二次函数实践与探索
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文档简介
课题：二次函数实践与探索
教材：华东师大版九年级下
1.教学目标
1）知识目标：
①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；
②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；
③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；
④能运用并合理解释二次函数模型。
2）能力目标：
①数学思考能力：
联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
②解决问题的能力：
结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。
2.教学重点——建立并合理解释数学模型
3.教学难点——实际问题数学化过程
4.教学过程
1）教学思路
实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。——
体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——
通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。——合理解释相应的数学模型
2）教学环节分析
环节一：抛砖引玉，点明主旨
环节二：自主探索，实践新知
环节三：拓展转化，加深理解
环节四：合作探索，学以致用
环节五：反思小结，形成新知
环节六：布置作业，巩固新知
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、抛砖引玉，点明主旨 1）布置学生，用照片或图画的形式描绘生活中的抛物线，2）选出较好的几幅作品。创设问题情境，例如，求拱门的最大高度怎么办？ 课前收集关于“生活中的抛物线”的图片；2）感知在解决实际问题中引入数学模型的必要 实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。选择从学生自己的作品入手，体现数学来源于生活，也营造了轻松和谐的学习气氛，自然导入下一环节。
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
二、自主探 索，实践新知 问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 从简入手，忽略建系以及求解析式的过程，通过变式让学生着重体会函数关系中对应法则和自变量取值范围的实际意义。
引导学生从喷水的形状中抽象出抛物线的模型；为抛物线建立坐标系（如图2），并给出解析式 y=-x +2x+0.8分析问题，找出“最大高度”对应抛物线顶点纵坐标； 演示由解析式配方得到抛物线顶点。通过课件演示如何才能使水落于池内，从而得到最小半径的对应量；6）利用解析式，用配方法得出顶点坐标：y= －(x-1) +1.8 顶点坐标：（1，1.8）最大高度为：1.8米。令y＝０,即－(x-1) +1.8 =0 则x的值为 x1≈2.34 x2≈– 0.34（不合题意，舍去）∴最小半径为２.３４m将解析式改成：y=-x +4x+1，由学生独立思考并回答问题1及问题2。 1）结合课件，分析题意：水池为圆形，O点在中央，喷水的落点离开圆心的距离相等。最小半径＝线段OB的长度（B点的横坐标）学生上黑板演示：利用解析式：y=-x +4x配方得出顶点坐标：y= －(x-2) +4顶点坐标：（2，4）最大高度：4米令y=0，即－(x-2) +4=0，则x的值为x1=4， x2=0（不合题意，舍去）∴最小半径为２m。
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
三、拓展转 化，加深理解 问题2：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝1.6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m 1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？3)一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？ 1）读题的意图有：题目中的问题是不可分割的，暗示学生，建系应有利于解题；传递纵观全局的思维方式。2）让学生充分探究各种不同的建系方法，经历必要的探索过程。3）问题3是对数学模型的解释、应用及拓展。不但要对题意作出准确的翻译，同时要回到实际问题中去，激活已有的认知经验。 4）形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
1) 引导学生读题，而读题的重点则放在对问题的综合分析上；2)引导学生建系，并选择最有利于解题的建系方法；3）对学生的讲解进行点拨；4）通过课件引导学生综合考虑小船的高与宽，并联系生活实际；4）进行阶段性小结： 实际问题——二次函数问题——确立坐标系——求出解析式——函数性质的运用 学生根据图形建立坐标系，并由学生演示不同的建系方法；2）根据老师的引导，选择最有利于解题的建系方法；3）根据问题1）标识题意，学生得出解析式：y=-３.75x +2.44）根据问题2）准确标识题意，由学生求解；5）学生就问题3）中“能否通过”的问题展开讨论，老师结合课件分析。6）学生演示求解结果。当x＝0.5时 得 y=1.46∵1.46<1.5∴不能通过
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
四、合作 探索，学以致用 教师选择设计合理，富有创意的题目上台演示，并对讲演过程进行点评。启发学生编题方式：情景启发、榜样启发、同伴启发 学生以四人小组为单位，在三份获奖作品中任选一份，模仿问题1，问题2的形式，设计一道实践应用的函数练习题。学生活动情况可能有：①题目编写正确，情境引人入胜，同时解答正确。②题目编写正确，情境符合实际，解答虽有错，但能在讨论时能发现并改正。③题目编写的情境不错，但数据不当，造成所得结果与实际不符。 充分利用学生这一重要的教学资源，改变单一的教学方式，体现学生的主体性。此外，不同层次的问题体现了不同学生的发展。
五、反思小结，形成新知 引导学生归纳，明确重难点。突出解决此类问题的重点，点出研究此类问题的意义。 反思和发表对本堂课的体验和收获。 通过学生的自主小结，理清知识脉络，突出重难点，掌握一般的方法与规律 。就本节课的内容,师生进行双向沟通。
六、布置 作业，巩固新知 必做题：课本P24.1 P24.2将未上台演示的小组的题目贴于学习园地，继续完成。选做题：单杠距地面2.2m，支撑单杠的两柱之间的距离为１.6m，将一根绳子栓在立柱与单杠结合处，如图，一身高0.7m的小孩站在离一侧立柱0.4m处，其头刚好接触到绳子，求绳子最低点Ｃ到地面的距离。 旨在使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。
§26.3 二次函数的实践与探索 课堂卷
例1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示
1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
例2：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝1.6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m，
1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；
2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
３）一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？
教案说明：
1.教材的地位和作用：
本课内容是华东师大版数学九年级下册第26章第3节。按照华东师大版教材的安排，在八年级讲授一次函数与反比例函数，在九年级把二次函数独立成章，专门讲授二次函数的图像及性质，并在本章的最后安排了这一节《二次函数的实践与探索》。
“实践与探索”作为新课程的一个有机成分，在“数与代数”板块中屡见不鲜，其设计意图是：让学生投入解决问题的实践活动，经历数学建模的全过程，初步领会数学建模的思想和方法，提高数学的应用意识和解决实际问题的能力。事实上，根据社会发展的需要，数学建模成为了中学数学的一条主线，这种思想的建立无论是对学生的后继学习还是对其终身需求都有着直接的影响。
本节“实践与探索”从体现生活中的抛物线的两个典型模型（喷水池和涵洞）入手，探索了现实物状与二次函数模型的对应关系，教会学生使用数学工具并用来合理解释数学模型。而后安排了用图像法解一元二次不等式及不等式组，安排用时4个课时，我今天说课选取的是第一课时——典型二次函数模型。
1. 学情分析：
学生已经学习过了二次函数的图像及其性质，同时已有用数学知识解决实际问题的经验。而我所任教班级的学生个性活泼，思维活跃但欠缺严谨；学生学习基础较好，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
y
A
O
Ｂ
D
E
A
D
C
B
A
A
E
D
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教材：华东师大版九年级下
1.教学目标
1）知识目标：
①掌握如何将实际问题抽象出二次函数模型；
②能运用函数关系中的对应法则并解释自变量取值范围的实际意义；
③学会根据题意，合理建系，并准确标识题意；
④能运用并合理解释二次函数模型。
2）能力目标：
①数学思考能力：
联系实际，感知数学与现实世界的密切联系，让学生经历数学建模过程，渗透数学建模思想，体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。
②解决问题的能力：
结合具体情境，发现并提出问题，并寻找解决问题的方法。能与他人合作交流，并通过反思来体验解决问题策略的多样性，以此来获得解决问题的经验。
3）情感目标：了解数学理论的实用价值，提高学生对数学的好奇心和求知欲；增强学数学的自信心，同时借助题目中丰富的背景知识来充实自己的精神世界，形成良好的个性品质。
2.教学重点——建立并合理解释数学模型
3.教学难点——实际问题数学化过程
4.教学过程
1）教学思路
实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。——
体现构建二次函数数学模型解决实际问题的思想——
通过丰富的问题情景，形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。——合理解释相应的数学模型
2）教学环节分析
环节一：抛砖引玉，点明主旨
环节二：自主探索，实践新知
环节三：拓展转化，加深理解
环节四：合作探索，学以致用
环节五：反思小结，形成新知
环节六：布置作业，巩固新知
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、抛砖引玉，点明主旨 1）布置学生，用照片或图画的形式描绘生活中的抛物线，2）选出较好的几幅作品。创设问题情境，例如，求拱门的最大高度怎么办？ 课前收集关于“生活中的抛物线”的图片；2）感知在解决实际问题中引入数学模型的必要 实际问题的提出，说明引入二次函数模型的必要性。选择从学生自己的作品入手，体现数学来源于生活，也营造了轻松和谐的学习气氛，自然导入下一环节。
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
二、自主探 索，实践新知 问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示喷出的水流距水平面的最大高度是多少？2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ 从简入手，忽略建系以及求解析式的过程，通过变式让学生着重体会函数关系中对应法则和自变量取值范围的实际意义。
引导学生从喷水的形状中抽象出抛物线的模型；为抛物线建立坐标系（如图2），并给出解析式 y=-x +2x+0.8分析问题，找出“最大高度”对应抛物线顶点纵坐标； 演示由解析式配方得到抛物线顶点。通过课件演示如何才能使水落于池内，从而得到最小半径的对应量；6）利用解析式，用配方法得出顶点坐标：y= －(x-1) +1.8 顶点坐标：（1，1.8）最大高度为：1.8米。令y＝０,即－(x-1) +1.8 =0 则x的值为 x1≈2.34 x2≈– 0.34（不合题意，舍去）∴最小半径为２.３４m将解析式改成：y=-x +4x+1，由学生独立思考并回答问题1及问题2。 1）结合课件，分析题意：水池为圆形，O点在中央，喷水的落点离开圆心的距离相等。最小半径＝线段OB的长度（B点的横坐标）学生上黑板演示：利用解析式：y=-x +4x配方得出顶点坐标：y= －(x-2) +4顶点坐标：（2，4）最大高度：4米令y=0，即－(x-2) +4=0，则x的值为x1=4， x2=0（不合题意，舍去）∴最小半径为２m。
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
三、拓展转 化，加深理解 问题2：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝1.6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m 1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？3)一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？ 1）读题的意图有：题目中的问题是不可分割的，暗示学生，建系应有利于解题；传递纵观全局的思维方式。2）让学生充分探究各种不同的建系方法，经历必要的探索过程。3）问题3是对数学模型的解释、应用及拓展。不但要对题意作出准确的翻译，同时要回到实际问题中去，激活已有的认知经验。 4）形成用二次函数解决实际问题的一般性策略和方法。
1) 引导学生读题，而读题的重点则放在对问题的综合分析上；2)引导学生建系，并选择最有利于解题的建系方法；3）对学生的讲解进行点拨；4）通过课件引导学生综合考虑小船的高与宽，并联系生活实际；4）进行阶段性小结： 实际问题——二次函数问题——确立坐标系——求出解析式——函数性质的运用 学生根据图形建立坐标系，并由学生演示不同的建系方法；2）根据老师的引导，选择最有利于解题的建系方法；3）根据问题1）标识题意，学生得出解析式：y=-３.75x +2.44）根据问题2）准确标识题意，由学生求解；5）学生就问题3）中“能否通过”的问题展开讨论，老师结合课件分析。6）学生演示求解结果。当x＝0.5时 得 y=1.46∵1.46<1.5∴不能通过
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
四、合作 探索，学以致用 教师选择设计合理，富有创意的题目上台演示，并对讲演过程进行点评。启发学生编题方式：情景启发、榜样启发、同伴启发 学生以四人小组为单位，在三份获奖作品中任选一份，模仿问题1，问题2的形式，设计一道实践应用的函数练习题。学生活动情况可能有：①题目编写正确，情境引人入胜，同时解答正确。②题目编写正确，情境符合实际，解答虽有错，但能在讨论时能发现并改正。③题目编写的情境不错，但数据不当，造成所得结果与实际不符。 充分利用学生这一重要的教学资源，改变单一的教学方式，体现学生的主体性。此外，不同层次的问题体现了不同学生的发展。
五、反思小结，形成新知 引导学生归纳，明确重难点。突出解决此类问题的重点，点出研究此类问题的意义。 反思和发表对本堂课的体验和收获。 通过学生的自主小结，理清知识脉络，突出重难点，掌握一般的方法与规律 。就本节课的内容,师生进行双向沟通。
六、布置 作业，巩固新知 必做题：课本P24.1 P24.2将未上台演示的小组的题目贴于学习园地，继续完成。选做题：单杠距地面2.2m，支撑单杠的两柱之间的距离为１.6m，将一根绳子栓在立柱与单杠结合处，如图，一身高0.7m的小孩站在离一侧立柱0.4m处，其头刚好接触到绳子，求绳子最低点Ｃ到地面的距离。 旨在使每个学生都能得到相应的提高。体现了因材施教的教学原则。
§26.3 二次函数的实践与探索 课堂卷
例1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水。连喷头在内，柱高为0.8m。水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图（1）所示
1）喷出的水流距水平面的最大高度是多少？
2) 如果不计其他因素，那么水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
例2：一个涵洞的截面边缘成抛物线形，如图，当水面宽AB＝1.6m时，测得涵洞顶点与水面的距离为2.4m，
1）建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的函数解析式；
2)离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
３）一只宽为１m，高为１.5m的小船能否通过？为什么？
教案说明：
1.教材的地位和作用：
本课内容是华东师大版数学九年级下册第26章第3节。按照华东师大版教材的安排，在八年级讲授一次函数与反比例函数，在九年级把二次函数独立成章，专门讲授二次函数的图像及性质，并在本章的最后安排了这一节《二次函数的实践与探索》。
“实践与探索”作为新课程的一个有机成分，在“数与代数”板块中屡见不鲜，其设计意图是：让学生投入解决问题的实践活动，经历数学建模的全过程，初步领会数学建模的思想和方法，提高数学的应用意识和解决实际问题的能力。事实上，根据社会发展的需要，数学建模成为了中学数学的一条主线，这种思想的建立无论是对学生的后继学习还是对其终身需求都有着直接的影响。
本节“实践与探索”从体现生活中的抛物线的两个典型模型（喷水池和涵洞）入手，探索了现实物状与二次函数模型的对应关系，教会学生使用数学工具并用来合理解释数学模型。而后安排了用图像法解一元二次不等式及不等式组，安排用时4个课时，我今天说课选取的是第一课时——典型二次函数模型。
1. 学情分析：
学生已经学习过了二次函数的图像及其性质，同时已有用数学知识解决实际问题的经验。而我所任教班级的学生个性活泼，思维活跃但欠缺严谨；学生学习基础较好，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
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