河北省唐山市重点中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题(含答案)

2023-2024学年度第一学期期中考试
高三数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.函数的大致图像是（ ）
A. B.
C. D.
3.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
4.若曲线在处的切线，也是的切线，则（ ）
A.-1 B.1 C.2 D.
5.已知 ，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行、甲、乙等4名杭州亚运会志愿者到游泳、射击、体操三个场地进行志愿服务，每名志愿者只去一个场地，每个场地至少一名志愿者，若甲不去游泳场地，则不同的安排方法共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
7.已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，，且当时，，，则关于的不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是（ ）
A.一组数1，5，6，7，10，13，15，16，18，20的第75百分位数为16
B.在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，相应变量增加0.6个单位
C.数据的方差为，则数据的方差为
D.一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于100
10.给出下列结论，其中正确的结论是（ ）
A.函数的最大值
B.已知函数（且）在（0，1）上是减函数，则实数的取值范围是（1，2）
C.在同一平面直角坐标系中，函数与的图像关于直线对称
D.已知定义在上的奇函数在内有1010个零点，则函数的零点个数为2021
11.地震震级根据地震仪记录的地震波振幅来测定，一般采用里氏震级标准.里氏震级的计算公式为（其中常数是距震中100公里处接收到的0级地震的地震波的最大振幅，是指我们关注的这次地震在距震中100公里处接收到的地震波的最大振幅）.地震的能量E（单位：焦耳）是指当地震发生时，以地震波的形式放出的能量.已知，其中M为地震震级.下列说法正确的是（ ）
A.若地震震级M增加1级，则最大振幅增加到原来的10倍
B.若地震震级M增加1级，则放出的能量E增加到原来的10倍
C.若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量E也增加到原来的倍
D.若最大振幅增加到原来的10倍，则放出的能量E增加到原来的1000倍
12.定义在上的偶函数满足，当时，.设函数，则下列说法正确的是（ ）
A. 的图象关于直线对称
B.
C. 的图象在处的切线方程为
D. 和的图象所有交点的横坐标之和为10
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 展开式中含项的系数是__________.
14.已知，，且，则的最小值为___________.
15.已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为___________.
16.已知函数的图象关于对称，且对，，当且时，成立，若对任意恒成立，则的取值范围是___________.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题10.0分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，.
（1）求角B的大小；
（2）若点D在边上，且，.求面积的最大值.
18.（本小题12.0分）
已知数列的前项和为，且
（1）求的通项公式；
（2）设，若，求.
19.（本小题12.0分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）若不等式对恒成立，求的取值范围.
20.（本小题12.0分）
如图，矩形和梯形所在平面互相垂直，，，，.
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小为60°，求的长.
2023-2024学年度第一学期
期中考试数学试卷
【答案】
1.B 2.B 3.D 4.C 5.B 6.C 7.A 8.B
9.ACD 10.CD 11.AC 12.ABD
13.-7 14.3 15. 16.
17.解：（1）由及正弦定理，得，
又，∴
即，
∵，，∴，，
∴，
又，得.
（2）∵点在边，且，
∴
，
，
即，即，
由，可得，即，当且仅当时等号成立
∵的面积为，
∴的面积的最大值为，
当且仅当，即，时等号成立
18.解：（1）因为①
所以当时，，
当时，，②
①-②并整理得：，故，
设，则，
∴数列是等差数列，首项为，公差为1，
∴，故.
（2）由（1）得，所以，③
④
③-④得
故.
19.解：（1）由题意，，
令，得，令，得，
则的单调递增区间为；的单调递减区间为.
（2）当时，不等式，即，显然恒成立；
当时，不等式对恒成立，等价于对恒成立，
设，，
令，得，在上单调递减；
令，得且，在，上单调递增，
所以，所以，故的取值范围为.
20.证明：
（1）∵矩形中，，平面，平面，
∴平面.
∵梯形中，，平面，平面，∴平面
∵，平面，∴平面平面，
∵面，∴平面.
（2）∵平面，交线为，，平面，
∴平面，又平面，∴，
∵，∴，
以为原点，分别以，，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
设，，，
则，，，，，
因为，，
且，，
所以
解得，，所以，，
设与平面垂直，
则，，，
，取，解得，
又因为平面，，
所以，得到，
当时，二面角的大小为60°.
21.解：（I）“跳子”开始在第1格为必然事件，.
第一次掷硬币出现反面，“跳子”移到第2格，其概率为，即.
第一次掷硬币出现正面或前两次掷硬币均出现反面，其概率为，即.
（Ⅱ）（ⅰ）由（I）知：，，
“跳子”前进到第格的情况是下面两种，而且只有两种：
①“跳子”先到第格，又掷出正面，其概率为，
②“跳子”先到第格，又掷出反面，其概率为，
∴，∴，
∵，，∴，
∴当时，数列是等比数列，首项为，公比为.
∴.
（ⅱ）由（ⅰ）得，
，
∴，
∴，则获得“冰墩墩”玩偶的概率为.
22.解：（1）：等轴双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率，
又∵直线：与以原点为圆心，以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切，
∴，
即，联立，解得，
∴椭圆C的方程为.
（2）解：①若直线的斜率不存在，设方程为，
则点，，
由，即，解得，
此时直线的方程为；
②若直线的斜率存在，设的方程为，由题意可得，
设，，
则，整理可得：，
，
且，，
由，可得，即，
即，，，
故直线的方程为，
即直线过定点，综上所述：直线过定点.