18.2.2菱形 菱形的判定课件(共29张PPT) 人教版数学八年级下册

(共29张PPT)
第十八章 平行四边形
菱形的判定
前面我们学习平行四边形和矩形时,都可以用性质得出相应的判定,那么我们学习菱形的判定时是否也可以反推菱形的性质来得到它的判定呢 我们大家一起来尝试一下吧!
类比导入
类比导入
图形 性质定理 判定定理
平行四边形 对边平行 两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对边相等 两组对边分别相等的四边形是平行四边形
对角相等 两组对角分别相等的四边形是平行四边形
对角线互相平分 对角线互相平分的四边形是平行四边形
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
类比导入
图形 性质定理 判定定理
矩形 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形
有一个角是直角的平行四边形是矩形
菱形
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 ？
四条边都相等
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.
(1)转动木条,这个四边形总有什么特征 它是什么四边形
这个四边形的对角线总是互相平分,它是平行四边形．
新知探究
探究点1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图,用一长一短两根木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可转动的十字,四周围上一根橡皮筋,做成一个四边形.
(2)继续转动木条,观察橡皮筋围成的四边形什么时候变成菱形
当这个四边形的对角线互相垂直时变成菱形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=CO．∵BD⊥AC,∴AB=BC
(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等).
∴ ABCD是菱形.
猜想：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
新知探究
已知：如图，在 ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,且BD⊥AC. 求证： ABCD是菱形.
B
A
C
D
O
归纳总结：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形,
且BD⊥AC.
∴ ABCD是菱形．
归纳总结
例1 如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O,
且AB=5,AO=4,BO=3.
求证： ABCD是菱形.
A
B
C
D
O
证明：∵AB=5,AO=4,BO=3,
∴ .
∴△OAB是直角三角形.
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
例题精析
　 1. 如图,在 ABCD中,对角线AC与BD交于点O,若添加一个条件,可推出 ABCD是菱形,则该条件可以是 (　 　)
　 A. AB=AC　 　B. AC=BD　
C. AC⊥BD　　D. AB⊥AC
C
对应训练
A
B
C
D
O
2. 一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
A
B
C
D
O
解：如图，由题意得：AB=9, AC= , BD=12.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AO= AC= ,BO= BD=6.
∴ .
∴△OAB是直角三角形.
∴AC⊥BD.
∴ ABCD是菱形.
∴ .
对应训练
【选自教材P58，练习第2题】
新知探究
探究点2 四条边相等的四边形是菱形.
老师拿四根长度一样的新粉笔,首尾顺次相接拼成一个四边形,在黑板上画出相应的图形并标上字母(如图),得到的四边形ABCD是菱形吗 　
猜想：四条边相等的四边形是菱形．
四边形ABCD是菱形.
猜想：
四条边相等的四边形是菱形.
下面我们来进行验证：
新知探究
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
B
A
C
D
证明：∵AB=CD，BC=AD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结：四条边相等的四边形是菱形.
几何语言：∵AB=BC=CD=AD,
∴四边形ABCD是菱形.
归纳总结
解：证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D =90°, AD=BC，AB=CD.
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF,AE=BE=CG=DG.
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，∴四边形EFGH是菱形.
对应训练
1. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD ，AD的中点. 求证：四边形EFGH 是菱形.
F
E
H
G
C
B
A
D
2. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形ABCD是一个菱形吗？为什么？
对应训练
【选自教材P58，练习第3题】
A
B
C
D
解：四边形ABCD是一个菱形.
理由：过点A作AE⊥BC于点E,作AF⊥CD于点F.
∵AD∥BC，AB∥CD,
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D. 又∠AEB=∠AFD=90°，AE=AF，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB=AD，∴四边形ABCD是菱形.
E
F
例2 如图，在 ABCD中,BF平分∠ABC交AD于点F,AE⊥BF于点O,
交BC于点E,连接EF.
(1)求证：四边形ABEF是菱形；
(2)若AE=6,BF=8,CE=3,求 ABCD的面积.
例题精析
A
B
C
D
O
E
F
(1) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=EO, AD∥BC,∴∠EBF=∠AFB．
∵BF平分∠ABC,
∴∠ABF=∠EBF,
∴∠ABF=∠AFB,∴AB=AF．
∵BO⊥AE, AO=EO,∴AB=EB,∴BE=AF．
∵BE∥AF,∴四边形ABEF是平行四边形．
又AB=AF,∴ ABEF是菱形．
例题精析
A
B
C
D
O
E
F
(2)解：如图，过点F作FG⊥BC于点G．
∵四边形ABEF是菱形, AE=6, BF=8,
∴OE= AE=3, OB= BF=4.
在Rt△BOE中, BE=
= =5.
∵S菱形ABEF = AE·BF=BE·FG,
∴ ×6×8=5FG, ∴FG= .
∵BC=BE+CE=5+3=8，∴S ABCD=BC·FG=8× = .
例题精析
A
B
C
D
O
E
F
G
矩形和菱形小结：
课堂总结
图形 概念 性质定理 判定定理
矩形 有一个角是直角的平行四边形 四个角都是直角 有三个角是直角的四边形是矩形
对角线相等 对角线相等的平行四边形是矩形
菱形 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 四条边都相等 四条边相等的四边形是菱形
两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角 对角线互相垂直的平行四边形是矩形
知识结构
四边形
两条边都相等
平行四边形
对角线相等互相垂直
有一组邻边相等
菱形
菱形
菱形
课后作业
1. 教材P60习题18.2第6, 10题.
1. 如图，AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD.
求证：四边形ABCD是菱形.
角相等
边相等
菱形ABCD
平行线 +角平分线
点击查看解题过程
课后作业
【选自教材P60，习题18.2第6题】
F
D
C
B
A
O
E
证明：∵AC平分∠BAD,
∴∠1=∠2.
又AE∥BF,
∴∠2=∠3，AD∥BC.
∴∠1=∠3. ∴BA=BC.
同理可得：AB=AD.
∴AD=BC.
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴四边形ABCD为菱形.
课后作业
F
D
C
B
A
O
1
2
3
E
2. 如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E.
求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形.
课后作业
【选自教材P61，习题18.2第10题】
A
B
M
F
C
G
D
N
E
课后作业
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=DA=BC=CD.
∵BM=DN,
∴AB-BM=DA-DN,即AM=AN.
∵MG∥AD，NF∥AB,
∴四边形AMEN是平行四边形.
∴ AMEN是菱形.
同理可证：四边形EFCG是菱形.
A
B
M
F
C
G
D
N
E
　 3. 已知平行四边形ABCD, 下列条件:
①AC⊥BD; ②∠BAD=90°; ③AB=BC; ④AC=BD. 其中能使平行四边形ABCD是菱形的有(　　)
　 A.①③　　B.②③　　C.③④　　D.①②③
A
课后作业
4. 如图，在 ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别与AD,AC,BC相交于点E,O,F.
求证：四边形AFCD是菱形.
F
E
D
C
B
A
O
三角形全等
菱形AECF
平行四边形
边相等
角相等
AECF
+垂直(AC⊥EF)
点击查看解题过程
课后作业
证明：∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AE∥CF. ∴∠1=∠2.
又EF垂直平分AC,
∴∠AOE=∠COF=90°，EA=EC.
在△AOE与△COF中，
∴△AOE≌△COF(AAS).
∴AE=CF. ∴四边形AFCE是平行四边形.
又EA=EC,
∴四边形AFCE是菱形.
F
E
D
C
B
A
O
1
2
∠1=∠2
∠AOE=∠COF
OA=OC
课后作业