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分课时教学设计
第4课时《 26.2实际问题与反比例函数（1） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.经历在具体问题中探索反比例函数应用的过程，体会反比例函数作为一种数学模型的意义．
学习者分析 运用反比例函数的概念、性质分析和解决一些简单的实际问题．运用反比例函数知识解决实际应用问题的过程中，感受数学的应用价值，提高学习兴趣．
教学目标 1．能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力.
教学重点 会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
教学难点 进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 生活中有许许多多成反比例关系的实例.如当路程s 一定时,时间t与速度v成反比例关系,可以写成t＝ (s是常数)；当矩形面积S一定时,长a与宽b成反比例关系,写成a＝ (S是常数)；当面积是常数S时,三角形的底y与这一底上的高x成反比例关系,写成y＝ (S是常数).像这些都是通过数学关系式建立反比例函数模型来解决问题的. 学生活动1： 通过探究活动理解． 学生思考、回答，教师根据学生回答的情况加以补充． 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 如果他要把体积为 25 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (横截面积) (单位：cm2)的函数关系式吗？ 学生活动2： 学生相互交流． ．经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程．活动意图说明： 引导学生建立模型，经历在具体问题中探索反比例函数应用的过程，体会反比例函数作为一种数学模型的意义．体会数形结合的思想，理解知识的本质联系，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例1.市煤气公司要在地下修建一个容积为的圆柱形煤气储存室． （1）储存室的底面积S（单位：）与其深度d（单位：m）有怎样的函数关系？ （2）公司决定把储存室的底面积S定为500 ，施工队施工时应该向下掘进多深？ （3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下15 m时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位)？ 解：（1）根据圆柱的体积公式，得 ， 所以S关于d的函数解析式为 ． （2）把S=500代入，得 ， 解得d=20（m）． 如果把储存室的底面积定为500 ，施工时应向地下掘进20 m深． （3）根据题意，把d=15代入，得 ， 解得． 当储存室的深度改为15 m时，底面积应改为． 设计意图：通过对圆柱的体积V、底面积S与高h三个量之间的关系的探究，抽象得出反比例函数关系，初步培养学生运用反比例函数解决实际问题的能力． 例2.码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，装载完毕恰好用了8天时间． （1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度v（单位：吨／天）与卸货天数t之间有怎样的函数关系？ （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均每天至少要卸载多少吨？ 分析：根据“平均装货速度×装货天数=货物的总量”，可以求出轮船装载货物的总量；再根据“平均卸货速度=货物的总量÷卸货天数”，得到v关于t的函数解析式． 解：（1）设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得 k=30×8=240， 所以v关于t的函数解析式为 ． （2）把t=5代入，得 （吨）． 从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载完，那么平均每天卸载48吨．对于函数，当t＞0时，t越小，v越大．这样若货物不超过5天卸载完，则平均每天至少要卸载48吨． 设计意图：在例1的基础上，探究实际运输中存在的反比例函数问题，进一步培养学生建立反比例函数模型的能力． 学生活动3： 先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 巩固例1和例2． 活动意图说明： 培养学生归纳总结的能力，体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力．让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，在活动中逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1. 面积为 6 的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( ) 2.某村耕地总面积为50万m2，且该村人均耕地面积y(单位：万m2/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多 B．该村人均耕地面积y 与总人口x成正比例 C．若该村人均耕地面积为2 m2，则总人口有 100人 D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积 为1万m2 选做题： 3．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 L (1 L＝1 dm3)的圆锥形漏斗． (1)漏斗口的面积 S(dm3)与漏斗的深 d(dm)有怎样的函数关系？ (2)如果漏斗的深为 10 cm，那么漏斗口的面积为多少？ (3)如果漏斗口的面积为 60 cm2 ，则漏斗的深为多少？ 【综合拓展类作业】 4. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟． (1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？ (2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？ (3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1. A、B两城市相距630千米，一列火车从A城去B城. (1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________． (2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________． 选做题： 2.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，那么这批煤能维持y 天. （1）则y与x之间有怎样的函数关系？ （2）画函数图象 【综合拓展类作业】 3.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作。第8min时，材料温度降为600℃，煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例关系(如图)，已知该材料初始温度是32℃ (1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式; (2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长
教学反思
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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第26章
课标要求 1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式． 3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法．
内容分析 函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。应用反比例函数解决实际问题尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一． 反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的”变化和对应”思想有了深层的理解。在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法．
学情分析 让学生进一步体会反比例函数的意义，掌握反比例函数的表示方法，以及准确的求出反比例函数的未知项，能够根据图象的分布确定常数的取值范围，并能用反比例函数解决一些简单的实际问题。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，尽量让学生对反比例函数的概念、图象及性质的整合与巩固．
单元目标 （一）教学目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程． 2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识提高运用代数方法解决问题的能力． 3.通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力． 4.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题． 5.理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． （二）教学重点、难点 教学重点:反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用． 教学难点:反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 本章教学内容主要分为三大部分:第一部分:反比例函数的概念；第二分:反比例函数的图象及其性质；第三部分:反比例函数的应用． 第一部分:反比例函数的概念: （1）在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫． （2）利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说 明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象． （3）在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想一变化一对应． 第二部分:反比例函数的图象及其性质； 函数的性质蕴涵于概念中，对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识， 教学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通观察、分析函数的图象，自主地对反比例函数的图象及其性质作出直观描述． （1）学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。师生互动议论，画出反比例函数图象． （2）利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数 与形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征． （3）利用几何画板作出k>0和k<0时的多个反比例函数图象，数形结合，让学生归纳概括出反比例函数的性质． 第三部分：反比例函数的应用 （1）确定反比例函数解析式 （2） 实际问题与反比例函数 在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题，关键是数学建模。一般地建立函数模型有两种思路: (1) 通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可． (2)从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式． 实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段，教学中要重视．这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的． 2.本章教学中应注意的问题： 1、加强数学与现实的联系，加强数学与其他学科的联系． 2、利用反比例函数解决实际问题时，即要关注函数本身，又要考虑实际意义，特别是在画函数图象时，要考虑实际问题中自变量的取值范围。(画图时只画双曲线的一支) 3、例题中涉及体积、工程、杠杆、电压四个方面的问题，没有涉及函数图象，建议增加利用函数图象来解决实际问题的题型，更好的体现数形结合. 3.研究方法与研究过程 1、分析解析式自变量与函数值的取值范围(数) 2、结合解析式预测图象特点(形) 3、列表体验(注意点的代表性) 4、描点、连线、验证(加密) 5、归纳概括形成结论 4.本章教学建议： 1.注意做好与已学内容的衔接； 2.类比正比例函数、一次函数的研究方法，研究反比例函数，帮助学生体会研究一个函数的一般过程； 3.把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索； 4.加强反比例函数与正比例函数的对比； 5.关注反比例函数与现实世界的联系； 6.合理安排反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学. 5.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数26.1.1反比例函数126.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时126.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 126.2.1实际问题与反比例函数（1）126.2.2实际问题与反比例函数（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1.1反比例函数1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念． 2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系． 3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用． 1.经历抽象反比例函数概念的过程． 2.加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能．活动一：让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程． 活动二：学生自主探究，完成解答，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念.6.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时1．会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力． 3．在画反比例图像，并探究其性质的过程中，感悟“数形结合”、分类讨论及“从特殊到一般”的数学思想．1.会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2.加深对构建反比例函数模型的理解. 活动一：学生思考、交流，画图 ． 活动二：同学分别交流，找出图象的特征． 活动三：探究巩固例题． 26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题． 3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 1.理解k的符号作用． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．活动一：领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 活动二：理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 活动三：探究巩固例题．26.2实际问题与反比例函数（1）1．能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 1.会用反比例函数知识分析、解决实际问题． 2．分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式． 活动一：通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．26.2实际问题与反比例函数（2）1.利用物理学中相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 2.进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型. 1.运用反比例函数解决实际问题. 2.体会各学科间的内在联系及函数思想的广泛应用.活动一：学生思考、交流，写出阻力，阻力臂，动力，动力臂之间的关系. 活动二：探究运用反比例函数解决实际问题. 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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26.2实际问题与反比例函数（1）
人教版 九年级 下册
教材分析
进一步运用反比例函数的知识解决实际问题.经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程，发展学生分析问题，解决问题的能力.经历在具体问题中探索反比例函数应用的过程，体会反比例函数作为一种数学模型的意义．
教学目标
教学目标：1. 体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用
代数方法解决问题的能力.
2. 能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数
模型解决问题，进一步提高运用函数的图象、性质的综合能力．
教学重点:会用反比例函数知识分析、解决实际问题．
教学难点:分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式．
新知导入
情境引入
我们知道，确定一个一次函数y = kx+b的表达式需要两个独立的条件，而确定一个反比例函数表达式，则只需一个独立条件即可，如点A(2，3)是一个反比例函数图象上的点，则此反比例函数的表达式是 .
当x=4时，y的值为 ，而当y=时，相应的x的值为 ，用反比例函数可以反映很多实际问题中两个变量之间的关系，你能举出一个反比例函数的实例吗？
新知讲解
合作学习
拉面小哥舞姿妖娆，手艺更是精湛. 如果他要把体积为 25 cm3 的面团做成拉面，你能写出面条的总长度 y (单位：cm) 与面条粗细 S (横截面积) (单位：cm2)的函数关系式吗？
你还能举出我们在日常生活、生产或学习中具有反比例函数关系的量的实例吗？
提炼概念
生活中有许许多多成反比例关系的实例.如当路程s
一定时,时间t与速度v成反比例关系,可以写成t＝ (s是常
数)；当矩形面积S一定时,长a与宽b成反比例关系,写成a
＝ (S是常数)；当面积是常数S时,三角形的底y与这一底
上的高x成反比例关系,写成y＝ (S是常数).像这些都是
通过数学关系式建立反比例函数模型来解决问题的.
典例精讲
例1 市煤气公司要在地下修建一个容积为104 m3的圆柱形煤气储存室.
(1) 储存室的底面积 S (单位：m2) 与其深度 d (单位：m)
有怎样的函数关系
解：根据圆柱体的体积公式，得
Sd =104，
∴ S 关于d 的函数解析式为
（2）公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2，施工队施工时应该向地下掘进多深？
解得d = 20（m）．
如果把储存室的底面积定为 500 m2，施工时应向地下掘进 20 m 深．
解：把 S = 500 代入 ，得
（3）当施工队按（2）中的计划掘进到地下 15 m 时，公司临时改变计划，把储存室的深度改为 15 m．相应地，储存室的底面积应改为多少（结果保留小数点后两位）？
解得 S ≈ 666.67（m2）．
当储存室的深度为 15 m 时，底面积约为 666.67 m2．
解：根据题意，把 d =15 代入 ，得
例2 码头工人每天往一艘轮船上装载30吨货物，
装载完毕恰好用了 8 天时间.
（1）轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货
速度v (单位：吨/天)与卸货天数t之间有怎样的
函数关系？
（2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过5天卸载完毕，那么平均 每天至少要卸载多少吨？
分析：根据“平均装货速度 × 装货天数=货物的总量”，
可以求出轮船装 载货物的总量；再根据“平均卸货速度
=货物的总量 ÷ 卸货天数”，得到v关 于t的函数解析式.
繁忙的码头
解：(1)设轮船上的货物总量为k吨，根据已知条件得
k=30×8 = 240，
∴v关于t的函数解析式为
(2)把t=5代入
得 (吨/天).
从结果可以看出，如果全部货物恰好用5天卸载
完，那么平均每天卸载48吨.对于函数 当t>0时，t越小，v越大.这样若货物不超过5天卸载完，
则平均每天至少要卸载48吨.
归纳概念
现实世界中的反比例函数
实际应用
归纳
抽象
反比例函数
的图象和性质
1．审题；明确常量和变量，找出变量间的数量关系；
2．列出反比例函数解析式；
3．运用反比例函数的图象和性质解决问题．
课堂练习
必做题
1. 面积为 6 的直角三角形一直角边长为x，另一直角边长为 y，则 y 与 x 的变化规律用图象可大致表示为 ( )
C
知识点拨：直角三角形的边长都是正数。易错点：忽视自变量的实际意义造成错误.
2.某村耕地总面积为50万m2，且该村人均耕地面积y(单位：万m2/人)与总人口x(单位：人)的函数图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A．该村人均耕地面积随总人口的增多而增多
B．该村人均耕地面积y 与总人口x成正比例
C．若该村人均耕地面积为2 m2，则总人口有
100人
D．当该村总人口为50人时，人均耕地面积
为1万m2
D
选做题
3．如图，某玻璃器皿制造公司要制造一种容积为 1 L
(1 L＝1 dm3)的圆锥形漏斗．
(1)漏斗口的面积 S(dm3)与漏斗的深 d(dm)有怎样的函数关系？
(2)如果漏斗的深为 10 cm，那么漏斗口的面积为多少？
(3)如果漏斗口的面积为 60 cm2 ，则漏斗的深为多少？
d
解：(1)
(2)10 cm＝1 dm，把 d＝1 代入解析式，得
S＝3，
所以漏斗口的面积为 3 dm2．
(3)60 cm2＝0.6 dm2，把 S＝0.6 代入解析式，得
d＝5．
所以漏斗的深为 5 dm．
综合拓展题
4. 王强家离工作单位的距离为3600 米，他每天骑自行车上班时的速度为 v 米/分，所需时间为 t 分钟．
(1) 速度 v 与时间 t 之间有怎样的函数关系？
解：
(2) 若王强到单位用 15 分钟，那么他骑车的平均速度是多少？
(3) 如果王强骑车的速度最快为 300 米/分，那他至少需要几分钟到达单位
解：把 v =300 代入函数解析式得：
解得：t =12．
答：他至少需要 12 分钟到达单位．
作业布置
必做题
1. A、B两城市相距630千米，一列火车从A城去B城.
(1) 火车的速度 v (千米/时) 和行驶的时间 t (时) 之间的函数关系是________．
(2) 若到达目的地后，按原路匀速返回，并要求在 3 小时内回到 A 城，则返回的速度不能低于____________．
120千米/时
选做题
2.学校锅炉旁建有一个储煤库，开学时购进一批
煤，现在知道：按每天用煤0.6吨计算，一学期
（按150天计算）刚好用完.若每天的耗煤量为x吨，
那么这批煤能维持y 天.
（1）则y与x之间有怎样的函数关系？
（2）画函数图象
解：（1）煤的总量为：0.6×150=90吨，
∵
∴
（2）函数的图象为：
综合拓展题
3.工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到800℃，然后停止煅烧进行锻造操作。第8min时，材料温度降为600℃，煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例关系(如图)，已知该材料初始温度是32℃
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x
的函数关系式;
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480℃时，
须停止操作，那么锻造的操作时间有多长
解：(1)设锻造时的函数关系式为y= 则600=
∴k=4800,
∴锻造时解析式为y=
当y=800时,800= x=6
∴点B坐标为(6,800)
设煅烧时的函数关系式为y=kx+b，b=32 解得 k=128,
6k+b=800. b=32
∴煅烧时解析式为y=128x+32(0≤x≤6).
(2)y=480时,x=10,10-6=4,480∴锻造的操作时间有4分钟
课堂总结
实际问题
现实生活中的反比例函数
建立反比例函数模型
运用反比例函数图象性质
（1）我们建立反比例函数模型解决实际问题的过程是怎样的？
（2）在这个过程中要注意什么问题？
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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