浙教版2023-2024学年度上学期九年级期末模拟数学试题3（含解析）

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浙教版2023-2024九年级上期末模拟试题3
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
sin30°的值为（　　）
A． B． C． D．
下列四组图形中，一定相似的是（　　）
A．正方形与矩形 B．正方形与菱形
C．菱形与菱形 D．正五边形与正五边形
抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，则朝上一面的数字为2的概率是（　　）
A． B． C． D．
如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为α，则高BC是（　　）
A．12sinα米 B．12cosα米 C．米 D．米
如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（　　）
A． B． C． D．
如图，⊙O的直径AB=6，若∠BAC=50°，则劣弧AC的长为（　　）
A．2π B． C． D．
关于二次函数，下列说法错误的是（ ）
A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点，则
B．当时，y有最小值
C．对应的函数值比最小值大7
D．当时，图象与x轴有两个不同的交点
如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝50°．E是边BC的中点，连接OE并延长，交⊙O于点D，连接BD，则∠D的大小为（　　）
A．55° B．65° C．60° D．75°
二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝﹣，且与x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）．下列结论：①abc＞0，②a＝b，③2a+c＝0，④关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是（　　）
A．①③ B．②④ C．③④ D．②③
如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E做FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC=y，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是（　　）
A． B．5 C．6 D．
2 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
一个不透明的口袋中有2个完全相同的小球，分别标号为1，2．随机摸出一个小球记录标号后放回，再随机摸出一个小球记录标号，两次摸出小球标号的和等于3的概率是 　 　．
如图，△ABC是半径为2的圆内接正三角形，则图中阴影部分的面积是　 　（结果用含π的式子表示）．
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝5，BC＝12，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，使得点D落在AC上，则tan∠ECD的值为　 　．
如图，已知锐角三角形内接于半径为2的，于点，，则________．
某快餐店销售A．B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，∠DCA=30°，AC=，AD=，则BC的长为　 　．
3 、解答题（本大题共8小题，共52分）
（1）计算：+sin245°﹣tan60°
（2）解方程：3x2+6x﹣4＝0
某市体育中考自选项目有乒乓球、篮球和羽毛球，每个考生任选一项作为自选考试项目．
（1）求考生小红和小强自选项目相同的概率．
（2）除自选项目之外，长跑和掷实心球为必考项目．小红和小强的体育中考各项成绩（百分制）的统计图表如下：
考生 自选项目 长跑 掷实心球
小红 95 90 95
小强 90 95 95
①补全条形统计图．
②如果体育中考按自选项目占50%、长跑占30%、掷实心球占20%计算成绩（百分制），分别计算小红和小强的体育中考成绩．
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）．
（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；（要求保留作图痕迹，不写作法）
（2）若的中点C到弦AB的距离为20m，AB=80m，求所在圆的半径．
如图，在四边形中，，过点D作于E，若．
（1）求证：；
（2）连接交于点，若，求DF的长．
某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．
（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
如图，二次函数（a为常数）的图象的对称轴为直线．
（1）求a的值．
（2）向下平移该二次函数的图象，使其经过原点，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
在矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，点P是边AD上一点．
（1）若BP平分∠ABD，交AE于点G，PF⊥BD于点F，如图①，证明四边形AGFP是菱形，
（2）若PE⊥EC，如图②，求证：AE AB＝DE AP，
（3）在（2）的条件下，若AB＝1，BC＝2，求AP的长．
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，抛物线经过点D（﹣2，﹣3）和点E（3，2），点P是第一象限抛物线上的一个动点．
（1）求直线DE和抛物线的表达式，
（2）在y轴上取点F（0，1），连接PF，PB，当四边形OBPF的面积是7时，求点P的坐标，
（3）在（2）的条件下，当点P在抛物线对称轴的右侧时，直线DE上存在两点M，N（点M在点N的上方），且MN＝2，动点Q从点P出发，沿P→M→N→A的路线运动到终点A，当点Q的运动路程最短时，请直接写出此时点N的坐标．
答案解析
1 、选择题
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据特殊角的三角函数值，可以求得sin30°的值．
解：sin30°=，
故选A．
【点评】本题考查特殊角三角函数值，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，要掌握特殊角度的三角函数值．　
【考点】相似图形
【分析】根据相似图形的定义和图形的性质对每一项进行分析，即可得出一定相似的图形．
解：A．正方形与矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意，
B、正方形与菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意，
C、菱形与菱形，对应边比值相等，但是对应角不一定相等，故不符合题意，
D、正五边形与正五边形，对应角相等，对应边一定成比例，符合相似的定义，故符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似形的定义，熟悉各种图形的性质和相似图形的定义是解题的关键．
【考点】概率公式
【分析】让向上一面的数字是2的情况数除以总情况数6即为所求的概率．
解：∵抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字为2的只有1种，
∴朝上一面的数字为2的概率为，
故选：A．
【点评】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【考点】解直角三角形．
【分析】直接根据∠A的正弦可得结论．
解：Rt△ABC中，sinα＝，
∵AB＝12米，
∴BC＝12sinα（米）．
故选：A．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正弦的定义是解本题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，再根据相似三角形的对应边成比例解则可．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴===．
故选：A．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和相似三角形的性质，对应边不要搞错．
【考点】弧长的计算；圆周角定理．
【分析】先连接CO，依据∠BAC=50°，AO=CO=3，即可得到∠AOC=80°，进而得出劣弧AC的长为=．
解：如图，连接CO，
∵∠BAC=50°，AO=CO=3，
∴∠ACO=50°，
∴∠AOC=80°，
∴劣弧AC的长为=，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，熟记弧长的公式是解题的关键．
【考点】二次函数的图像和性质
【分析】求出二次函数平移之后的表达式，将（4，5）代入，求出a即可判断A；将函数表达式化为顶点式，即可判断B；求出当x=2时的函数值，减去函数最小值即可判断C；写出函数对应方程的根的判别式，根据a值判断判别式的值，即可判断D.
解：A．将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，
表达式为：=，
若过点（4，5），
则，解得：a=-5，故选项正确；
B、∵，开口向上，
∴当时，y有最小值，故选项正确；
C、当x=2时，y=a+16，最小值为a-9，a+16-（a-9）=25，即对应的函数值比最小值大25，故选项错误；
D、△==9-a，当a＜0时，9-a＞0，即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，
故选C.
【点评】本题考查了二次函数的图像和性质，涉及到二次函数的基本知识点，解题的关键是掌握二次函数的性质，以及与一元二次方程的关系.
【考点】圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质
【分析】连接CD，根据圆内接四边形的性质得到∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，根据垂径定理得到OD⊥BC，求得BD＝CD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
解：连接CD，
∵∠A＝50°，
∴∠CDB＝180°﹣∠A＝130°，
∵E是边BC的中点，
∴OD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴∠ODB＝∠ODC＝∠BDC＝65°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，垂径定理，等腰三角形的性质等知识．正确理解题意是解题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，根的判别式．
【分析】根据对称轴、开口方向、与y轴的交点位置即可判断a、b、c与0的大小关系，然后将由对称轴可知a＝b．图象过（﹣2，0）代入二次函数中可得4a﹣2b+c＝0．再由二次函数最小值小于0，从而可判断ax2+bx+c＝1有两个不相同的解．
解：①由图可知：a＞0，c＜0，＜0，
∴b＞0，
∴abc＜0，故①不符合题意．
②由题意可知：＝﹣，
∴b＝a，故②符合题意．
③将（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c，
∴4a﹣2b+c＝0，
∵a＝b，
∴2a+c＝0，故③符合题意．
④由图象可知：二次函数y＝ax2+bx+c的最小值小于0，
令y＝1代入y＝ax2+bx+c，
∴ax2+bx+c＝1有两个不相同的解，故④不符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图像与系数的关系，解题的关键是正确地由图象得出a、b、c的数量关系，本题属于基础题型．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】易证△CFE∽△BEA，可得=，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题．
解：若点E在BC上时，如图
∵∠EFC+∠AEB=90°，∠FEC+∠EFC=90°，
∴∠CFE=∠AEB，∵在△CFE和△BEA中，，
∴△CFE∽△BEA，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时=，BE=CE=x﹣，即，
∴y=，当y=时，代入方程式解得：x1=（舍去），x2=，
∴BE=CE=1，∴BC=2，AB=，
∴矩形ABCD的面积为2×=5；
故选B．
【点评】本题考查了二次函数顶点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．　
2 、填空题
【考点】列表法与树状图法．
【分析】用列表法或画树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两次摸出小球标号的和等于3的结果，再利用概率公式求出即可．
解：画树状图如下：
一共有4种等可能的情况，其中两次摸出小球标号的和等于3有2种可能，
∴P（两次摸出小球标号的和等于3）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查列举法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
【考点】等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算
【分析】利用正三角形的性质，由它的内接圆半径可求出它的高和边，再用圆的面积减去三角形的面积即可．
解：如图，点O既是它的外心也是其内心，
∴OB=2，∠1=30°，
∴OD=OB=1，BD=，
∴AD=3，BC=2，
∴S△ABC=×2×3=3；
而圆的面积=π×22=4π，
所以阴影部分的面积=4π﹣3，
故答案为：4π﹣3．
【点评】本题考查的是正多边形和圆、特殊角的三角函数值及三角形的面积、圆的面积公式等知识，熟练掌握正三角形的性质，特别是它的外心，内心，重心，垂心重合．记住正三角形的内切圆半径，外接圆半径和它的高的比（1：2：3）是解题的关键．
【考点】旋转的性质，解直角三角形
【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，所以CD＝8．在Rt△CED中根据tan∠ECD＝计算结果．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC＝13．
根据旋转性质可得AE＝13，AD＝5，DE＝12，
∴CD＝8．
在Rt△CED中，tan∠ECD＝＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了旋转的性质以及解直角三角形，难度较小，求出所求三角函数值的直角三角形的对应边长度，根据线段比就可解决问题．
【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形，圆周角定理，三角形的外接圆与外心
【分析】连接OB和OC，根据圆周角定理得出∠BOC的度数，再依据等腰三角形的性质得到∠BOD的度数，结合直角三角形的性质可得OD.
解：连接OB和OC，
∵△ABC内接于半径为2的圆O，∠BAC=60°，
∴∠BOC=120°，OB=OC=2，
∵OD⊥BC，OB=OC，
∴∠BOD=∠COD=60°，
∴∠OBD=30°，
∴OD=OB=1，
故答案为：1.
【点评】本题考查了圆周角定理，三角形外接圆的性质，等腰三角形三线合一，30°的直角三角形的性质，解题时需要添加辅助线，从而运用圆周角定理.
【考点】二次函数的应用
【分析】根据题意，总利润=快餐的总利润＋快餐的总利润，而每种快餐的利润=单件利润×对应总数量，分别对两份快餐前后利润和数量分析，代入求解即可．
解：设种快餐的总利润为，种快餐的总利润为，两种快餐的总利润为，设快餐的份数为份，则B种快餐的份数为份．
据题意：
∴
∵
∴当的时候，W取到最大值1264，故最大利润为1264元
故答案为：1264
【点评】本题考查的是二次函数的应用，正确理解题意、通过具体问题找到变化前后的关系是解题关键点．
【考点】含30度角的直角三角形；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【分析】作辅助线，构建直角三角形，设DE=x，先根据直角三角形30度角的性质和
勾股定理得：x的值，分情况根据三角形相似列比例式计算可得BC的长．
解：过D作DE⊥AC于E，
设DE=x，
∵∠ACD=30°，
∴CE=x，AE=，
Rt△ADE中，由勾股定理得：AD2=DE2+AE2，
，
18x2﹣27x+10=0，
（3x﹣2）（6x﹣5）=0，
x1=，x2=，
①当x=时，∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∴，
∴BC=2；
②当x=时，同理得：，
BC=5，
综上，BC的长为2或5；
故答案为：2或5．
【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定、直角三角形30度角的性质及勾股定理，熟练运用勾股定理计算线段的长是关键．
3 、解答题
【考点】实数的混合运算，特殊角的三角函数值，解一元二次方程
【分析】（1）根据特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案；
（2）根据一元二次方程的解法即可求出答案．
解：（1）原式＝+(﹣)＝；
（2）∵3x2+6x﹣4＝0，
∴a＝3，b＝6，c＝﹣4，
∴△＝36+4×3×4＝84，
∴x＝＝
【点评】本题考查了锐角的三角函数值和一元二次方程的解法，熟记锐角的三角函数值和掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键.
【考点】用列表法求概率，条形统计图，加权平均数
【分析】（1）用列表法求概率即可；
（2）①根据统计表补全条形统计图；②用加权平均数分别计算出小红和小强的成绩即可．
解：（1）根据题意小红和小强自选项目情况如下表所示：
乒乓球 篮球 羽毛球
乒乓球 乒乓球，乒乓球 篮球，乒乓球 羽毛球，乒乓球
篮球 乒乓球，篮球 篮球，篮球 羽毛球，篮球
羽毛球 乒乓球，羽毛球 篮球，羽毛球 羽毛球，羽毛球
由上表可知，小红和小强自选项目选择方式有9种情况，小红和小强自选项目相同的情况有
3种，故小红和小强自选项目相同的概率为；
（2）①补全条形统计图如图所示：
②小红的体育中考成绩为：95×50%+90×30%+95×20%=93.5；
小强的体育中考成绩为：90×50%+95×30%+95×20%=92.5；
答：小红和小强的成绩分别为93.5和92.5．
【点评】本题主要考查了用列表法求概率、画条形统计图以及加权平均数等知识点，灵活应用相关知识成为解答本题的关键．
【考点】作图-复杂作图，勾股定理，垂径定理
【分析】（1）连结AC、BC，分别作AC和BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为 ABAB^的中点得到OC⊥AB，AD=BD=1212AB=40，则CD=20，设⊙O的半径为r，在Rt△OAD中利用勾股定理得到r2=（r-20）2+402，然后解方程即可．
解：（1）如图1，
点O为所求；
（2）连接OA，OC，OC交AB于D，如图2，
∵C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AD=BD=1212AB=40，
设⊙O的半径为r，则OA=r，OD=OD-CD=r-20，
在Rt△OAD中，∵OA2=OD2+AD2，
∴r2=（r-20）2+402，解得r=50，
即所在圆的半径是50m．
【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法；解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了勾股定理和垂径定理．
【考点】全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理
【分析】（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，证明四边形BEDG为正方形，得到条件证明△ADE≌△CDG，可得AD=CD；
（2）根据∠ADE=30°，AD=6，得到AE，DE，从而可得BE，BG，设DF=x，证明△AEF∽△ABC，得到比例式，求出x值即可．
解：（1）过D作BC的垂线，交BC的延长线于点G，连接BD，
∵∠DEB=∠ABC=∠G=90°，DE=BE，
∴四边形BEDG为正方形，
∴BE=DE=DG，∠BDE=∠BDG=45°，
∵∠ADC=90°，即∠ADE+∠CDE=∠CDG+∠CDE=90°，
∴∠ADE=∠CDG，又DE=DG，∠AED=∠G=90°，
∴△ADE≌△CDG（ASA），
∴AD=CD；
（2）∵∠ADE=30°，AD=6，
∴AE=CG=3，DE=BE==，
∵四边形BEDG为正方形，
∴BG=BE=，
BC=BG-CG=-3，
设DF=x，则EF=-x，
∵DE∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴，即，
解得：x=，
即DF的长为．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
【分析】（1）由已知直接可得答案，
（2）设AD＝xm，可得CD＝AD＝xm，BD＝（20+x）m，而tan∠ABD＝，有0.75＝，即可解得答案．
解：（1）根据题意得：β＝90°﹣α，
（2）设AD＝xm，
∵∠ACD＝45°，∠ADB＝90°，
∴CD＝AD＝xm，
∵BC＝20m，
∴BD＝（20+x）m，
在Rt△ABD中，tan∠ABD＝，
∴tan37°＝，即0.75＝，
解得：x＝60，
∴AD＝60（m），
答：气球A离地面的高度AD是60m．
【点评】本题考查解直角三角形﹣仰角俯角问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．
【考点】二次函数的图象与性质,二次函数图象与几何变换,待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）把二次函数化为一般式，再利用对称轴：，列方程解方程即可得到答案；
（2）由（1）得：二次函数的解析式为：，再结合平移后抛物线过原点，则 从而可得平移方式及平移后的解析式．
解：（1）．
∵图象的对称轴为直线，
∴，
∴．
（2）∵，
∴二次函数的表达式为，
∴抛物线向下平移3个单位后经过原点，
∴平移后图象所对应的二次函数的表达式为．
【点评】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图像的平移，熟练掌握二次函数的基础知识是解题的关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）想办法证明AG＝PF，AG∥PF，推出四边形AGFP是平行四边形，再证明PA＝PF即可解决问题．
（2）证明△AEP∽△DEC，可得＝，由此即可解决问题．
（3）利用（2）中结论．求出DE，AE即可．
（1）证明：如图①中，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝90°，
∴∠BAE+∠EAD＝90°，∠EAD+∠ADE＝90°，
∴∠BAE＝∠ADE，
∵∠AGP＝∠BAG+∠ABG，∠APD＝∠ADE+∠PBD，∠ABG＝∠PBD，
∴∠AGP＝∠APG，
∴AP＝AG，
∵PA⊥AB，PF⊥BD，BP平分∠ABD，
∴PA＝PF，
∴PF＝AG，
∵AE⊥BD，PF⊥BD，
∴PF∥AG，
∴四边形AGFP是平行四边形，
∵PA＝PF，
∴四边形AGFP是菱形．
（2）证明：如图②中，
∵AE⊥BD，PE⊥EC，
∴∠AED＝∠PEC＝90°，
∴∠AEP＝∠DEC，
∵∠EAD+∠ADE＝90°，∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠EAP＝∠EDC，
∴△AEP∽△DEC，
∴＝，
∵AB＝CD，
∴AE AB＝DE AP，
（3）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC＝AD＝2，∠BAD＝90°，
∴BD＝＝，
∵AE⊥BD，
∴S△ABD＝ BD AE＝ AB AD，
∴AE＝，
∴DE＝＝，
∵AE AB＝DE AP，
∴AP＝＝．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）将点D、E的坐标代入函数表达式，即可求解，
（2）S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO，即可求解，
（3）过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，即可求解．
解：（1）将点D、E的坐标代入函数表达式得：，解得：，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+2，
同理可得直线DE的表达式为：y＝x﹣1…①，
（2）如图1，连接BF，过点P作PH∥y轴交BF于点H，
将点FB代入一次函数表达式，
同理可得直线BF的表达式为：y＝﹣x+1，
设点P（x，﹣x2+x+2），则点H（x，﹣x+1），
S四边形OBPF＝S△OBF+S△PFB＝×4×1+×PH×BO＝2+2（﹣x2+x+2+x﹣1）＝7，
解得：x＝2或，
故点P（2，3）或（，），
（3）当点P在抛物线对称轴的右侧时，点P（2，3），
过点M作A′M∥AN，过作点A′直线DE的对称点A″，连接PA″交直线DE于点M，此时，点Q运动的路径最短，
∵MN＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A′（1，2），
A′A″⊥DE，则直线A′A″过点A′，则其表达式为：y＝﹣x+3…②，
联立①②得x＝2，则A′A″中点坐标为（2，1），
由中点坐标公式得：点A″（3，0），
同理可得：直线A″P的表达式为：y＝﹣3x+9…③，
联立①③并解得：x＝，即点M（，），
点M沿ED向下平移2个单位得：N（，﹣）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，其中（3），通过平移和点的对称性，确定点Q运动的最短路径，是本题解题的关键．
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