浙教版2023-2024学年度上学期九年级期末模拟数学试题4（含解析）

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浙教版2023-2024九年级上期末模拟试题4
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
的值等于（　　）
A．1 B． C． D．2
如图，小球从A入口往下落，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等．则小球从E出口落出的概率是（　　）
A． B． C． D．
如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（　　）
A． B．3 C． D．4
若抛物线经过第四象限的点），则关于x的方程的根的情况是（ ）
A．有两个大于1的不相等实数根
B．有两个小于1的不相等实数根
C．有一个大于1另一个小于1的实数根
D．没有实数根
正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则这个正多边形为（　　）
A．正十二边形 B．正六边形 C．正四边形 D．正三角形
在平面直角坐标系中,点是线段上一点,以原点为位似中心把放大到原来的两倍,则点的对应点的坐标为( )
A．
B． 或
C．
D． 或
抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2＜0，则直线y＝ax+k一定经过（　　）
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
如图，AB是⊙O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交⊙O于点E．若AC＝4，DE＝4，则BC的长是（　　）
A．1 B． C．2 D．4
已知A（﹣3，﹣2），B（1，﹣2），抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）顶点在线段AB上运动，形状保持不变，与x轴交于C，D两点（C在D的右侧），下列结论：
①c≥﹣2，
②当x＞0时，一定有y随x的增大而增大，
③若点D横坐标的最小值为﹣5，则点C横坐标的最大值为3，
④当四边形ABCD为平行四边形时，a＝．
其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①④ D．①③④
如图，正五边形ABCDE的边长为2，连结AC、AD、BE，BE分别与AC和AD相交于点F、G，连结DF，给出下列结论：①∠FDG=18°；②FG=3﹣；③（S四边形CDEF）2=9+2；④DF2﹣DG2=7﹣2．其中结论正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2 、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为奇数的概率是　 　．
为传承非遗文化，讲好中国故事，某地准备在一个场馆进行川剧演出．该场馆底面为一个圆形，如图所示，其半径是10米，从A到B有一笔直的栏杆，圆心O到栏杆AB的距离是5米，观众在阴影区域里观看演出，如果每平方米可以坐3名观众，那么最多可容纳 　 　名观众同时观看演出．（π取3.14，取1.73）
在△ABC 中，∠A．∠B，∠C的对边分别为a、b、c，且满足a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，则sinB的值为 　 　．
若一个扇形的圆心角为，面积为，则这个扇形的弧长为__________ （结果保留）
如图，已知点，，两点，在抛物线上，向左或向右平移抛物线后，，的对应点分别为，，当四边形的周长最小时，抛物线的解析式为__________．
如图，在菱形ABCD中，AB＝4，BD＝7．若M、N分别是边AD、BC上的动点，且AM＝BN，作ME⊥BD，NF⊥BD，垂足分别为E、F，则ME+NF的值为 　 　．
3 、解答题（本大题共8小题，共66分）
计算：．
从甲、乙、丙、丁4名学生中选2名学生参加一次乒乓球单打比赛，求下列事件发生的概率．
（1）甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，恰好选中丙的概率是 　 　，
（2）任意选取2名学生参加比赛，求一定有乙的概率．（用树状图或列表的方法求解）．
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=14，AC=7，D是BC上一点，BD=8，DE⊥AB，垂足为E，求线段DE的长．
湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中≈0.618）：伞柄AH始终平分∠BAC，AB＝AC＝20cm，当∠BAC＝120°时，伞完全打开，此时∠BDC＝90°．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：≈1.732）
如图，二次函数y=（x+2）2+m的图象与y轴交于点C，点B在抛物线上，且与点C关于抛物线的对称轴对称，已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（﹣1，0）及点B．
（1）求二次函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围．
如图，已知平行四边形OABC的三个顶点A．B、C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB、AO的延长线于点D、E，AE交半圆O于点F，连接CF．
（1）判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由；
（2）①求证：CF=OC；
②若半圆O的半径为12，求阴影部分的周长．
如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交x轴于A．B两点，交y轴于点D，点B的坐标为（3，0），顶点C的坐标为（1，4）．
（1）求二次函数的解析式和直线BD的解析式；
（2）点P是直线BD上的一个动点，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，当点P在第一象限时，求线段PM长度的最大值；
（3）在抛物线上是否存在异于B、D的点Q，使△BDQ中BD边上的高为2？若存在求出点Q的坐标；若不存在请说明理由．
问题提出 如图（1），E是菱形ABCD边BC上一点，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α （α≥90°），AF交CD于点G，探究∠GCF与α的数量关系．
问题探究 （1）先将问题特殊化，如图（2），当α＝90°时，直接写出∠GCF的大小，
（2）再探究一般情形，如图（1），求∠GCF与α的数量关系．
问题拓展 将图（1）特殊化，如图（3），当α＝120°时，若，求的值．
答案解析
1 、选择题
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值及二次根式的加法法则计算即可．
解：原式＝+
＝，
故选：B．
【点评】本题考查二次根式的运算及特殊锐角的三角函数，其相关运算法则是基础且重要知识点，必须熟练掌握．
【考点】概率公式
【分析】根据“在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等”可知在点B、C、D处都是等可能情况，从而得到在四个出口E、F、G、H也都是等可能情况，然后概率的意义列式即可得解．
解：由图可知，在每个交叉口都有向左或向右两种可能，且可能性相等，
小球最终落出的点共有E、F、G、H四个，
所以小球从E出口落出的概率是：；
故选：C．
【点评】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得=，进而得出CF=3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．
解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴=，即=，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF==4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为==3，
故选：B．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造直角三角形，难度不大．　
【考点】二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点
【分析】根据抛物线的图像进行判断即可．
解：∵a>0，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线经过第四象限的点（1，-1）
∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，一个大于1另一个小于1，
故选：C．
【点评】本题考查了抛物线的图像和性质，判断出抛物线的图像是解题关键．
【考点】正多边形和圆．
【分析】设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，在直角△AOC中，利用三角函数求得∠AOC的度数，从而求得中心角的度数，然后利用360度除以中心角的度数，即可求得边数．
解：正多边形的内切圆与外接圆的周长之比为：2，则半径之比为：2，
设AB是正多边形的一边，OC⊥AB，
则OC=，OA=OB=2，
在直角△AOC中，cos∠AOC==，
∴∠AOC=30°，
∴∠AOC=60°，
则正多边形边数是： =6．
故选：B．
【点评】本题考查学生对正多边形的概念掌握和计算的能力，正多边形的计算一般是转化成半径，边心距、以及边长的一半这三条线段构成的直角三角形的计算．
【考点】位似变换、坐标与图形的性质
【分析】根据位似变换的性质计算即可．
解：点P（m，n）是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，
则点P的对应点的坐标为（m×2，n×2）或（m×（-2），n×（-2）），即（2m，2n）或（-2m，-2n），
故选B．
【点评】本题考查的是位似变换、坐标与图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，根与系数的关系，一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】根据已知条件可得出ax2﹣kx﹣a＝0，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可．
解：∵抛物线y＝ax2﹣a（a≠0）与直线y＝kx交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，
∴kx＝ax2﹣a，
∴ax2﹣kx﹣a＝0，
∴，
∴，
当a＞0，k＜0时，直线y＝ax+k经过第一、三、四象限，
当a＜0，k＞0时，直线y＝ax+k经过第一、二、四象限，
综上，直线y＝ax+k一定经过一、四象限．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，解题的关键是熟练掌握根与系数的关系．
【考点】垂径定理，勾股定理，三角形中位线定理．
【分析】由垂径定理可知，点D是AC的中点，则OD是△ABC的中位线，所以OD＝BC，设OD＝x，则BC＝2x，则OE＝4﹣x，AB＝2OE＝8﹣2x，在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2＝AC2+BC2，即（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，求出x的值即可得出结论．
解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵OD⊥AC，
∴点D是AC的中点，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，且OD＝BC，
设OD＝x，则BC＝2x，
∵DE＝4，
∴OE＝4﹣x，
∴AB＝2OE＝8﹣2x，
在Rt△ABC中，由勾股定理可得，AB2＝AC2+BC2，
∴（8﹣2x）2＝（4）2+（2x）2，
解得x＝1．
∴BC＝2x＝2．
故选：C．
【点评】本题主要考查中位线的性质与判定，垂径定理，勾股定理等知识，设出参数，根据勾股定理得出方程是解题关键．
【考点】二次函数综合题．
【分析】根据顶点在线段AB上抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）可以判断出c的取值范围，得到①正确，根据二次函数的增减性判断出②错误，先确定x＝1时，点D的横坐标取得最大值，然后根据二次函数的对称性求出此时点C的横坐标，即可判断③正确，令y＝0，利用根与系数的关系与顶点的纵坐标求出CD的长度的表达式，然后根据平行四边形的对边平行且相等可得AB＝CD，然后列出方程求出a的值，判断出④正确．
解：∵点A，B的坐标分别为（﹣3，﹣2）和（1，﹣2），
∴线段AB与y轴的交点坐标为（0，﹣2），
又∵抛物线的顶点在线段AB上运动，抛物线与y轴的交点坐标为（0，c），
∴c≥﹣2，（顶点在y轴上时取“＝”），故①正确，
∵抛物线的顶点在线段AB上运动，开口向上，
∴当x＞1时，一定有y随x的增大而增大，故②错误，
若点D的横坐标最小值为﹣5，则此时对称轴为直线x＝﹣3，C点的横坐标为﹣1，则CD＝4，
∵抛物线形状不变，当对称轴为直线x＝1时，C点的横坐标为3，
∴点C的横坐标最大值为3，故③正确，
令y＝0，则ax2+bx+c＝0，
CD2＝（﹣）2﹣4×＝，
根据顶点坐标公式，＝﹣2，
∴＝﹣8，即＝8，
∴CD2＝×8＝，
∵四边形ACDB为平行四边形，
∴CD＝AB＝1﹣（﹣3）＝4，
∴＝42＝16，
解得a＝，故④正确，
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了二次函数的顶点坐标，二次函数的对称性，根与系数的关系，平行四边形的对边平行且相等的性质，①要注意顶点在y轴上的情况．
【考点】正多边形和圆；相似三角形的判定与性质．
【分析】①先根据正五方形ABCDE的性质得：∠ABC=180°﹣=108°，由等边对等角可得：∠BAC=∠ACB=36°，再利用角相等求BC=CF=CD，得∠CDF=∠CFD==54°，可得∠FDG=18°；
②证明△ABF∽△ACB，得，代入可得FG的长；
③如图1，先证明四边形CDEF是平行四边形，根据平行四边形的面积公式可得：（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4×=10+2；
④如图2， CDEF是菱形，先计算EC=BE=4﹣FG=1+，由S四边形CDEF=FD EC=2×，可得FD2=10﹣2，计算可得结论．
解：①∵五方形ABCDE是正五边形，
∴AB=BC，∠ABC=180°﹣=108°，
∴∠BAC=∠ACB=36°，
∴∠ACD=108°﹣36°=72°，
同理得：∠ADE=36°，
∵∠BAE=108°，AB=AE，
∴∠ABE=36°，
∴∠CBF=108°﹣36°=72°，
∴BC=FC，
∵BC=CD，
∴CD=CF，
∴∠CDF=∠CFD==54°，
∴∠FDG=∠CDE﹣∠CDF﹣∠ADE=108°﹣54°﹣36°=18°；
所以①正确；
②∵∠ABE=∠ACB=36°，∠BAC=∠BAF，
∴△ABF∽△ACB，
∴，
∴AB ED=AC EG，
∵AB=ED=2，AC=BE=BG+EF﹣FG=2AB﹣FG=4﹣FG，EG=BG﹣FG=2﹣FG，
∴22=（2﹣FG）（4﹣FG），
∴FG=3+＞2（舍），FG=3﹣；
所以②正确；
③如图1，∵∠EBC=72°，∠BCD=108°，
∴∠EBC+∠BCD=180°，
∴EF∥CD，
∵EF=CD=2，
∴四边形CDEF是平行四边形，
过D作DM⊥EG于M，
∵DG=DE，
∴EM=MG=EG=（EF﹣FG）=（2﹣3+）=，
由勾股定理得：DM===，
∴（S四边形CDEF）2=EF2 DM2=4×=10+2；
所以③不正确；
④如图2，连接EC，
∵EF=ED，
∴ CDEF是菱形，
∴FD⊥EC，
∵EC=BE=4﹣FG=4﹣（3﹣）=1+，
∴S四边形CDEF=FD EC=2×，
×FD×（1+）=，
FD2=10﹣2，
∴DF2﹣DG2=10﹣2﹣4=6﹣2，
所以④不正确；
本题正确的有两个，
故选B．
【考点】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，正五边形的性质，熟练掌握正五边形的性质是解题的关键．　
2 、填空题
【考点】概率公式
【分析】利用随机事件A的概率PA．＝事件A可能出现的结果数：所有可能出现的结果数进行计算即可．
解：掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的点数为奇数的概率是＝，
故答案为：．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的计算方法．
【考点】垂径定理的应用．
【分析】过O作OD⊥AB，D为垂足，可得到∠AOD＝60°，所以∠AOB＝120°，再求出S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m2），然后乘以3即可得到观看马戏的观众人数约为183人．
解：过O作OD⊥AB，D为垂足，
∴AD＝BD，OD＝5m，
∵cos∠AOD＝＝＝，
∴∠AOD＝60°，AD＝OD＝5m，
∴∠AOB＝120°，AB＝10m，
∴S阴影部分＝S扇形OAB﹣S△OAB＝﹣×10×5＝π﹣25≈61（m2），
∴61×3＝183（人）．
∴观看马戏的观众人数约为183人．
故答案为：183人．
【点评】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键，也考查了三角函数的概念和特殊角的三角函数值．
【考点】实数的运算，非负数的性质：绝对值，非负数的性质：偶次方，非负数的性质：算术平方根．
【分析】直接利用非负数的性质得出a，b，c的值，再利用锐角三角函数关系得出答案．
解：∵a2+|c﹣10|+＝12a﹣36，
∴（a﹣6）2+|c﹣10|+＝0，
∴a﹣6＝0，c﹣10＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，c＝10，b＝8，
∵△ABC 中，∠A．∠B，∠C的对边分别为a、b、c，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了非负数的性质以及解直角三角形，正确得出a，b，c的值是解题关键．
【考点】扇形的面积公式，弧长公式
【分析】先利用扇形的面积公式求出扇形的半径，再利用弧长公式即可得．
解：设扇形的半径为
则
解得或（不符题意，舍去）
则这个扇形的弧长为
故答案为：．扇形的面积公式、弧长公式
【点评】本题考查了，熟记公式是解题关键．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征,二次函数图象与几何变换,二次函数的最值,待定系数法求二次函数解析式,轴对称-最短路线问题
【分析】先通过平移和轴对称得到当B、E、三点共线时，的值最小，再通过设直线的解析式并将三点坐标代入，当时，求出a的值，最后将四边形周长与时的周长进行比较，确定a的最终取值，即可得到平移后的抛物线的解析式．
解：∵，，，，
∴，，
由平移的性质可知：,
∴四边形的周长为；
要使其周长最小，则应使的值最小；
设抛物线平移了a个单位，当a>0时，抛物线向右平移，当a<0时，抛物线向左平移；
∴，，
将向左平移2个单位得到，则由平移的性质可知：，
将关于x轴的对称点记为点E，则，由轴对称性质可知，,
∴，
当B、E、三点共线时，的值最小，
设直线的解析式为：，
∴，
当时，
∴
∴，
将E点坐标代入解析式可得：，
解得：，
此时，
此时四边形的周长为；
当时，，，，，
此时四边形的周长为：
；
∵，
∴当时，其周长最小，
所以抛物线向右平移了个单位，
所以其解析式为：；
故答案为：．
【点评】本题综合考查了平移、轴对称、一次函数的应用、勾股定理、抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是理解并确定什么情况下该四边形的周长最短，本题所需综合性思维较强，对学生的综合分析和计算能力要求都较高，本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等．
【考点】相似三角形的判定与性质,勾股定理,菱形的性质．
【分析】连接AC交BD于O，根据菱形的性质得到BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，根据勾股定理求出OA，证明△DEM∽△DOA，根据相似三角形的性质列出比例式，用含AM的代数式表示ME、NF，计算即可．
解：连接AC交BD于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，OB＝OD＝，OA＝OC，
由勾股定理得：OA＝＝＝，
∵ME⊥BD，AO⊥BD，
∴ME∥AO，
∴△DEM∽△DOA，
∴＝，即＝，
解得：ME＝，
同理可得：NF＝，
∴ME+NF＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
3 、解答题
【考点】立方根,零指数幂,负整数指数幂,特殊角的三角函数值
【分析】先化简各项，再作加减法，即可计算．
解：原式=
=0，
故答案为：0.
【点评】此题考查实数的混合运算以及特殊角的三角函数值，关键是掌握运算法则和运算顺序．
【考点】列表法与树状图法，随机事件．
【分析】（1）根据题意可知甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，从而可以求得恰好选中丙的概率，
（2）根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得一定有乙的概率．
解：（1）由题意可得，
甲一定参加比赛，再从其余3名学生中任意选取1名，有3种可能性，其中选中丙的有1种可能性，
故恰好选中丙的概率是，
故答案为：，
（2）树状图如下：
由上可得，一共有12种可能性，其中一定有乙的可能性有6种，
故一定有乙的概率是＝．
【点评】本题考查列表法与树状图法、随机事件，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定与性质，可得答案．
解：∵DE⊥AB，
∴∠BED=90°，
又∠C=90°，
∴∠BED=∠C．
又∠B=∠B，
∴△BED∽△BCA，
∴=，
∴DE===4
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质得出=是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用，全等三角形的判定与性质，黄金分割．
【分析】作BE⊥AH于点E，根据三角函数求出AE和EB，再利用等腰直角三角形的性质得出DE，再根据比例关系求出AH的长度即可．
解：作BE⊥AH于点E，
∵∠BAC＝120°，AH平分∠BAC，
∴∠BAE＝60°，
∴AE＝AB cos60°＝20×＝10（cm），
BE＝AB sin60°＝20×＝10≈17.32（cm），
∵BD＝CD，∠BDC＝90°，
∴∠BDE＝45°，
∴DE＝BE＝17.32cm，
∴AD＝AE+DE＝10+17.32＝27.32（cm），
∵，
即，
解得AH≈72，
∴最少需要准备72cm长的伞柄．
【点评】本题主要考查解直角三角形的知识，熟练掌握特殊角三角函数是解题的关键．
【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）先利用待定系数法先求出m，再求出点B坐标，利用方程组求出太阳还是解析式．
（2）根据二次函数的图象在一次函数的图象上面即可写出自变量x的取值范围．
解：（1）∵抛物线y=（x+2）2+m经过点A（﹣1，0），
∴0=1+m，
∴m=﹣1，
∴抛物线解析式为y=（x+2）2﹣1=x2+4x+3，
∴点C坐标（0，3），
∵对称轴x=﹣2，B、C关于对称轴对称，
∴点B坐标（﹣4，3），
∵y=kx+b经过点A．B，
∴，解得，
∴一次函数解析式为y=﹣x﹣1，
（2）由图象可知，写出满足（x+2）2+m≥kx+b的x的取值范围为x＜﹣4或x＞﹣1．
【点评】本题考查二次函数与不等式、待定系数法等知识，解题的关键是灵活运用待定系数法确定好像解析式，学会利用图象根据条件确定自变量取值范围，属于中考常考题型．　
【考点】直线与圆的位置关系；平行四边形的性质；弧长的计算．
【分析】（1）结论：DE是⊙O的切线．首先证明△ABO，△BCO都是等边三角形，再证明四边形BDCG是矩形，即可解决问题；
（2）①只要证明△OCF是等边三角形即可解决问题；
②求出EC、EF、弧长CF即可解决问题．
解：（1）结论：DE是⊙O的切线．
理由：∵四边形OABC是平行四边形，
又∵OA=OC，
∴四边形OABC是菱形，
∴OA=OB=AB=OC=BC，
∴△ABO，△BCO都是等边三角形，
∴∠AOB=∠BOC=∠COF=60°，
∵OB=OF，
∴OG⊥BF，
∵AF是直径，CD⊥AD，
∴∠ABF=∠DBG=∠D=∠BGC=90°，
∴四边形BDCG是矩形，
∴∠OCD=90°，
∴DE是⊙O的切线．
（2）①由（1）可知：∠COF=60°，OC=OF，
∴△OCF是等边三角形，
∴CF=OC．
②在Rt△OCE中，∵OC=12，∠COE=60°，∠OCE=90°，
∴OE=2OC=24，EC=12，
∵OF=12，
∴EF=12，
∴的长==4π，
∴阴影部分的周长为4π+12+12．
【点评】本题考查切线的判定、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、弧长公式，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明三角形是等边三角形是解题的突破点，属于中考常考题型．　
【考点】 二次函数综合题．
【分析】（1）可设抛物线解析式为顶点式，由B点坐标可求得抛物线的解析式，则可求得D点坐标，利用待定系数法可求得直线BD解析式；
（2）设出P点坐标，从而可表示出PM的长度，利用二次函数的性质可求得其最大值；
（3）过Q作QG∥y轴，交BD于点G，过Q和QH⊥BD于H，可设出Q点坐标，表示出QG的长度，由条件可证得△DHG为等腰直角三角形，则可得到关于Q点坐标的方程，可求得Q点坐标．
解：（1）∵抛物线的顶点C的坐标为（1，4），
∴可设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+4，
∵点B（3，0）在该抛物线的图象上，
∴0=a（3﹣1）2+4，解得a=﹣1，
∴抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3，
∵点D在y轴上，令x=0可得y=3，
∴D点坐标为（0，3），
∴可设直线BD解析式为y=kx+3，
把B点坐标代入可得3k+3=0，解得k=﹣1，
∴直线BD解析式为y=﹣x+3；
（2）设P点横坐标为m（m＞0），则P（m，﹣m+3），M（m，﹣m2+2m+3），
∴PM=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣）2+，
∴当m=时，PM有最大值；
（3）如图，过Q作QG∥y轴交BD于点G，交x轴于点E，作QH⊥BD于H，
设Q（x，﹣x2+2x+3），则G（x，﹣x+3），
∴QG=|﹣x2+2x+3﹣（﹣x+3）|=|﹣x2+3x|，
∵△BOD是等腰直角三角形，
∴∠DBO=45°，
∴∠HGQ=∠BGE=45°，
当△BDQ中BD边上的高为2时，即QH=HG=2，
∴QG=×2=4，
∴|﹣x2+3x|=4，
当﹣x2+3x=4时，△=9﹣16＜0，方程无实数根，
当﹣x2+3x=﹣4时，解得x=﹣1或x=4，
∴Q（﹣1，0）或（4，﹣5），
综上可知存在满足条件的点Q，其坐标为（﹣1，0）或（4，﹣5）．
【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、二次函数的性质、等腰直角三角形的性质及方程思想等知识．在（1）中主要是待定系数法的考查，注意抛物线顶点式的应用，在（2）中用P点坐标表示出PM的长是解题的关键，在（3）中构造等腰直角三角形求得QG的长是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【考点】相似形综合题．
【分析】问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．证明△EAJ≌△FEC（SAS），推出∠AJE＝∠ECF，可得结论，
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°，在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．证明方法类似，
问题拓展解：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．用m表示出BE，CE，可得结论．
解：问题探究（1）如图（2）中，在BA上截取BJ，使得BJ＝BE．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠BCD＝90°，BA＝BC，
∵BJ＝BE，
∴AJ＝EC，
∵∠AEC＝∠AEF+∠CEF＝∠BAE+∠B，∠AEF＝∠B＝90°，
∴∠CEF＝∠EAJ，
∵EA＝EF，
∴△EAJ≌△FEC（SAS），
∴∠AJE＝∠ECF，
∵∠BJE＝45°，
∴∠AJE＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ECF＝135°，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠ECD＝135°﹣90°＝45°，
（2）结论：∠GCF＝α﹣90°，
理由：在AB上截取AN，使AN＝EC，连接NE．
∵∠ABC+∠BAE+∠AEB＝∠AEF+∠FEC+∠AEB＝180°，
∠ABC＝∠AEF，
∴∠EAN＝∠FEC．
∵AE＝EF，
∴△ANE≌△ECF（SAS）．
∴∠ANE＝∠ECF．
∵AB＝BC，
∴BN＝BE．
∵∠EBN＝α，
∴，
∴∠GCF＝∠ECF﹣∠BCD＝∠ANE﹣∠BCD＝，
问题拓展：过点A作CD的垂线交CD的延长线于点P，设菱形的边长为3m．
，
∴DG＝m，CG＝2m．
在Rt△ADP中，∠ADC＝∠ABC＝120°，
∴∠ADP＝60°，
∴m，，
∴α＝120°，
由（2）知，，
∵∠AGP＝∠FGC，
∴△APG∽△FCG．
∴，
∴，
∴，
由（2）知，，
∴．
∴．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形或相似三角形解决问题．
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