18.2.3正方形 正方形的性质 课件(共30张PPT)人教版数学八年级下册

(共30张PPT)
正方形的性质
第十八章 平行四边形
仔细观察下列实际生活中的图片,你会发现这些都是正方形的形象．
情境导入
正方形是我们熟悉的图形,你还能列举出正方形在生活中应用的其他例子吗
结合已有经验,类比菱形与矩形,正方形的概念是怎样的呢
情境导入
正方形可以定义为有一组邻边相等并且有一个角
是直角的平行四边形．
下面我们一起来探讨一下正方形的性质吧!
1.边、角、对角线的性质探究：
正方形的性质
探究点
（1）我们回忆一下小学学过的正方形,它有什么性质
正方形的四条边都相等,四个角都是直角．
（2）上面正方形的概念中提到有一组邻边相等的平行四边形是什么图形
菱形．
（3）上面正方形的概念中提到有一个角是直角的平行四边形是什么图形
矩形．
平行四边形
1. 边、角、对角线的性质探究：
正方形的性质
事实上,如果把矩形、菱形各添加一个条件,平行四边形添加两个条件均可得到正方形,可以用下面结构图直观呈现这种关系:
矩形
有一组邻边相等
菱形
有一个角是直角
有一组邻边相等
有一个角是直角
正方形
探究点
正方形的性质
正方形既是矩形,又是菱形,它既有矩形的性质,又有菱形的性质．
归纳总结
我们根据前边的学习,除了边和角,还可以研究一下正方形的对角线,那么它的对角线就是互相平分、相等且垂直．
正方形 性质
边 两组对边平行，四条边相等
角 四个角都是直角
对角线 对角线互相垂直、平分且相等，每条对角线平分一组对角
正方形的性质
正方形的对角线除了上述基本性质外,还有无其他性质呢 事实上,它可以将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.我们可以试着证明:
A
D
B
C
O
探究点
例 求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形ABCD是正方形，
对角线AC,BD相交于点O.
求证：△ABO、△BCO、△CDO、
△DAO是全等的等腰直角三角形.
A
D
B
C
O
例题精析
证明：∵四边形ABCD是正方形.
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.
∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形，并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO
A
D
B
C
O
例题精析
2. 正方形的对称性
正方形的性质
我们再想一想:正方形是轴对称图形吗 它的对称轴是什么
探究点
如图,取一张正方形纸片,将它沿过对边中点的直线和对角线折叠,折叠后的两部分均能重合．
归纳总结:正方形是轴对称图形,它的对称轴有四条,分别是对边中点的连线以及两条对角线所在的直线．
1. 正方形的一条边长是3，那么它的对角线长是 .
2. 如图，在正方形ABCD中，点E在BD上，且BE=CD，则∠BEC的度数为 .
对应训练
A
D
B
C
E
67.5°
3. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在AB,BC边上,AE =BF,连接AF,DE.求证:△ADE≌△BAF．
对应训练
A
B
D
C
E
F
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=BA,∠DAE=∠ABF=90°.
在△ADE和△BAF中，
∴△ADE≌△BAF（SAS）
AD=BA
∠DAE=∠ABF
AE=BF
例 如图,在正方形ABCD中,点E在边BC上,点F在CD 的延长线上,且BE=DF.
（1）求证:AE=AF,AE⊥AF;
（2）若BD与EF相交于点M,连接AM,
试判断AM与EF的数量关系和位置关
系,并说明理由.
例题精析
A
D
B
C
M
E
F
（1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠ABE=∠BAD=∠ADC=∠ADF=90°， AB=AD.
在△ABE和△ADF中，
∴△ABE≌△ADF（SAS）
∴AE=AF,∠BAE=∠DAF.
∴∠DAF+∠EAD=∠BAE+∠EAD，
即∠EAF=∠BAD=90°，∴AE⊥AF .
A
D
B
C
M
E
F
AB=AD
∠ABE=∠ADF
BE=DF
例题精析
A
D
B
C
M
E
F
N
（2）解：AM= EF,AM⊥EF.理由如下:如图,过点E作EN∥CD ,交BD于点N，∴∠MNE=∠MDF,∠MEN=∠MFD，
∠NEB=∠C=90°.
∵四边形ABCD为正方形,∴∠NBE=45°
∴∠BNE=90°－∠NBE=45°，
∴∠NBE=∠BNE,∴BE＝NE．
又BE=DF,∴NE=DF
∴△MNE≌△MDF(ASA),∴EM=FM ．
∵AE=AF,∠EAF=90°, ∴AM= EF,AM⊥EF．
例题精析
1. 如图，AC 是正方形ABCD的对角线，若以AD为边向正方形内部作等边三角形ADE，边DE交AC于点F，则∠EFC= .
A
D
B
C
F
E
对应训练
75°
2. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则四边形BEDF的周长是 .
D
C
A
B
F
E
对应训练
3. 如图，ABCD是一块正方形场地. 小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30 m，EB=10 m. 这块场地的面积和对角线长分别是多少
A
D
B
C
E
对应训练
【选自教材P59，练习第2题】
解：如图，连接AC.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC.
在Rt△BEC中，∠B=90°，EB=10m，EC=30m,
由勾股定理得BC= (m).
在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC= m，
由勾股定理得AC= (m).
∴这块场地的面积为800m2，对角线长40m.
对应训练
A
D
B
C
E
概念
课堂总结
正方形
边：四条边都相等，两组对边分别平行
有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形
对角线：对角线相等，并且互相垂直平分
角：四个角都是直角
性质
课后作业
1. 教材P61习题18.2第7, 12, 15, 17题.
1. 如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？
课后作业
解：剪口应与折痕成45°的角
【选自教材P61，习题18.2第7题】
2.（1）如图，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点的坐标分别是(0,0),(b,0),(0,d).求点C的坐标.
B
D
O
C
x
y
课后作业
【选自教材P61，习题18.2第12题】
解：（1）∵四边形OBCD是矩形，
∴OD=BC,OB=DC,
且CD⊥OD,CB⊥OB.
∵D(0,d),B(b,0),
∴C(b,d)
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO,BO=DO.
∵C(c,0),∴A(-c,0)
∵D(0,d),∴B(0,-d)
2.（2）如图，四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是(c,0),(0,d).点A , B的在坐标轴上.求A , B两点的坐标.
B
D
O
C
x
y
课后作业
【选自教材P61，习题18.2第12题】
A
2.（3）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0,0),(0,d).求点B , C的坐标.
课后作业
【选自教材P61，习题18.2第12题】
B
D
O
C
x
y
（3）∵四边形OBCD是正方形，
∴OD=DC=BC,
且CB⊥OB，CD⊥OD.
又D(0,d),
∴B(d,0),C(d,d).
3. 如图，四边形ABCD是正方形，G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE,且交AG于点F.求证：AF-BF=EF
A
D
B
C
E
F
G
正方形的性质
三角形全等
等量代换
点击查看解题过程
课后作业
【选自教材P62，习题18.2第15题】
A
D
B
C
E
F
G
1
2
3
新知应用
证明：∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠1+∠2=90°.
∵DE⊥AG,且BF∥DE,
∴∠AFB=∠DEA=90°.
∴∠1+∠3=90°.
∴∠2=∠3.
在△ABF与△ADE中，
∴△ABF≌△ADE（AAS）.
∴BF=AE.
又AF-AE=EF,
∴AF-BF=EF.
∠AFB=∠AED
AB=AD
∠2=∠3
4. 如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？并与你的同学交流一下.
课后作业
【选自教材P62，习题18.2第17题】
解：有多种方法：只要两条小路交于正方形对角线的交点且两条小路互相垂直，则满足条件.
5. 如图为某城市部分街道示意图，四边形ABCD为正方形，点G在对角线BD上，GE⊥CD,GF⊥BC,AD=1500m,小敏行走的路线为B A G E,小聪行走的路线为B A D E F,若小敏行走的路程为3100m,则小聪行走的路程为 m
课后作业
4600
A
D
B
C
E
F
G
6. 如图,正方形ABCD的边长为4，E,F分别是BC,CD上一动点，且BE=CF,连接AE，BF交于点P，连接CP，则CP的最小值是（ ）
拓展提升
A
A.
B.
C.
D.
A
D
B
C
E
F
P
G