浙教版2023-2024学年度上学期九年级期末模拟数学试题2（含解析）

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浙教版2023-2024九年级上期末模拟试题2
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）
在某市组织的物理实验操作考试中，考试所用实验室共有24个测试位，分成6组，同组4个测试位各有一道相同试题，各组的试题不同，分别标记为A，B，C，D，E，F，考生从中随机抽取一道试题，则某个考生抽到试题A的概率为（　　）
A． B． C． D．
如图。在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点.的顶点都在格点上,则的正弦值是__________．
如图，现要在抛物线上找点，针对的不同取值，所找点的个数，三人的说法如下，
甲：若，则点的个数为0；
乙：若，则点的个数为1；
丙：若，则点的个数为1．
下列判断正确的是（ ）
A．乙错，丙对 B．甲和乙都错
C．乙对，丙错 D．甲错，丙对
如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（ ）
A．200tan70°米 B．米 C．200sin70°米 D． 米
对于二次函数，有以下结论：①当时，y随x的增大而增大；②当时，y有最小值3；③图象与x轴有两个交点；④图象是由抛物线向左平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的．其中结论正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
如图，⊙A过点O（0，0），C（，0），D（0，1），点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是（　　）
A．15° B．30° C．45° D．60°
如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）
A．cm B． cm C． cm D． 4cm
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6．点F是AB中点，连接CF，把线段CF沿射线BC方向平移到DE，点D在AC上．则线段CF在平移过程中扫过区域形成的四边形CFDE的周长和面积分别是（　　）
A．16，6 B．18，18 C．16，12 D．12，16
如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别为BC、CD的中点，BF、DE相交于点G，过点E作EH∥CD，交BF于点H，则线段GH的长度是（　　）
A． B．1 C． D．
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O
其中正确的是（　　）
A．①③ B． 只有② C． ②④ D． ③④
2 、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
现有下列长度的五根木棒：3，5，8，10，13，从中任取三根，可以组成三角形的概率为________．
将圆心角为，半径为的扇形围成一个圆锥的侧面，那么围成的这个圆锥的高为_______．
已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+3，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，则a的值为 　 　．
如图，四边形ABCD是边长为的正方形，曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的．其中，弧DA1的圆心为A，半径为AD，弧A1B1的圆心为B，半径为BA1，弧B1C1的圆心为C，半径为CB1，弧C1D1的圆心为D，半径为DC1…．弧DA1、弧A1B1、弧B1C1、弧C1D1…的圆心依次按点A．B、C、D循环，则弧C2022D2022的长是 　 　（结果保留π）．
如图（1），PT与⊙O1相切于点T，PAB与⊙O1相交于A．B两点，可证明△PTA∽△PBT，从而有PT2=PA PB．请应用以上结论解决下列问题：如图（2），PAB、PCD分别与⊙O2相交于A．B、C、D四点，已知PA=2，PB=7，PC=3，则CD=　　　　　　．
数学小组研究如下问题：遵义市某地的纬度约为北纬28°，求北纬28°纬线的长度．
小组成员查阅相关资料，得到如下信息：
信息一：如图1，在地球仪上，与赤道平行的圆圈叫做纬线，
信息二：如图2，赤道半径OA约为6400千米，弦BC∥OA，以BC为直径的圆的周长就是北纬28°纬线的长度，
（参考数据：π≈3，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）
根据以上信息，北纬28°纬线的长度约为 　 　千米．
3 、解答题（本大题共8小题，共52分）
计算：
某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次一共抽样调查了 　 　名学生，
（2）将条形统计图补充完整，
（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数，
（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．
如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点，，的坐标分别为，，，先以原点为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为2：1，然后再把绕原点逆时针旋转90°得到．
（1）画出，并直接写出点的坐标；
（2）画出，直接写出在旋转过程中，点到点所经过的路径长．
如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于点D，连结DC、DA．OA．OC，
四边形OADC为平行四边形．
（1）求证：△BOC≌△CDA；
（2）若AB=2，求阴影部分的面积．
农技人员对培育的某一品种桃树进行研究，发现桃子成熟后一棵树上每个桃子质量大致相同．以每棵树上桃子的数量x（个）为横坐标、桃子的平均质量y（克/个）为纵坐标，在平面直角坐标系中描出对应的点，发现这些点大致分布在直线AB附近（如图所示）．
（1）求直线AB的函数关系式；
（2）市场调研发现：这个品种每个桃子的平均价格w（元）与平均质量y（克/个）满足函数表达式w＝y+2．在（1）的情形下，求一棵树上桃子数量为多少时，该树上的桃子销售额最大？
如图，山坡上有一棵竖直的树AB，坡面上点D处放置高度为1.6m的测倾器CD，测倾器的顶部C与树底部B恰好在同一水平线上（即BC//MN），此时测得树顶部A的仰角为50°．已知山坡的坡度i＝1∶3（即坡面上点B处的铅直高度BN与水平宽度MN的比），求树AB的高度（结果精确到0.1m．参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F， 已知OB=8．
（1）求证：四边形AEFD为菱形．
（2）求四边形AEFD的面积．
（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P， Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．
已知抛物线y＝x2+bx+c与x轴相交于A（﹣1，0），B两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．
（1）求b，c的值，
（2）P为第一象限抛物线上一点，△PBC的面积与△ABC的面积相等，求直线AP的解析式，
（3）在（2）的条件下，设E是直线BC上一点，点P关于AE的对称点为点P′，试探究，是否存在满足条件的点E，使得点P'恰好落在直线BC上，如果存在，求出点P′的坐标，如果不存在，请说明理由．
答案解析
1 、选择题
【考点】概率公式．
【分析】根据抽到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数即可得出答案．
解：总共有24道题，试题A共有4道，
P（抽到试题A）＝＝，
故选：C．
【点评】本题考查了概率公式，掌握到试题A的概率＝试题A出现的结果数÷所有可能出现的结果数是解题的关键．
【考点】勾股定理，锐角三角函数
【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．
解：∵AB2=32+42=25，AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，
则sin∠BAC==．
故答案为：．
【点评】本题考查的是勾股定理以及锐角三角函数，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
【考点】二次函数与一元二次方程
【分析】分别令x（4-x）的值为5，4，3，得到一元二次方程后，利用根的判别式确定方程的根有几个，即可得到点P的个数．
解：当b=5时，令x（4-x）=5，整理得：x2-4x＋5=0，△=(-4)2-4×5=-6<0，因此点P的个数为0，甲的说法正确；
当b=4时，令x（4-x）=4，整理得：x2-4x+4=0，△=(-4)2-4×4=0，因此点P有1个，乙的说法正确；
当b=3时，令x（4-x）=3，整理得：x2-4x+3=0，△=(-4)2-4×3=4>0，因此点P有2个，丙的说法不正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数与一元二次方程，解题的关键是将二次函数与直线交点个数，转化成一元二次方程根的判别式．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题
【分析】在直角三角形PQT中，利用PQ的长，以及∠PQT的度数，进而得到∠PTQ的度数，根据三角函数即可求得PT的长．
解：在Rt△PQT中，
∵∠QPT=90°，∠PQT=90°-70°=20°，
∴∠PTQ=70°，
∴，
∴，
即河宽米，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，掌握方向角与正切函数的定义是解题的关键．
【考点】二次函数的性质，二次函数图象与几何变换
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
解：∵二次函数，
∴该函数的对称轴为直线x=6，函数图象开口向上，
当5＜x＜6时，y随x的增大而减小，当x＞6时，y随x的增大而增大，故①不符合题意；
当x=6时，y有最小值3，故②符合题意；
当y=0时，无实数根，即图象与x轴无交点，故③不符合题意；
图象是由抛物线向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的，故④不符合题意；
故正确的是②，正确的个数是1，
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象与几何变换，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
【考点】圆周角定理
【分析】连接DC，利用三角函数得出∠DCO=30°，进而利用圆周角定理得出∠DBO=30°即可．
解：连接DC，
∵C（，0），D（0，1），
∴∠DOC=90°，OD=1，OC=，
∴∠DCO=30°，
∴∠OBD=30°，
故选：B．
【点评】此题考查圆周角定理，关键是利用三角函数得出∠DCO=30°．
【考点】圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；勾股定理．
【分析】连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．
解：连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，
∵∠CAD=∠BAD（角平分线的性质），
∴=，
∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD，
∴△AOF≌△OED，
∴OE=AF=AC=3cm，
在Rt△DOE中，DE==4cm，
在Rt△ADE中，AD==4cm．
故选A．
【点评】本题考查了翻折变换及圆的有关计算，涉及圆的题目作弦的弦心距是常见的辅助线之一，注意熟练运用垂径定理、圆周角定理和勾股定理．
【考点】平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，平移的性质．
【分析】先论证四边形CFDE是平行四边形，再分别求出CF，CD，DF，继而用平行四边形的周长公式和面积公式求出即可．
解：由平移的性质可知DF∥CE，DF＝CE，
∴四边形CFDE是平行四边形，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，
∴AC＝＝＝8，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，点F是AB的中点，
∴CF＝AB＝5，
∵DF∥CE，点F是AB的中点，
∴＝＝，∠CDF＝180°﹣∠ABC＝90°，
∴点D是AC的中点，
∴CD＝AC＝4，
∵点F是AB的中点，点D是AC的中点，
∴DF是Rt△ABC的中位线，
∴DF＝BC＝3，
∴四边形CFDE的周长为2（DF+CF）＝2×（5+3）＝16，
四边形CFDE的面积为DF CD＝3×4＝12．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理等知识，推到四边形FDE是平行四边形和DF是Rt△ABC的中位线是解决问题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线定理，矩形的性质．
【分析】根据矩形的性质得出DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，求出DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，求出FH＝BH，根据勾股定理求出BF，求出FH＝BH＝，根据三角形的中位线求出EH，根据相似三角形的判定得出△EHG∽△DFG，根据相似三角形的性质得出，再求出答案即可．
解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝6，AD＝4，
∴DC＝AB＝6，BC＝AD＝4，∠C＝90°，
∵点E、F分别为BC、CD的中点，
∴DF＝CF＝DC＝3，CE＝BE＝BC＝2，
∵EH∥CD，
∴FH＝BH，
∵BE＝CE，
∴EH＝CF＝，
由勾股定理得：BF＝＝＝5，
∴BH＝FH＝BF＝，
∵EH∥CD，
∴△EHG∽△DFG，
∴，
∴＝，
解得：GH＝，
故选：A．
【点评】本题考查了矩形的性质和相似三角形的性质和判定，能熟记矩形的性质是解此题的关键．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可分别求得a、b、c的符号，可判断①；由对称轴为x=1可判断②；当x=1时y＜0，可判断③；由图象可判断出当x=2时，y＞0，可判断④；可求得答案．
解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵﹣＞0，∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，
∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；
∵对称轴为直线x=1，
∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，
∴4a+2b+c＞0，④正确；
则其中正确的有②④．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
2 、填空题
【考点】三角形的三边关系，列举法求的概率
【分析】求出任取三根木棒的所有情况，再求出能组成三角形的所有情况，利用概率公式直接计算即可.
解：五根木棒，任意取三根共有10种情况：
3、5、8
3、5、10
3、5、13
3、8、10
3、8、13
3、10、13
5、10、13
5、8、10
5、8、13
8、10、13
其中能组成三角形的有：
①3、8、10，由于8-3<10<8+3,所以能构成三角形；
②5、10、13，由于10-5<13<10+5，所以能构成三角形；
③5、8、10，由于8-5<10<8+5，所以能构成三角形；
④8、10、13，由于10-8<13<10+8，所以能构成三角形；
所以有4种方案符合要求，
故能构成三角形的概率是P==，
故答案为：.
【点评】此题考查三角形的三边关系，列举法求事件的概率，列举法求概率的关键是在列举所有情况时考虑要全面，不能重复也不能遗漏.
【考点】圆锥的计算
【分析】圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，解得，然后根据勾股定理计算出圆锥的高．
解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，解得，
所以圆锥的高．
故答案为4．
【点评】本题主要考查圆锥的展开图的性质，关键在于圆锥张开图的母线长和弧长相等.
【考点】二次函数的性质，二次函数的最值．
【分析】函数配方后得y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，可得x＝﹣1±，因为﹣1+＞，所以﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，进而可以解决问题．
解：∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴图象开口向下，顶点坐标为（﹣1，4），
根据题意，当a≤x≤时，函数值y的最小值为1，
当y＝1时，﹣（x+1）2+4＝1，
∴x＝﹣1±，
∵﹣1+＞，
∴﹣1﹣≤x≤时，函数值y的最小值为1，
∴a＝﹣1﹣．
故答案为：﹣1﹣．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的增减性质是解题的关键．
【考点】弧长的计算，规律型：图形的变化类．
【分析】根据题意可得AD＝，BB1＝，CC1＝1＝，DD1＝＝2，可发现规律半径每次增加，根据2022÷4＝505 2，可判定弧C2022D2022的圆心是点B，即可算出弧C2022D2022的半径为505×＝，根据弧长计算方法进行计算即可得出答案．
解：根据题意可得，
AD＝，BB1＝，CC1＝1＝，DD1＝＝2，
∵2022÷4＝505 2，
∴弧C2022D2022的半径为505×＝，
∴弧C2022D2022的长l＝＝＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了弧长的计算及图形变化的规律，根据题意得出图形的变化规律应用弧长的计算方法进行求解是解决本题的关键．
【考点】相似三角形的判定与性质，切线的性质．
【分析】如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T，根据PT2=PA PB=PC PD，求出PD即可解决问题．
解：如图2中，过点P作⊙O的切线PT，切点是T．
∵PT2=PA PB=PC PD，
∵PA=2，PB=7，PC=3，
∴2×7=3×PD，
∴PD=
∴CD=PD﹣PC=﹣3=．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、切线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用结论解决问题．
【考点】垂径定理的应用，解直角三角形的应用．
【分析】根据垂径定理，平行线的性质，锐角三角函数的定义求解．
解：作OK⊥BC，则∠BKO＝90°，
∵BC∥OA，∠AOB＝28°，
∵∠B＝∠AOB＝28°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
∴BK＝OB×cosB≈6400×0.88＝5632，
∴北纬28°的纬线长C＝2π BK
≈2×3×5632
＝33792（千米）．
故答案为：33792．
【点评】本题考查垂径定理，解直角三角形，解题关键是熟练三角函数的含义及解直角三角形的方法．
3 、解答题
【考点】实数的运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂
【分析】根据算术平方根、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂的意义进行计算，最后再进行加减运算即可得解.
解：，
.
【点评】本题考查了实数的运算、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂，解答本题的关键是明确它们的各自计算方法.
【考点】列表法与树状图法，用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图．
【分析】（1）用D组的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，
（2）先计算出B组的人数，然后补全条形统计图，
（3）用600乘以样本中C组人数所占的百分比即可，
（4）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数，然后利用概率公式求解．
解：（1）12÷24%＝50（人），
所以本次一共抽样调查了50名学生，
故答案为：50，
（2）B组人数为50﹣18﹣5﹣12＝15（人），
条形统计图补充为：
（3）600×＝60（人），
所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人，
（4）画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，
所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率＝＝．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
【考点】弧长的计算，作图-旋转变换，作图-位似变换
【分析】（1）连接AO、BO、CO，并延长到2AO、2BO、2CO，长度找到各点的对应点，顺次连接即可；
（2）根据网格结构找出点A．B、C绕点O逆时针旋转90°后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可，再根据勾股定理列式求出OA，然后利用弧长公式列式计算即可得解．
解：（1）如图所示，A1(-2，-4)；
（2）如图所示，
∵OA=
∴的长为：．
【点评】本题考查了平移变换作图和轴对称图形的作法及画位似图形．注意：画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．
【考点】全等三角形的判定与性质;三角形的内切圆与内心;扇形面积的计算
【分析】（1）如图，利用△ABC的内心和同弧所对的圆周角相等可证得∠1=∠3，利用平行
线的性质可证∠4=∠6，再根据AAS即可判定△BOC≌△CDA；（2）先判定△ABC是等边三角
形，即可得O是△ABC的内心也是外心，所以OA=OB=OC.在Rt△OCE中,CE=1，∠OCE=30 ，
可求得OA=OB=OC=，根据，求出扇形AOB和△AOB的面积即可得
求得阴影部分的面积.
（1）证明：∵O为△ABC的内心，
∴∠2=∠3，∠5=∠6，
∵∠1=∠2∴∠1=∠3，
∵四边形OADC是平行四边形
∴ ，∴∠4=∠5，∴∠4=∠6．
∴△BOC≌△CDA．（AAS）
（2） 由（1）得BC=AC，∠3=∠4=∠6，
∴∠ABC=∠ACB, ∴AB=AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴△ABC内心O也是外心，∴OA=OB=OC．
设E为BD与AC的交点，BE垂直平分AC．
在Rt△OCE中， , ∠OCE=30°．
∴ ．
∵∠AOB=120°，
∴ ．
【点评】本题考查了三角形的内切国与内心:与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做园的外切角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点.也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算
【考点】待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用
【分析】（1）将，代入到，得到方程组，解得k与b的值，即可求出直线AB的解析式；
（2）将代入中，得到新的二次函数解析式，再表示出总销售额，配方成顶点式，求出最值即可．
解：（1）设直线AB的函数关系式为，
将，代入可得：，
解得：，
∴直线AB的函数关系式．
故答案为：．
（2）将代入中，
可得：，
化简得：，
设总销售额为，则
∵，
∴有最大值，当时，取到最大值，最大值为735．
故答案为：210．
【点评】本题考查了一次函数解析式的求解，二次函数的应用，能理解题意，并表示出其解析式是解题关键．
【考点】解直角三角形的应用
【分析】先求出BC＝4.8m，再由锐角三角函数定义即可求解．
解：∵山坡BM的坡度i＝1∶3，
∴i＝1∶3＝tanM，
∵BC//MN，
∴∠CBD＝∠M，
∴tan∠CBD＝＝tanM＝1∶3，
∴BC＝3CD＝4.8（m），
在Rt△ABC中，tan∠ACB＝＝tan50°≈1.19，
∴AB≈1.19BC＝1.19×4.8≈5.7（m），
即树AB的高度约为5.7m．
【点评】此题考查解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力；应用意识．正确掌握解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题、仰角俯角问题是解题的关键．
【考点】相似形综合题
【分析】（1）结合正方形性质求得△ACE≌△ABD，从而得到AE=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．
（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．
（3）首先证明AK=3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2，图3两种情形．②当AP为菱形的边，点Q在x轴的下方时，有图4，图5两种情形．③如图6中，当AP为菱形的对角线时，有图6一种情形．分别利用相似三角形的性质求解即可．
解：（1）∵DF∥AE，EF∥AD，
∴四边形AEFD是平行四边形.
∵四边形ABOC是正方形，
∴OB＝OC＝AB＝AC，∠ACE＝∠ABD＝90°.
∵点D，E是OB，OC的中点，
∴CE＝BD，
∴△ACE≌△ABD(SAS)，
∴AE＝AD，
∴是菱形
（2）如图1，连结DE
∵S△ABD＝AB·BD＝， S△ODE＝OD·OE＝，
∴S△AED＝S正方形ABOC－2 S△ABD－ S△ODE＝64－2－8＝24，
∴S菱形AEFD＝2S△AED＝48
（3）由图1，连结AF与DE相交于点K，易得△ADK的两直角边之比为1:3
1）当AP为菱形一边时，点Q在x轴上方，有图2、图3两种情况：
如图2，AG与PQ交于点H，
∵菱形PAQG∽菱形ADFE，
∴△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HN⊥x轴于点N，交AC于点M，设AM=t
∵HN∥OQ，点H是PQ的中点，
∴点N是OP中点，
∴HN是△OPQ的中位线，
∴ON＝PN＝8－t
又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠AMH＝90°，
∴△HMA∽△PNH，
∴＝＝ ，
∴HN＝3AM＝3t，
∴MH＝MN－NH＝8－3t.
∵PN＝3MH，
∴8－t =3(8－3t)，解得t＝2
∴OP＝2ON＝2(8－t)＝12
∴点P的坐标为(12，0)
如图3，△APH的两直角边之比为1:3
过点H作HI⊥y轴于点I，过点P作PN⊥x轴交IH于点N，延长BA交IN于点M
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠AMH＝∠PNH，
∴△AMH∽△HNP，
∴＝＝，设MH＝t，
∴PN＝3MH＝3t，
∴AM＝BM－AB＝3t－8，
∴HN＝3AM＝3(3t－8) ＝9t－24
又∵HI是△OPQ的中位线，
∴OP＝2IH，
∴HI＝HN，
∴8＋t＝9t－24，解得 t＝4
∴OP＝2HI＝2(8＋t)＝24，
∴点P的坐标为(24，0)
2）当AP为菱形一边时，点Q在x轴下方，有图4、图5两种情况：
如图4，△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M，过点P作PN⊥HM于点N
∵MH是△QAC的中位线，
∴HM＝＝4
又∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠HMQ＝∠N，
∴△HPN∽△QHM，
∴＝＝，则PN＝＝，
∴OM＝
设HN＝t，则MQ＝3t
∵MQ＝MC，
∴3t＝8－，解得t＝
∴OP＝MN＝4＋t＝，
∴点P的坐标为(，0)
如图5，△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥x轴于点M，交AC于点I，过点Q作NQ⊥HM于点N
∵IH是△ACQ的中位线，
∴CQ＝2HI，NQ＝CI＝4
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PMH＝∠QNH，
∴△PMH∽△HNQ，
∴＝＝＝，则MH＝NQ＝
设PM＝t，则HN＝3t，
∵HN＝HI，
∴3t＝8+，解得 t＝
∴OP＝OM－PM＝QN－PM＝4－t＝，
∴点P的坐标为(，0)
3）当AP为菱形对角线时，有图6一种情况：
如图6，△PQH的两直角边之比为1:3
过点H作HM⊥y轴于点M，交AB于点I，过点P作PN⊥HM于点N
∵HI∥x轴，点H为AP的中点，
∴AI＝IB＝4，
∴PN＝4
∵∠1＝∠3＝90°－∠2，∠PNH＝∠QMH＝90°，
∴△PNH∽△HMQ，
∴＝＝＝，则MH＝3PN＝12，HI＝MH－MI＝4
∵HI是△ABP的中位线，
∴BP＝2HI＝8，即OP＝16，
∴点P的坐标为(16，0)
综上所述，点P的坐标为(12，0)，(24，0)，(，0)，(，0)，(16，0)．
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，菱形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会寻找相似三角形，利用相似三角形的性质构建方程解决问题，属于中考压轴题．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由待定系数法即可求解，
（2）S△PBC＝S△ABC得到AP∥BC，即可求解，
（3）由题意的：∠AEP＝∠AEP′，P′E＝PE，即可求解．
解：（1）由点C的坐标知，c＝﹣3，
则抛物线的表达式为：y＝x2+bx+3，
将点A的坐标代入上式得：0＝1﹣b﹣3，
解得：b＝﹣2，
（2）由（1）得抛物线的解析式为 y＝x2﹣2x﹣3．
令y＝0，则 x2﹣2x﹣3＝0，得 x1＝﹣1，x2＝3．
∴B点的坐标为（3，0）．
∵S△PBC＝S△ABC，
∴AP∥BC．
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴直线BC的解析式为 y＝x﹣3，
∵AP∥BC，
∴可设直线AP的解析式为 y＝x+m．
∵A（﹣1，0）在直线AP上，
∴0＝﹣1+m．
∴m＝1．
∴直线AP的解析式为y＝x+1，
（3）存在，理由：
设P点坐标为（m，n）．
∵点P在直线y＝x+1和抛物线 y＝x2﹣2x﹣3 上，
∴n＝m+1，n＝m2﹣2m﹣3．
∴m+1＝m2﹣2m﹣3．
解得 m1＝4，m2＝﹣1 （舍去）．
∴点P的坐标为（4，5）．
由点P关于AE的对称点为点P′，得∠AEP＝∠AEP′，P′E＝PE．
∵AP∥BC，
∴∠PAE＝∠AEP'，
∴∠PAE＝∠PEA．
∴，
设点E的坐标为（t，t﹣3），
即（t﹣4）2+（t﹣3﹣5）2＝（5）2，
∴．
当 时，
点E的坐标为：，．
设点P′（s，s﹣3），
由P′E＝PE＝5得：（s﹣6﹣）2+（s﹣3﹣3﹣）2＝（5）2，
解得：s＝1+，
则点P′的坐标为 ，．
当 时，同理可得，点P′的坐标为：．
综上所述，点P′的坐标为：， 或 ．
【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，二次函数的性质，此题题型较好，综合性比较强，用的数学思想是分类讨论和数形结合的思想
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