浙教版2023-2024学年度上学期九年级期末模拟数学试题1（含解析）

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浙教版2023-2024九年级上期末模拟试题1
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
下列成语描述的事件为随机事件的是（　　）
A．水涨船高 B．守株待兔 C．水中捞月 D．缘木求鱼
二次函数的图象的对称轴是（ ）
A． B． C． D．
我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合如图，其大意是：今有圆形材质，直径BD为25寸，要做成方形板材，使其厚度CD达到7寸．则BC的长是（　　）
A．寸 B．25寸 C．24寸 D．7寸
下列运算结果正确的是（　　）
A．3a3 2a2=6a6 B．（﹣2a）2=﹣4a2 C．tan45°= D．cos30°=
如图，过P点的两直线将矩形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个矩形，其中P在AC上，且AP：PC＝AD：AB＝4：3，下列对于矩形是否相似的判断，何者正确（　　）
A．甲、乙不相似 B．甲、丁不相似 C．丙、乙相似 D．丙、丁相似
如图，△ABC内接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，则的长为（　　）
A．π B．π C．2π D．2π
如图，为了测量山坡护坡石坝的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度），把一根长5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出杆长1m处的D点离地面的高度DE=0.6m，又量得杆底与坝脚的距离AB=3m，则石坝的坡度为（　　）
A． B．3 C． D．4
如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的一个交点为（3，0），对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　　）
A．abc＜0 B．2a+b＝0
C．4ac＞b2 D．点（﹣2，0）在函数图象上
如图，菱形ABCD的顶点B、C在x轴上（B在C的左侧），顶点A．D在x轴上方，对角线BD的长是，点E（﹣2，0）为BC的中点，点P在菱形ABCD的边上运动．当点F（0，6）到EP所在直线的距离取得最大值时，点P恰好落在AB的中点处，则菱形ABCD的边长等于（　　）
A． B． C． D．3
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，在△DEF中，DE＝DF＝5，EF＝8，BC与EF在同一条直线上，点C与点E重合．△ABC以每秒1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC停止运动．设运动时间为t秒，△ABC与△DEF重叠部分的面积为S，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
2 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是y＝﹣（x﹣10）（x+4），则铅球推出的距离OA＝　 　m．
如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点为圆心，为半径画弧交于点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果不取近似值）
在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形．如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中．面积最大的三角形的斜边长是_____．
有9张卡片，分别写有这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，
记卡片上的数字为a，则关于x的不等式组有解的概率为_________.
如图，作的任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为______；
已知半径为2的⊙O中，弦AC=2，弦AD=2，则∠COD的度数为　 　．
3 、解答题（本大题共8小题，共52分）
先化简，再求值：（＋1）÷，其中x＝tan60°．
为庆祝中国共产党成立100周年，某校举行党史知识竞赛活动．赛后随机抽取了部分学生的成绩，按得分划分为A．B、C、D四个等级，并绘制了如下不完整的统计表和统计图．
等级 成绩（x） 人数
A 15
B a
C 18
D 7
根据图表信息，回答下列问题：
（1）表中__________；扇形统计图中，C等级所占的百分比是_________；D等级对应的扇形圆心角为________度；若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，请估计成绩为A等级的学生共有_______人．
（2）若95分以上的学生有4人，其中甲、乙两人来自同一班级，学校将从这4人中随机选出两人参加市级比赛，请用列表或树状图法求甲、乙两人至少有1人被选中的概率
如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E．点C是弧BF的中点．
（1）求证：AD⊥CD；
（2）若∠CAD=30°．⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE--EC--弧CB爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数．)
如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线对应的函数解析式，并直接写出顶点P的坐标，
（2）求△BCP的面积．
注：注抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x＝﹣，顶点坐标是（，）．
如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED=∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若，求的值．
某挖掘机的底座高AB＝0.8米，动臂BC＝1.2米，CD＝1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD＝140°．初始位置如图1，斗杆顶点D与铲斗顶点E所在直线DE垂直地面AM于点E，测得∠CDE＝70°（示意图2）．工作时如图3，动臂BC会绕点B转动，当点A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D升至最高点（示意图4）．
（1）求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC的度数．
（2）问斗杆顶点D的最高点比初始位置高了多少米？（精确到0.1米）
（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，≈1.73）
如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF、ON于点B、点C，连接AB、PB．
（1）如图1，当P、Q两点都在射线ON上时，请直接写出线段AB与PB的数量关系；
（2）如图2，当P、Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在（1）中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，∠MON=60°，连接AP，设=k，当P和Q两点都在射线ON上移动时，k是否存在最小值？若存在，请直接写出k的最小值；若不存在，请说明理由．
在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接，在抛物线上是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，交y轴于点E，点M是线段上的动点（不与点A，点D重合），将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，请直接写出线段的长．
答案解析
1 、选择题
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行解答即可．
解：水涨船高是必然事件，A不正确；
守株待兔是随机事件，B正确；
水中捞月是不可能事件，C不正确
缘木求鱼是不可能事件，D不正确；
故选：B．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．　
【考点】二次函数的性质
【分析】将二次函数写成顶点式，进而可得对称轴．
解：．
二次函数的图象的对称轴是．
故选A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，将一般式转化为顶点式是解题的关键．
【考点】圆周角定理，勾股定理．
【分析】首先根据直径所对的圆周角是直角得∠BCD＝90°，然后再Rt△BCD中利用勾股定理即可求出BC的长．
解：依题意得：BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，BD＝25寸，CD＝7寸，
由勾股定理得：．
∴CD的长为24寸．
故选：C．
【点评】此题主要考查了圆周角定理，勾股定理的应用，解答此题的关键是理解直径所对的圆周角是直角．
【考点】幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式；特殊角的三角函数值
【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值进行计算．
解：A．原式=6a5，故本选项错误；
B、原式=4a2，故本选项错误；
C、原式=1，故本选项错误；
D、原式=，故本选项正确．
故选：D．
【点评】考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、特殊角的三角函数值，属于基础计算题．
【考点】相似图形
【分析】根据矩形的性质以及已知条件AP：PC＝AD：AB＝4：3，求得结果，采用排除法，得出正确答案．
解：∵AP：PC＝AD：AB＝4：3，AD∥BC，
∴＝＝＝，
∴甲与丁相似，故选项B错误，
∵当＝，
AM＝EP，
∴甲与丙一定不相似，∴丙和丁不相似，故选项D错误，
∵＝，＝，DM＝PF，
∴当＝，MP＝AE，
∴甲与乙一定不相似，故选项A正确，
无法确定丙、乙是否相似，故选项C错误，
故选：A．
【点评】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
【考点】圆周角定理，三角形的外接圆与外心，弧长的计算
【分析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解决问题．
解：连接OB，OC．
∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∵BC＝2，
∴OB＝OC＝2，
∴的长为＝π，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理，弧长公式，等腰直角三角形的性质的等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】先过C作CF⊥AB于F，根据DE∥CF，可得=，进而得出CF=3，根据勾股定理可得AF的长，根据CF和BF的长可得石坝的坡度．
解：如图，过C作CF⊥AB于F，则DE∥CF，
∴=，即=，
解得CF=3，
∴Rt△ACF中，AF==4，
又∵AB=3，
∴BF=4﹣3=1，
∴石坝的坡度为==3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了坡度问题，在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．
【考点】二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点．
【分析】利用二次函数的图象与系数的关系可得出，a、b、c的正负，进而得出abc的正负，利用对称轴为直线x＝1，可得出2a+b与0的关系，由抛物线与x轴的交点情况，可得出b2与4ac的大小关系，由抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），再结合对称轴为直线x＝1，可得出另一个交点坐标．
解：A：由二次函数的图形可知：a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A错误．
B：因为二次函数的对称轴是直线x＝1，则＝1，即2a+b＝0．故B正确．
C：因为抛物线与x轴有两个交点，所以b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2．故C错误．
D：因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），且对称轴为直线x＝1，所以它与x轴的另一个交点的坐标为（﹣1，0）．故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与各项系数的关系，正确求得a，b，c的正负以及巧妙利用抛物线的对称轴是解决问题的关键．
【考点】坐标与图形性质，菱形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短
【分析】如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．首先说明点G与点F重合时，FG的值最大，如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．利用相似三角形的性质构建方程求解即可．
解：如图1中，当点P是AB的中点时，作FG⊥PE于G，连接EF．
∵E（﹣2，0），F（0，6），
∴OE＝2，OF＝6，
∴EF＝＝2，
∵∠FGE＝90°，
∴FG≤EF，
∴当点G与E重合时，FG的值最大．
如图2中，当点G与点E重合时，连接AC交BD于H，PE交BD于J．设BC＝2a．
∵PA＝PB，BE＝EC＝a，
∴PE∥AC，BJ＝JH，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BH＝DH＝，BJ＝，
∴PE⊥BD，
∵∠BJE＝∠EOF＝∠PEF＝90°，
∴∠EBJ＝∠FEO，
∴△BJE∽△EOF，
∴＝，
∴＝，
∴a＝，
∴BC＝2a＝，
故选：A．
【点评】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，相似三角形的判定和性质，垂线段最短等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】分0≤t＜4，4＜t≤8，8≤t＜12三种情况，分别求出函数解析即可判断，
解：过点D作DH⊥CB于H，
∵DE＝DF＝5，EF＝8，
∴EH＝FH＝EF＝4，
∴DH＝＝3，
当0≤t＜4时，
如图，重叠部分为△EPQ，此时EQ＝t，PQ∥DH，
∴△EPQ∽△EDH，
∴，即，
∴PQ＝t，
∴S＝＝2，
当4≤t＜8时，
如图，重叠部分为四边形POC′B′，此时BB′＝CC′＝t，PB∥DE．
∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，FC＝8﹣t，
∵PB∥DE，
∴△PBF∽△DCF，
∴，
又S△DCF＝，
∴，
∵DH⊥BC．∠AB′C′＝90°，
∴AC′∥DH，
∴△C′QF∽△HFD．
∴，即，
∴，
∴S＝S△PB′F﹣S△C′QF＝＝，
当8≤1＜12时
如图，重叠部分为四边形△PFB′，此时BB′＝CC′＝t，PB′∥DE．
∴B′F＝BC+CF﹣BB′＝12﹣t，
∵PB′∥DE．
∴△PB′F∽△DCF，
∴，即，
∴，S＝S△PB′F＝，
综上，
∴符合题意的函数图象是选项A．
故选：A．
【点评】此题结合图象平移时面积的变化规律，考查二次函数相关知识，根据平移点的特点列出函数表达式是关键，有一定难度．
2 、填空题
【考点】二次函数的应用．
【分析】令y＝0，得到关于x的方程，解方程即可得出结论．
解：令y＝0，则﹣（x﹣10）（x+4）＝0，
解得：x＝10或x＝﹣4（不合题意，舍去），
∴A（10，0），
∴OA＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质和利用点的坐标表示出相应线段的线段是解题的关键．
【考点】圆周角定理，扇形面积的计算
【分析】根据60°特殊角求出AC和BC,再算出△ABC的面积,根据扇形面积公式求出扇形的面积,再用三角形的面积减去扇形面积即可．
解：∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴BC=,AC=,
∴,
由以上可知∠CAB=30°,
∴扇形ACD的面积=,
∴阴影部分的面积为．
故答案为: ．
【点评】本题考查圆和扇形面积的结合,关键在于利用圆周角的性质找到直角三角形并结合扇形面积公式解出．
【考点】作图-应用与设计，相似三角形的判定与性质，勾股定理
【分析】根据相似三角形的性质确定两直角边的比值为1：2，以及6×6网格图形中，最长线段为6，进行尝试，可确定、、为边的这样一组三角形满足条件．
解：∵在Rt△ABC中，AC=1，BC=2，
∴AB=，AC：BC=1：2，
∴与Rt△ABC相似的格点三角形的两直角边的比值为1：2，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在6×6网格图形中，最长线段为6，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出DE=，EF=2，DF=5的三角形，
∵===，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠DEF=∠C=90°，
∴此时△DEF的面积为：×2÷2=10，△DEF为面积最大的三角形，其斜边长为：5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了作图-应用与设计、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
【考点】不等式组的解集，概率公式
【分析】首先解不等式，进而利用不等式组有解得出a的取值范围，即可利用概率公式得出答案．
解：设不等式有解，则不等式组的解为，
那么必须满足条件，，
∴满足条件的a的值为6,7,8,9，
∴有解的概率为
【点评】此题主要考查了不等式的解集以及概率公式，正确得出a的值是解题关键．
【考点】扇形面积的计算
【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设⊙O的半径与等边三角形的边长为，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解
解：连接，，，，
由题可得：
为边长相等的等边三角形
可将图中阴影部分的面积转化为和的面积之和，如图所示：
设⊙O的半径与等边三角形的边长为，
⊙O的面积为
等边与等边的边长为
⊙O的面积与阴影部分的面积比为
故答案为：．
【点评】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规则图形的面积是解题关键．
【考点】垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，圆周角定理
【分析】连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，由OA=OC=AC可得出∠OAC=60°，再根据垂径定理结合勾股定理可得出AE=OE，即∠OAD=45°，利用角的计算结合圆周角与圆心角间的关系，即可求出∠COD的度数．
解：连接OC，过点O作OE⊥AD于点E，如图所示．
∵OA=OC=AC，
∴∠OAC=60°．
∵AD=2，OE⊥AD，
∴AE=，OE==，
∴∠OAD=45°，
∴∠CAD=∠OAC+∠OAD=105°或∠CAD=∠OAC﹣∠OAD=15°，
∴∠COD=360°﹣2×105°=150°或∠COD=2×15°=30°．
故答案为：150°或30°．
【点评】本题考查了垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定与性质以及圆周角定理，依照题意画出图形，利用数形结合解决问题是解题的关键．
3 、解答题
【考点】分式的化简求值，特殊角的三角函数值
【分析】先把括号内的分式通分，再把各分子和分母因式分解，然后进行约分化简，代入求值即可．
解：原式＝÷
＝×
＝．
x＝tan60°＝，代入得：原式＝＝1＋．
【点评】本题考查了分式的化简求值，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
【考点】统计表,扇形统计图,列表法与树状图法
【分析】（1）先由A等级的圆心角度数和人数，求出样本总数，作差即可得到a的值，再根据C和D占总人数的比例，求出百分比或圆心角度数，利用样本估计总体的方法求出全校成绩为A等级的人数；
（2）先列出表格，将所有情况列举，利用概率公式即可求解．
解：（1）总人数为人，
∴，
C等级所占的百分比，
D等级对应的扇形圆心角，
若全校共有1800名学生参加了此次知识竞赛活动，成绩为A等级的学生共有人；
（2）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 甲乙 乙丙 乙丁
丙 甲丙 乙丙 丙丁
丁 甲丁 乙丁 丙丁
共有12种情况，其中甲、乙两人至少有1人被选中的有10种，
∴P(甲、乙两人至少有1人被选中)．
【点评】本题考查统计与概率，能够从扇形统计图和统计表中获取相关信息是解题的关键．
【考点】切线的性质，弧长的计算
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；
（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．
解：（1）连接OC．
∵直线CD与⊙O相切，
∴OC⊥CD．
∵点C是的中点，
∴∠DAC=∠EAC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠EAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴OC∥AD，
∴AD⊥CD；
（2）∵∠CAD=30°，
∴∠CAE=∠CAD=30°，由圆周角定理得：∠COE=60°，
∴OE=2OC=6，EC=OC=3==π，
∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．
【点睛】本题考查的是切线的性质、弧长的计算，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径、弧长公式是解题的关键．
【考点】抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式．
【分析】（1）直接运用待定系数法即可求解．
（2）连接OP，用割补求解即可．
解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴P（，﹣），
（2）连接OP，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4），P（，﹣），
∴S△OPC＝＝3，
S△BOP＝＝，
S△BOC＝＝8，
∴S△BPC＝S△OPC+S△BOP﹣S△BOC＝3+﹣8＝．
【点评】本题考查二次函数的图象性质和三角形的面积，学会灵活求三角形的面积是解题关键．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）欲证明△ADF∽△ACG，由可知，只要证明∠ADF=∠C即可．
（2）利用相似三角形的性质得到=，由此即可证明．
（1）证明：∵∠AED=∠B，∠DAE=∠DAE，
∴∠ADF=∠C，
∵=，
∴△ADF∽△ACG．
（2）解：∵△ADF∽△ACG，
∴=，
又∵=，
∴=，
∴=1．
【点评】本题考查相似三角形的性质和判定、三角形内角和定理等知识，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题中考常考题型．　
【考点】解直角三角形的应用
【分析】（1）过点C作CG⊥AM于点G，证明AB∥CG∥DE，再根据平行线的性质求得结果，
（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，通过解直角三角形求得DE，
过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，如图3，通过解直角三角形求得求得DH，最后便可求得结果．
解：（1）过点C作CG⊥AM于点G，如图1，
∵AB⊥AM，DE⊥AM，
∴AB∥CG∥DE，
∴∠DCG＝180°﹣∠CDE＝110°，
∴BCG＝∠BCD﹣∠GCD＝30°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BCG＝150°，
（2）过点C作CP⊥DE于点P，过点B作BQ⊥DE于点Q，交CG于点N，如图2，
在Rt△CPD中，DP＝CP×cos70°≈0.51（米），
在Rt△BCN中，CN＝BC×cos30°≈1.04（米），
所以，DE＝DP+PQ+QE＝DP+CN+AB＝2.35（米），
如图3，过点D作DH⊥AM于点H，过点C作CK⊥DH于点K，
在Rt△CKD中，DK＝CD×cos50°≈1.16（米），
所以，DH＝DK+KH＝3.16（米），
所以，DH﹣DE＝0.8（米），
所以，斗杆顶点D的最高点比初始位置高了0.8米．
【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，充分体现了数学与实际生活的密切联系，解题的关键是正确构造直角三角形．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）结论：AB=PB．连接BQ，只要证明△AOB≌△PQB即可解决问题；
（2）存在．证明方法类似（1）；
（3）连接BQ．只要证明△ABP∽△OBQ，即可推出=，由∠AOB=30°，推出当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，由此即可解决问题；
解：（1）连接：AB=PB．
理由：如图1中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，
∴∠AOB=∠BQO，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（2）存在，
理由：如图2中，连接BQ．
∵BC垂直平分OQ，
∴BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO，
∵OF平分∠MON，∠BOQ=∠FON，
∴∠AOF=∠FON=∠BQC，
∴∠BQP=∠AOB，
∵OA=PQ，
∴△AOB≌△PQB，
∴AB=PB．
（3）连接BQ．
易证△ABO≌△PBQ，
∴∠OAB=∠BPQ，AB=PB，
∵∠OPB+∠BPQ=180°，
∴∠OAB+∠OPB=180°，∠AOP+∠ABP=180°，
∵∠MON=60°，
∴∠ABP=120°，
∵BA=BP，
∴∠BAP=∠BPA=30°，
∵BO=BQ，
∴∠BOQ=∠BQO=30°，
∴△ABP∽△OBQ，
∴=，
∵∠AOB=30°，
∴当BA⊥OM时，的值最小，最小值为0.5，
∴k=0.5．
【点评】本题考查相似综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据点A和点C的坐标，利用待定系数法求解；
（2）在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，构造出∠PBC=∠BDE，分点P在第三象限时，点P在x轴上方时，点P在第四象限时，共三种情况分别求解；
（3）设EF与AD交于点N，分点F在直线AC上方和点F在直线AC下方时两种情况，利用题中所给面积关系和中线的性质可得MN=AN，FN=NE，从而证明四边形FMEA为平行四边形，继而求解．
解：（1）∵抛物线经过点A（-2，-4）和点C（2，0），
则，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）存在，理由是：
在x轴正半轴上取点E，使OB=OE，过点E作EF⊥BD，垂足为F，
在中，
令y=0，解得：x=2或-1，
∴点B坐标为（-1，0），
∴点E坐标为（1，0），
可知：点B和点E关于y轴对称，
∴∠BDO=∠EDO，即∠BDE=2∠BDO，
∵D（0，2），
∴DE==BD，
在△BDE中，有×BE×OD=×BD×EF，
即2×2=×EF，解得：EF=，
∴DF==，
∴tan∠BDE===，
若∠PBC=2∠BDO，
则∠PBC=∠BDE，
∵BD=DE=，BE=2，
则BD2+DE2＞BE2，
∴∠BDE为锐角，
当点P在第三象限时，
∠PBC为钝角，不符合；
当点P在x轴上方时，
∵∠PBC=∠BDE，设点P坐标为（c，），
过点P作x轴的垂线，垂足为G，
则BG=c+1，PG=，
∴tan∠PBC===，
解得：c=，
∴=，
∴点P的坐标为（，）；
当点P在第四象限时，
同理可得：PG=，BG=c+1，
tan∠PBC===，
解得：c=，
∴=，
∴点P的坐标为（，），
综上：点P的坐标为（，）或（，）；
（3）设EF与AD交于点N，
∵A（-2，-4），D（0，2），设直线AD表达式为y=mx+n，
则，解得：，
∴直线AD表达式为y=3x+2，
设点M的坐标为（s，3s+2），
∵A（-2，-4），C（2，0），设直线AC表达式为y=m1x+n1，
则，解得：，
∴直线AC表达式为y=x-2，
令x=0，则y=-2，
∴点E坐标为（0，-2），
可得：点E是线段AC中点，
∴△AME和△CME的面积相等，
由于折叠，
∴△CME≌△FME，即S△CME=S△FME，
由题意可得：
当点F在直线AC上方时，
∴S△MNE=S△AMC=S△AME=S△FME，
即S△MNE= S△ANE= S△MNF，
∴MN=AN，FN=NE，
∴四边形FMEA为平行四边形，
∴CM=FM=AE=AC==，
∵M（s，3s+2），
∴，
解得：s=或0（舍），
∴M（，），
∴AM==，
当点F在直线AC下方时，如图，
同理可得：四边形AFEM为平行四边形，
∴AM=EF，
由于折叠可得：CE=EF，
∴AM=EF=CE=，
综上：AM的长度为或．
【点评】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法，二次函数的图像和性质，折叠问题，平行四边形的判定和性质，中线的性质，题目的综合性很强．难度很大，对学生的解题能力要求较高．
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