青海省西宁市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2023九下·姜堰月考）-2023的相反数是（ ）
A．2023 B．-2023 C． D．
2．算式-3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
3．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸.以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列说法正确的是（ ）
A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件
C．数据4，9，5，7的中位数是6
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接.下列说法错误的是（ ）
A．直线是的垂直平分线 B．
C． D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
8．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点.下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9．如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作 ℃.
10．从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000.将1030000000用科学记数法表示为 .
11．计算： .
12．有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，-0.5，，0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 .
13．象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花.为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买 棵.
14．在中，，，，则的长约为 .（结果精确到0.1.参考数据：，，）
15．已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 Ω.
16．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 .
17．如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 .
18．如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接..若，，，则 .
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分，第23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，第27题12分，共76分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）
19．计算：.
20．计算：.
21．先化简，再求值：，其中a，b是方程的两个根.
22．藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯.西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”。
（1）为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测.本次抽样调查的样本容量是 ；
（2） 6月10日是我国文化和自然遗产日.某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化.请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.
23．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接与交于点M，连接，.
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长.
24．一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图6的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标.
25．如图，是的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
26．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N.
【猜想】
（1）【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴ ▲
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴ ▲ （ ）
∴ ▲ ▲ （等量代换）
∴（ ）
（2）【应用】
如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为.
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②若，，求的长.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数定义，-2023的相反数是2023.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：∵-3+1=-2，-3-1=-4，-3×1=-3，-3÷1=-3，
∵-4＜-3＜-2，
∴添加“-”值最小.
故答案为：B.
【分析】将各项中的符号分别代入计算，再比较即可.
3．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形 ，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全面调查与抽样调查；随机事件；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不符合题意；
B、 任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件， 故不符合题意；
C、数据4，9，5，7的中位数是6 ， 故符合题意；
D、甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比甲组数据稳定 ，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全面调查与抽样调查、随机事件、中位数及方差分别判断即可.
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
B、 ， 故此项错误；
C、 ，此项正确；
D、 ， 故此项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质、完全平方公式、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
6．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图痕迹知：PQ垂直平分AC，故A正确，
∴AD=CD，AE=EC，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴，△ADE∽△ABC，
∴AD=BD，，
∴CD=AB，ED=CB，故B、C正确，
∴，
∴，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹知PQ垂直平分AC，易得DE∥BC，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质分别求解，再判断即可.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，绳长y尺，
根据题意： .
故答案为：A.
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ”可得方程y-x=4.5，由“ 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可得方程y=x-1，继而得出方程组.
8．【答案】B
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 直线经过点.
∴-4a+b=0，即b=4a，
抛物线 的对称轴x==2，故①正确；
抛物线 ，
△=b2-4ac=b2=16a2＞0，
∴ 物线与x轴一定有两个交点 ，故②正确；
由b=4a，则方程可化为ax2+4ax=ax+4a，
整理为x2+3x-4=0，
解得 ， ，故③正确；
若 抛物线开口向上，
∵ 直线 和抛物线交点的横坐标为-4，1，
∴ 当或时，，故④错误.
故答案为：B.
【分析】由直线经过点，可得b=4a，从而求出的对称轴为x=2，故①正确；根据△=16a2＞0，可知物线与x轴一定有两个交点 ，故②正确；把b=4a代入方程可得x2+3x-4=0，解之可判断③；若 则抛物线开口向上，结合直线 和抛物线交点的横坐标为-4，1，可得当或时，，故④错误.
9．【答案】-2
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解： 如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作-2℃.
故答案为：-2.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示.
10．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1030000000=1.03×109.
故答案为：1.03×109. .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此解答即可.
11．【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=3a2b·a2=3a4b.
故答案为：3a4b.
【分析】先计算乘方，再利用单项式乘单项式法则进行计算即可.
12．【答案】
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在 ，，-0.5，，0这5个数中，无理数有、，共2个，
∴ 取出的卡片正面的数字是无理数的概率是.
故答案为：.
【分析】在 ，，-0.5，，0这5个数中，无理数有、，共2个，利用概率公式计算即可.
13．【答案】833
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购买某种规格的丁香花x棵，
由题意得：6x≤5000，
解得：x≤，
∵x为整数，
∴x的最大值为833，
∴最多可以购买833棵.
故答案为：833.
【分析】设购买某种规格的丁香花x棵，根据“ 总费用不超过5000元 ”列出不等式并求其最大整数值即可.
14．【答案】8.0
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，AB=12，∠A=42°，
∴sinA=，
∵ ，
∴BC=≈8.0.
故答案为：8.0.
【分析】根据正弦定义即可求解.
15．【答案】18
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式：I=，
把（4，9）代入得k=4×9=36，
∴反比例函数关系式：I=，
当I=2时，则2=，
∴R=18.
故答案为：18.
【分析】根据图象中点的坐标求出反比例函数解析式，再求出I=2时R值即可.
16．【答案】50°或90°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图，当∠ADB=90°时，则△ABD为直角三角形；
②如图，当∠DAB=90°时，则△ABD为直角三角形，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠ADB=90°-∠B=50°，
∴∠ADB的度数为50°或90°.
故答案为：50°或90°.
【分析】 若为直角三角形 ，分两种情况：当∠ADB=90°和当∠DAB=90°，据此分别画出图形并求解即可.
17．【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OD，则OA=OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∵AP、DP是 的切线，
∴∠OAP=∠ODP=90°，
∴四边形AODP是正方形，
∵AD=，
∴OA=OD=AD=1，
∴ 图中阴影部分的面积=正方形AODP的面积-扇形AOD的面积=1×1-=1-.
故答案为：1-.
【分析】连接OA、OD，可证四边形AODP是正方形，根据图中阴影部分的面积=正方形AODP的面积-扇形AOD的面积进行计算即可.
18．【答案】2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点A'作A'H⊥BC，则∠A'HP=90°，如图，
由旋转知：∠APA'=90°，AP=A'P，
∴∠APB+∠A'PH=90°，
在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=9，
∴∠APB+∠PAB=90°，
∴∠APB=∠A'PH
∴△APB≌△A'PH（AAS），
∴PH=AB=5，A'H=BP，
设BP=A'H=x，则CH=9-x-5=4-x，
在Rt△A'HC中，x2+（4-x）2=（）2，
解得：x=2.
故答案为：2.
【分析】：过点A'作A'H⊥BC，证明△APB≌△A'PH（AAS），可得PH=AB=5，A'H=BP，设BP=A'H=x，则CH=9-x-5=4-x，在Rt△A'HC中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
19．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先计算乘方，绝对值及零指数幂，再计算加减即可.
20．【答案】解：原式
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式将原式展开，再合并即可.
21．【答案】解：原式
∵a，b是方程的两个根
∴
∴原式.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，然后利用根与系数的关系可得 ，最后整体代入计算即可，
22．【答案】（1）100
（2）
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表格可知，共有12种等可能结果，其中A，B两人同时被选中的结果共有2种，
即，，所以
P（A，B两人同时被选中）.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由题意得本次抽样调查的样本容量是100.
故答案为：100.
【分析】（1）样本容量是指样本中个体的数目，据此即可求解；
（2）利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中A，B两人同时被选中的结果共有2种，然后利用概率公式计算即可.
23．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，∴
即
在和中
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴（菱形的四条边都相等）
∴菱形的周长.
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△AEM≌△CFM；
（2）先证四边形AECF是菱形，可得AE=EC=CF=AF，根据菱形的周长=4AF即可求解.
24．【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴令
解得
∴点A的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入得
∴
∴点B的坐标是；
（2）解： 一次函数的图象如下图：
（3）由（1）知：A（2，0），B（4，4），
∴AB==，
若是以为腰的等腰三角形，
①当AB=AP=，则OP=+2，
∴P（+2，0）
②当AB=BP时，AP=4，
∴OP=4+2=6，
∴P（6，0），
∴点P的坐标为（+2，0）或（6，0）.
符合条件的点P坐标是，.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由可求出y=0时x值，即得A的坐标，把点代入中求出m值，即得B的坐标；
（2）利用描点法直接画函数图象即可；
（3）分两种情况：①当AB=AP，②当AB=BP，据此分别解答即可.
25．【答案】（1）证明：∵，是的半径
∴，（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）；
（2）解：∵
又∵
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵
∴
在中，
∴（勾股定理）
即
∴.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）利用两角分别相等的两个三角形相似可证，由垂径定理可得，在中利用勾股定理求出AC的长，再利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
26．【答案】（1）解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴（等角对等边）
（2）解：①
理由如下：
∵由四边形折叠得到四边形
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴
∴（等角对等边）
∵
∴
即；
②∵矩形沿所在直线折叠
∴，，
设
∴
在中，
∴（勾股定理）
∴
解得
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠知，利用矩形的性质及平行线的性质可得，由等量代换可得，根据等角对等边即可求解；
（2）①，理由：由折叠及觉醒的性质可推出，根据等角对等边可得MN=EN，从而得出，继而得解；
②由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
27．【答案】（1）解：设直线l的解析式为（）
把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为（）
∵抛物线的对称轴为直线
∴
把A，B两点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴
在中
∴
∵轴，
∴
在中
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴设点P的坐标为
∴
∴
∵
∴当时，有最大值是，此时最大
当时
∴
∴的最大值是，此时的P点坐标是.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（3）易得△PMD为等腰直角三角形，可得，当PD的值最大时，PM的值就最大，设点P的坐标为，则，可得，据此求出PD的最大值，继而得出PM的最大值即可.
1 / 1青海省西宁市2023年中考数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡上）
1．（2023九下·姜堰月考）-2023的相反数是（ ）
A．2023 B．-2023 C． D．
【答案】A
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数定义，-2023的相反数是2023.
故答案为：A.
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答即可.
2．算式-3□1的值最小时，□中填入的运算符号是（ ）
A．+ B．- C．× D．÷
【答案】B
【知识点】有理数大小比较；有理数的加法；有理数的减法法则；有理数的乘法法则；有理数的除法法则
【解析】【解答】解：∵-3+1=-2，-3-1=-4，-3×1=-3，-3÷1=-3，
∵-4＜-3＜-2，
∴添加“-”值最小.
故答案为：B.
【分析】将各项中的符号分别代入计算，再比较即可.
3．河湟剪纸被列入青海省第三批省级非物质文化遗产名录，是青海劳动人民结合河湟文化，创造出独具高原特色的剪纸.以下剪纸图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；
B、 既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形 ，故不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形 ，故符合题意；
故答案为：D.
【分析】中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°后，旋转后的图形能够与原来的图形重合，轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
4．下列说法正确的是（ ）
A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查
B．任意画一个三角形，其外角和是180°是必然事件
C．数据4，9，5，7的中位数是6
D．甲、乙两组数据的方差分别是，，则乙组数据比甲组数据稳定
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；全面调查与抽样调查；随机事件；中位数；方差
【解析】【解答】解：A、检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故不符合题意；
B、 任意画一个三角形，其外角和是180°是不可能事件， 故不符合题意；
C、数据4，9，5，7的中位数是6 ， 故符合题意；
D、甲、乙两组数据的方差分别是，，则甲组数据比甲组数据稳定 ，故不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据全面调查与抽样调查、随机事件、中位数及方差分别判断即可.
5．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，故此项错误；
B、 ， 故此项错误；
C、 ，此项正确；
D、 ， 故此项错误.
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的加减、二次根式的性质、完全平方公式、二次根式的乘除分别计算，再判断即可.
6．如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点，作直线交，于点D，E，连接.下列说法错误的是（ ）
A．直线是的垂直平分线 B．
C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由作图痕迹知：PQ垂直平分AC，故A正确，
∴AD=CD，AE=EC，
∵∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴，△ADE∽△ABC，
∴AD=BD，，
∴CD=AB，ED=CB，故B、C正确，
∴，
∴，故D错误.
故答案为：D.
【分析】由作图痕迹知PQ垂直平分AC，易得DE∥BC，根据平行线分线段成比例及相似三角形的判定与性质分别求解，再判断即可.
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺.问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【解答】解： 设木长x尺，绳长y尺，
根据题意： .
故答案为：A.
【分析】设木长x尺，绳长y尺，由“ 用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺 ”可得方程y-x=4.5，由“ 将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”可得方程y=x-1，继而得出方程组.
8．直线和抛物线（a，b是常数，且）在同一平面直角坐标系中，直线经过点.下列结论：
①抛物线的对称轴是直线
②抛物线与x轴一定有两个交点
③关于x的方程有两个根，
④若，当或时，
其中正确的结论是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．①④
【答案】B
【知识点】一次函数的图象；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵ 直线经过点.
∴-4a+b=0，即b=4a，
抛物线 的对称轴x==2，故①正确；
抛物线 ，
△=b2-4ac=b2=16a2＞0，
∴ 物线与x轴一定有两个交点 ，故②正确；
由b=4a，则方程可化为ax2+4ax=ax+4a，
整理为x2+3x-4=0，
解得 ， ，故③正确；
若 抛物线开口向上，
∵ 直线 和抛物线交点的横坐标为-4，1，
∴ 当或时，，故④错误.
故答案为：B.
【分析】由直线经过点，可得b=4a，从而求出的对称轴为x=2，故①正确；根据△=16a2＞0，可知物线与x轴一定有两个交点 ，故②正确；把b=4a代入方程可得x2+3x-4=0，解之可判断③；若 则抛物线开口向上，结合直线 和抛物线交点的横坐标为-4，1，可得当或时，，故④错误.
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.不需写出解答过程，请把最后结果填在答题卡对应的位置上）
9．如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作 ℃.
【答案】-2
【知识点】正数和负数的认识及应用
【解析】【解答】解： 如果气温上升6℃记作+6℃，那么气温下降2℃记作-2℃.
故答案为：-2.
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负数表示.
10．从党的二十大报告中了解到，我国互联网上网人数达1030000000.将1030000000用科学记数法表示为 .
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 1030000000=1.03×109.
故答案为：1.03×109. .
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值＞1时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数，据此解答即可.
11．计算： .
【答案】
【知识点】单项式乘单项式；积的乘方
【解析】【解答】解：原式=3a2b·a2=3a4b.
故答案为：3a4b.
【分析】先计算乘方，再利用单项式乘单项式法则进行计算即可.
12．有五张看上去无差别的卡片，正面分别写着，，-0.5，，0.背面朝上混合后随机抽取一张，取出的卡片正面的数字是无理数的概率是 .
【答案】
【知识点】无理数的概念；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：在 ，，-0.5，，0这5个数中，无理数有、，共2个，
∴ 取出的卡片正面的数字是无理数的概率是.
故答案为：.
【分析】在 ，，-0.5，，0这5个数中，无理数有、，共2个，利用概率公式计算即可.
13．象征吉祥富贵的丁香花是西宁市市花.为美化丁香大道，园林局准备购买某种规格的丁香花，若每棵6元，总费用不超过5000元，则最多可以购买 棵.
【答案】833
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设购买某种规格的丁香花x棵，
由题意得：6x≤5000，
解得：x≤，
∵x为整数，
∴x的最大值为833，
∴最多可以购买833棵.
故答案为：833.
【分析】设购买某种规格的丁香花x棵，根据“ 总费用不超过5000元 ”列出不等式并求其最大整数值即可.
14．在中，，，，则的长约为 .（结果精确到0.1.参考数据：，，）
【答案】8.0
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∠C=90°，AB=12，∠A=42°，
∴sinA=，
∵ ，
∴BC=≈8.0.
故答案为：8.0.
【分析】根据正弦定义即可求解.
15．已知蓄电池的电压恒定，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示，如果以此蓄电池为电源的用电器，流过的电流是2A，那么此用电器的电阻是 Ω.
【答案】18
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设反比例函数关系式：I=，
把（4，9）代入得k=4×9=36，
∴反比例函数关系式：I=，
当I=2时，则2=，
∴R=18.
故答案为：18.
【分析】根据图象中点的坐标求出反比例函数解析式，再求出I=2时R值即可.
16．在中，，，点D在边上，连接，若为直角三角形，则的度数是 .
【答案】50°或90°.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：①如图，当∠ADB=90°时，则△ABD为直角三角形；
②如图，当∠DAB=90°时，则△ABD为直角三角形，
∵AB=AC，∠BAC=100°，
∴∠B=∠C=40°，
∴∠ADB=90°-∠B=50°，
∴∠ADB的度数为50°或90°.
故答案为：50°或90°.
【分析】 若为直角三角形 ，分两种情况：当∠ADB=90°和当∠DAB=90°，据此分别画出图形并求解即可.
17．如图，边长为的正方形内接于，分别过点A，D作的切线，两条切线交于点P，则图中阴影部分的面积是 .
【答案】
【知识点】正方形的判定与性质；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OA、OD，则OA=OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠AOD=90°，
∵AP、DP是 的切线，
∴∠OAP=∠ODP=90°，
∴四边形AODP是正方形，
∵AD=，
∴OA=OD=AD=1，
∴ 图中阴影部分的面积=正方形AODP的面积-扇形AOD的面积=1×1-=1-.
故答案为：1-.
【分析】连接OA、OD，可证四边形AODP是正方形，根据图中阴影部分的面积=正方形AODP的面积-扇形AOD的面积进行计算即可.
18．如图，在矩形中，点P在边上，连接，将绕点P顺时针旋转90°得到，连接..若，，，则 .
【答案】2
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：过点A'作A'H⊥BC，则∠A'HP=90°，如图，
由旋转知：∠APA'=90°，AP=A'P，
∴∠APB+∠A'PH=90°，
在矩形ABCD中，∠B=90°，BC=AD=9，
∴∠APB+∠PAB=90°，
∴∠APB=∠A'PH
∴△APB≌△A'PH（AAS），
∴PH=AB=5，A'H=BP，
设BP=A'H=x，则CH=9-x-5=4-x，
在Rt△A'HC中，x2+（4-x）2=（）2，
解得：x=2.
故答案为：2.
【分析】：过点A'作A'H⊥BC，证明△APB≌△A'PH（AAS），可得PH=AB=5，A'H=BP，设BP=A'H=x，则CH=9-x-5=4-x，在Rt△A'HC中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
三、解答题（本大题共9小题，第19、20、21、22题每小题7分，第23、24题每小题8分，第25、26题每小题10分，第27题12分，共76分.解答时将文字说明、证明过程或演算步骤写在答题卡相应的位置上）
19．计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先计算乘方，绝对值及零指数幂，再计算加减即可.
20．计算：.
【答案】解：原式
.
【知识点】整式的混合运算
【解析】【分析】利用完全平方公式、平方差公式将原式展开，再合并即可.
21．先化简，再求值：，其中a，b是方程的两个根.
【答案】解：原式
∵a，b是方程的两个根
∴
∴原式.
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】将括号内通分并利用同分母分式减法法则计算，再将除法转化为乘法，进行约分即可化简，然后利用根与系数的关系可得 ，最后整体代入计算即可，
22．藏毯作为青海省非物质文化遗产项目之一，与波斯毯、东方毯并称为世界三大名毯.西宁作为藏毯之都，生产的藏毯已成为青海名副其实的特色产品，更是一张通往世界的“金名片”。
（1）为了调查一批藏毯的质量，质检人员从中随机抽取了100件产品进行检测.本次抽样调查的样本容量是 ；
（2） 6月10日是我国文化和自然遗产日.某校举办非遗文化进校园活动，决定从A，B，C，D四名同学中随机抽取两人作为“小小宣传员”，为大家介绍青海藏毯文化.请用画树状图或列表的方法求出A，B两人同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.
【答案】（1）100
（2）
A B C D
A —
B —
C —
D —
由表格可知，共有12种等可能结果，其中A，B两人同时被选中的结果共有2种，
即，，所以
P（A，B两人同时被选中）.
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】解：（1）由题意得本次抽样调查的样本容量是100.
故答案为：100.
【分析】（1）样本容量是指样本中个体的数目，据此即可求解；
（2）利用列表法列举出共有12种等可能结果，其中A，B两人同时被选中的结果共有2种，然后利用概率公式计算即可.
23．如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，连接与交于点M，连接，.
（1）求证：；
（2）若，，求四边形的周长.
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形
∴，（平行四边形的对边平行且相等）
∴（两直线平行，内错角相等）
∵，∴
即
在和中
∴；
（2）解：∵，
∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
又∵
∴是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
∴（菱形的四条边都相等）
∴菱形的周长.
【知识点】菱形的判定与性质；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【分析】（1）根据AAS证明△AEM≌△CFM；
（2）先证四边形AECF是菱形，可得AE=EC=CF=AF，根据菱形的周长=4AF即可求解.
24．一次函数的图象与x轴交于点A，且经过点.
（1）求点A和点B的坐标；
（2）直接在图6的平面直角坐标系中画出一次函数的图象；
（3）点P在x轴的正半轴上，若是以为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点A
∴令
解得
∴点A的坐标是
∵点在一次函数的图象上
把代入得
∴
∴点B的坐标是；
（2）解： 一次函数的图象如下图：
（3）由（1）知：A（2，0），B（4，4），
∴AB==，
若是以为腰的等腰三角形，
①当AB=AP=，则OP=+2，
∴P（+2，0）
②当AB=BP时，AP=4，
∴OP=4+2=6，
∴P（6，0），
∴点P的坐标为（+2，0）或（6，0）.
符合条件的点P坐标是，.
【知识点】坐标与图形性质；一次函数的图象；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）由可求出y=0时x值，即得A的坐标，把点代入中求出m值，即得B的坐标；
（2）利用描点法直接画函数图象即可；
（3）分两种情况：①当AB=AP，②当AB=BP，据此分别解答即可.
25．如图，是的弦，半径，垂足为D，弦与交于点F，连接，，.
（1）求证：；
（2）若，，，求的长.
【答案】（1）证明：∵，是的半径
∴，（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
∴（同弧或等弧所对的圆周角相等）；
（2）解：∵
又∵
∴（两角分别相等的两个三角形相似）
∴（相似三角形对应边成比例）
∵
∴
在中，
∴（勾股定理）
即
∴.
【知识点】勾股定理；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由垂径定理可得，，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等即可求解；
（2）利用两角分别相等的两个三角形相似可证，由垂径定理可得，在中利用勾股定理求出AC的长，再利用相似三角形的对应边成比例即可求解.
26．折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以“矩形的折叠”为主题开展了数学活动.
【操作】如图1，在矩形中，点M在边上，将矩形纸片沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N.
【猜想】
（1）【验证】请将下列证明过程补充完整：
∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴ ▲
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴ ▲ （ ）
∴ ▲ ▲ （等量代换）
∴（ ）
（2）【应用】
如图2，继续将矩形纸片折叠，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为.
①猜想与的数量关系，并说明理由；
②若，，求的长.
【答案】（1）解：∵矩形纸片沿所在的直线折叠
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴（等量代换）
∴（等角对等边）
（2）解：①
理由如下：
∵由四边形折叠得到四边形
∴
∵四边形是矩形
∴（矩形的对边平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
∴
∴（等角对等边）
∵
∴
即；
②∵矩形沿所在直线折叠
∴，，
设
∴
在中，
∴（勾股定理）
∴
解得
∴.
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠知，利用矩形的性质及平行线的性质可得，由等量代换可得，根据等角对等边即可求解；
（2）①，理由：由折叠及觉醒的性质可推出，根据等角对等边可得MN=EN，从而得出，继而得解；
②由折叠可知，，，设，则，在中，利用勾股定理建立关于x方程并解之即可.
27．如图，在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线.
（1）求直线l的解析式；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，过点P作，垂足为M.求的最大值及此时P点的坐标.
【答案】（1）解：设直线l的解析式为（）
把A，B两点的坐标代入解析式，得，解得
∴直线l的解析式为；
（2）解：设抛物线的解析式为（）
∵抛物线的对称轴为直线
∴
把A，B两点坐标代入解析式，得解得
∴抛物线的解析式为；
（3）解：∵，，
∴
在中
∴
∵轴，
∴
在中
∵，
∴
∴
在中，
∴
∴
∵
∴设点P的坐标为
∴
∴
∵
∴当时，有最大值是，此时最大
当时
∴
∴的最大值是，此时的P点坐标是.
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出直线解析式即可；
（2）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；
（3）易得△PMD为等腰直角三角形，可得，当PD的值最大时，PM的值就最大，设点P的坐标为，则，可得，据此求出PD的最大值，继而得出PM的最大值即可.
1 / 1
