抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线x=-1，
∴当x＜-1时，y随x的增大而减小，
又∵x1＜x2，且x1+x2＜-2，
故x1+x2＜2x2＜-2，
则x2＜-1，
∴E，F两点都在对称轴的左侧，
∴y1＞y2．故②错误；
③作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，如图：
则PC′=PC，
故PC+PD=PC′+PD=C′D，
故此时PC+PD的值最小；
将A（-3，0）代入二次函数y=ax2+bx+c得，9a-3b+c=0，
又∵抛物线的对称轴为直线x=-1，
即，
∴b=2a，
故9a-6a+c=0，
∴c=-3a；
又∵抛物线与y轴的交点坐标为C（0，c），
则点C坐标为（0，-3a），
∴点C′坐标为（0，3a）；
当x=-1时，y=-4a，
故D（-1，-4a）；
设直线C′D的函数表达式为y=kx+3a，
将点D坐标代入得-k+3a=-4a，
解得：k=7a，
所以直线C′D的函数表达式为y=7ax+3a；
将y=0代入y=7ax+3a得，
所以点P的坐标为，故③正确；
④∵方程ax2+b（x-2）+c=-4没有实数根，
即方程ax2+bx-2b+c+4=0根的判别式△=b2-4ac＜0，
∴b2-4a·（-2b+c+4）＜0，
∵b=2a，c=-3a，
故整理可得△=b（b-1）＜0；
∵b＞0，
∴b-1＜0，
即b＜1，
∴0＜b＜1；故④错误；
∴正确的有③．
故答案为：A.
【分析】首先根据函数图象可得出a、b、c的正负，即可判断①错误；根据抛物线的增减性和题意推得E，F两点都在对称轴的左侧，即可判断②错误；根据最短路径可得作点C关于x轴的对称点C′，连接C′D与x轴交于点P，连接PC，此时PC+PD的值最小，根据对称性和点A坐标、对称轴可求得点C′和点D的坐标，待定系数法求出直线C′D的函数表达式，求出直线C′D与x轴的交点坐标即可求出点P的坐标，判断③正确；根据一元二次方程根的判别式可求得△=b（b-1）＜0，结合b＞0，即可求出b的取值范围，判断④错误.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：361000000用科学记数法可以表示为.
故答案为：.
【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】先提取公因式y，再利用两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差分解即可.
13．【答案】19
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：观察统计表可知：共12名队员，中位数是第6，7个人平均年龄，
∴中位数是19岁；
故答案为：19.
【分析】根据将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数即可求解.
14．【答案】，且
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，
x+2≥0，
即x≥-2；
又∵分母不能等于0，
即x-1≠0，
则x≠1；
故答案为：，且.
【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数，分母不等于0即可求解.
15．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解不等式①，得：x＞3，
解不等式②，得：x＞6，
∴该不等式组的解集是：；
故答案为： .
【分析】分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠C=90°，AB=BC，
∵BE=CF，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，
∵∠CBF+∠ABG=90°，
∴∠BAE+∠ABG=90°，
∴∠BGE=90°，
∴∠BGE=∠C，
又∵∠EBG=∠FBC，
∴△EBG∽△FBC，
∴，
∵BC=AB=12，CF=BE=5，
∴，
∴，
∴；
故答案为：.
【分析】根据正方形的四个角是直角，四条边相等可得∠ABE=∠C=90°，AB=BC；根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ABE≌△BCF；根据全等三角形的对应角相等可得∠BAE=∠CBF，推得∠BGE=∠C；根据有两个角相等的三角形是相似三角形可得△EBG∽△FBC；根据相似三角形的对应边成比例可得；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出BF的值，即可求出BG的值.
17．【答案】4
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设点A的坐标为（m，n），
∵点A在反比例函数图象上，且在第一象限，
∴k=mn，m＞0，n＞0，
∵AC⊥x轴于点C，
∴OC=m，AC=n，
∴BC=2AC=2n，
∴AB=BC+AC=3n，
∵
即
∴mn=4，
∴k=mn=4；
故答案为：4.
【分析】设点A的坐标为（m，n），结合题意和图象可得k=mn，m＞0，n＞0；推得OC=m，AC=n，AB=3n，根据三角形的面积公式可求得mn=4，即可求得k的值.
18．【答案】 ； 或
【知识点】三角形的面积；等边三角形的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥AB于E，如图：
∵点A（3，0），B（0，4），
∴，
设BE=t，
∵tan∠ABC=2，
在Rt△BCE中，，
∴，
∴CE=2t，
∴，
∵CE⊥AB，OB⊥AC，AC=OC+OA=3+OC，
∴，
即：5×2t=4×（3+OC），
∴，
在Rt△BOC中，BC2-OB2=OC2，
即，
整理得：t2-12t+20=0，
解得：t1=2，t2=10（不合题意，舍去），
∴t=2，此时，
∴点C的坐标为（-2，0），
设点D的坐标为（m，n），
BC2=（-2-0）2+（0-4）2=20，BD2=（m-0）2+（n-4）2，CD2=（m+2）2+（n-0）2，
∵△BCD为等边三角形，
∴BD=CD=BC，
∴（m-0）2+（n-4）2＝20，（m+2）2+（n-0）2＝20，
整理得：，
②-①得：4m+8n=12，
∴m=3-2n，
将m=3-2n代入①得：（3-2n）2+n2-8n=4，
整理得：n2-4n+1=0，
解得：，
当时，，
当时，，
∴点D的坐标为或．
故答案为：； 或.
【分析】过点C作CE⊥AB于E，根据两点间的距离公式可得AB=5；设BE=t，根据锐角三角函数的定义可求得CE=2t，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可得；根据三角形的面积格式可求得；根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出t=2，OC的值；即可求出点C的坐标；设点D的坐标为（m，n），根据两点间的距离公式表示出BC2、BD2、CD2，根据等边三角形的三条边相等可得BD=CD=BC，即可列出方程组，求解可得，代入即可求出m的值，即可求解.
19．【答案】解：原式
；
∵，
原式.
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】把括号内第一分式的分子分母分别分解因式后约分化简，同时根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转变为乘法，然后利用同分母分式的减法法则计算括号内的减法，最后计算分式乘法得出最简结果；根据负整数指数幂及零指数的性质计算得出x的值，最后将x的值代入化简结果计算可得答案.
20．【答案】（1）50；7
（2）解：由（1）知，m=7，
等级为A的有： 50-16-15-7=12（人），
补充完整的条形统计图如图所示，
C等所在扇形圆心角的度数为：；
（3）解：
人，
即估计该校学生答题成绩为等和等共有人；
（4）解：树状图如下所示：
由上可得，一共存在种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有种，
抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率为．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）由统计图可得，
这次抽样调查共抽取：16÷32%=50（人），
m=50×14%=7，
故答案为：50；7；
【分析】（1）用B等级的人数除以所占的百分比，可以计算出本次抽取的人数，然后再计算m的值即可；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出A等级的人数，然后即可将条形统计图补充完整，用360°乘以C等级的人数所占的百分比可计算出C等所在扇形圆心角的度数；
（3）根据扇形统计图中的数据，用该校学生的总人数乘以A、B等级人数所占的百分比可以计算出该校学生答题成绩为A等和B等共有多少人；
（4）根据题意，可以画出相应的树状图，由图可知一共存在12种等可能性，其中抽出的两名学生恰好是甲和丁的可能性有2种，然后可根据概率公式计算出抽出的两名学生恰好是甲和丁的概率．
21．【答案】解：设施工队原计划每天改造x米，
根据题意得：，
解得：x=6，
经检验，x=6是原方程的解，
答：施工队原计划每天改造6米.
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【分析】设施工队原计划每天改造x米，则实际每天改造（1+50％）x米，根据工作总量除以工作效率等于工作时间分别表示出原计划的工作时间及实际的工作时间，进而根据提前2天成功地完成了大桥的改造任务列出方程，求解并检验，即可得出答案.
22．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：，
，
在中，，
，
在中，，
，
，，
，
，
，
，
.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；切线的判定；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）连接OD，根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠ODB=∠OBD，∠PDE=∠PED；根据对顶角相等可得∠BEC=∠PDE；推得∠PDO=90°，根据经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线即可证明PD是⊙O的切线；
（2）根据锐角三角函数的定义可求出CF=6，OF=5，OC=1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得OD=3，求得BC=2，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方可求得PC，即可求解.
23．【答案】解：过B作BD⊥AC于D，
则，
，，
设BD=xnmile，
，，
，
，
，
答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离为.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过B作BD⊥AC于D，则∠ADC=∠ADB=90°，设BD=xnmile，根据锐角三角函数的定义可表示出AD和CD的值，进而根据AD+CD=AC即可列出等式，求出x的值，即可求解.
24．【答案】（1）解：根据题意设y=kx+b，
当每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；
当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，
则，
解得：，
则y与x的函数关系式为；
（2）解：定价为x元，每千克利润(x-4)元，
由(1)知销售量为，
则，
解得：舍，，
超市将该大米每千克售价定为6元时，每天销售该大米的利润可达到1800元；
（3）解：设利润为W元，
根据题意可得：，
即，
，对称轴为，
当时，W随x的增大而增大，
又，
时，元
当每千克售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意设y=kx+b，根据每千克售价为5元时，每天售出大米950kg；当每千克售价为6元时，每天售出大米900kg，列出二元一次方程组，求解可得k、b的值，从而即可得出y关于x的函数解析式；
（2）定价为x元，每千克利润（x-4）元，根据每千克的利润×销售数量=总利润，列一元二次方程，解方程即可；
（3）设利润为W，根据每千克的利润×销售数量=总利润可建立出W关于x的函数解析式，根据二次函数的性质即可求出合适的值.
25．【答案】（1）解：，，理由：
在中，，，，
则，则，
点是的中点，则，
则，，
在中，，，
则为等边三角形，则；
（2）解：（1）的结论成立，理由：
证明：延长AG交CD于点T，交CE于点N，
，
，
，，
，
，，
，
.
（3）解：当B、E、F共线时，如下图，连接AD，DF，
∵四边形DEFG是菱形，DE=2，∠EDG=60°，
∴DE=DG=2，DF⊥EG，∠EDM=∠EFD=30°，，∠DEF=120°，
∴，，
则，
∴DF=BD，
∴∠FBC=∠EFD=30°，
又∵∠DEF=120°，
∴∠BED=60°；
故∠BDE=180°-∠DEF-∠FBC=90°；
即ED⊥BC；
∴∠GDC=90°-60°=30°，
又∵点D是BC的中点，
∴CE=BE，
∴∠EBC=∠ECB=30°，
∴∠GDC=∠ECB，
∴DG=GC，
则E、G、C三点共线，此时点G、P共点，
∵∠EDG=60°，DE=DG，
∴△DEG是等边三角形，
∴DG=EG=CG=2，
∴△APC的面积；
当、重合时，也符合题意，过点A作AM⊥EC，连接AD，如下图：
由、知，，
在中，，AE=AB-BE=6-2=4，
则，
设，则，
则，
而，
即，
解得：，
则的面积；
综上，的面积为或．
【知识点】解直角三角形；四边形的综合
【解析】【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数值可求得AC、BC的值，结合题意求出BD的值，即可求出AG、CE的值，得AD=CD，根据有一个角是60°角的等腰三角形是等边三角形即可推得△ACD为等边三角形，根据等边三角形的三个角都是60°，即可求解；
（2）延长AG交CD于点T，交CE于点N，结合题意推得∠ADG=∠CDE，根据两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等可得△ADG≌△CDE；根据全等三角形的对应边相等，对应角相等可得AG=CE，∠DCE=∠DAN，推得∠ANC=∠ADC=60°=α；
（3）当B、E、F共线时，连接AD，DF；根据菱形的对角线互相垂直，对角线互相平分，对角线平分对角可得EM=1，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得DM的值，可得DF的值；根据有两条边相等的三角形是等腰三角形，等腰三角形两底角相等可得∠FBC=∠EFD=30°，根据三角形内角和是180°推得ED⊥BC；结合题意可得CE=BE，根据等腰三角形的性质可得DG=GC，即可推得则E、G、C三点共线，点G、P共点；根据有两个角是60°角的三角形是等边三角形可得△DEG是等边三角形，根据等边三角形的三条边相等可得DG=EG=CG=2，根据三角形的面积公式即可求解；当B、F重合时，过点A作AM⊥EC，连接AD；设PM=x，根据锐角三角函数的定义可求得AM和CM的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求出x的值，根据三角形的面积公式即可求解.
26．【答案】（1）解：设抛物线的表达式为：，
即，则，
故抛物线的表达式为：；
（2）解：由抛物线的表达式知，点，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
由题意得，点，点，则点，
则，
当点在之间时，存在点是的中点，
则，
解得：舍去或，
则；
当点在之间时，
同理可得：，
解得：舍去或，
则，
综上，或；
（3）解：解：设点，，
当四边形是矩形时，则为直角，
①当在对称轴的左侧时，
如图，过作轴交轴于，交过作轴的平行线于，
，
∵为直角，
则，
∵，
∴，
∴，
∵是矩形邻边之比为，即或，
即和的相似比为或，
即，
由题意得：，，
∴，
则，
即，
解得：，（不符合题意，舍去）；
②当在对称轴的右侧时，
同理可得：，
解得：，
综上，或．
【知识点】二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法（设出交点式）求解二次函数解析式即可；
（2）根据函数解析式求出点C的坐标；待定系数法求出直线A的解析式；结合题意可得点E、F、D的坐标，求出DF的值；当点E在OA之间时，存在点F是DE的中点，由中点坐标公式即可求出m的值；当点E在OB之间时，由中点坐标公式即可求出m的值，即可求解；
（3）设点，点M（-1，m），根据矩形的四个角是直角可得∠PMC为直角；当点P在对称轴的左侧时，根据有两个角相等的三角形是相似三角形可得△CGM∽△MHP；结合题意，根据相似三角形的相似比等于对应边之比即可求解；当点P在对称轴右侧时，同理可解.
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