北师大版数学九年级下册2.5二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 教学设计（表格式）
文档属性
| 名称 | 北师大版数学九年级下册2.5二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 教学设计（表格式） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 60.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-31 20:03:14 | ||
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文档简介
二次函数与一元二次方程 教学设计
基本信息
使用教材版本 北师大版
课题 二次函数与一元二次方程教学设计
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
1.单元学习内容分析
二次函数是学习一次函数、反比例函数之后进一步研究函数的重要章节，是描述两个变量之间关系的重要模型.在历年的中考题中占有较大比例.同时，二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系.二次函数的学习将为一元二次方程的求解提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解数形结合这一重要思想.而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，为后来学习二次函数的图象做铺垫，教学时要注意与一次函数进行对比让学生理解二次函数的概念及初步应用二次函数列出实际问题中的表达式.
2.本课时学习内容分析
本节课要学习的二次函数与一元二次方程，是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容，是在研究完二次函数的概念、二次函数的图象与性质之后，从函数的角度，对一元二次方程重新进行分析.内容的设计，突出了建立一元二次方程求解问题与二次函数之间的联系，用不同类型的函数与方程进行比较分析，使学生逐步认识到二者的关系.这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的高度上借助变量，从“静态研究”向“动态研究”转变，将不同的数学对象用二次函数统一起来认识，发挥函数对数与代数内容的统领作用.
3.学习者分析
本节课基于学生学习了一次函数、反比例函数、一元二次方程之后，利用数形结合的思想进一步研究函数与方程的关系，虽有一定的学习经验，但理解方程和函数之间的联系，估计仍是一个难点。
4.教学目标确定
理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根； 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.
5.教学重点难点
重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. 难点：理解二次函数的图象与一元二次方程的联系.
6.教学活动设计
教师活动学生活动环节一：创设情境、导入新课 问题：如图所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有函数关系：h＝20t－5t2.教师活动1 请同学们思考以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多长时间？ 教师引导，学生求解.学生活动1 在教师的引导下，学生完成解答过程.从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.环节二：实践探究、交流新知教师活动2 1.针对【课堂引入】的问题进行探究，教师总结解题过程： 教师总结：把函数值代入函数表达式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值. 2.画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案. 问题提示： （1）教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图； （2）教师巡视指导，与学生合作、交流； 3.思考：已知二次函数：①y＝x2＋2x；②y＝x2－2x＋1；③y＝x2－2x＋2. 师生活动：教师展示二次函数的图象 教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 4.归纳总结 通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结： 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论. 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根. 学生活动2 （1）解方程15＝20t－5t2，即t2－4t＋3＝0，解得t1＝1，t2＝3. 答：小球的飞行高度能达到15 m，需要飞行1 s或3 s. （2）解方程20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解得t1＝t2＝2. 答：小球的飞行高度能达到20 m，需要飞行2 s. 学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系. 学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程； 学生观察图象，展开讨论，并回答问题. （1）以上每个图象与x轴有几个交点？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）一元二次方程x2＋2x=0，x2－2x＋1=0有几个实数根？用判别式验证一下，一元二次方程x2－2x＋2=0有实数根吗？ （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关 （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 活动意图说明 1.学生通过计算、观察、分析，发现二次函数与一元二次方程之间的关系. 2.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合带来的方便. 3.设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.环节三：课堂检测教师活动3【课堂检测】 1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是（D） A.无解 B.x＝1 C.x＝－4 D.x＝－1或x＝4 2.二次函数y＝x2－2x＋1与x轴的交点个数是（C） A.1或2 B.2 C.1 D.0 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（C） A.x＜2 B.x＞－3 C.－3＜x＜1 D.x＜－3或x＞1 4.已知抛物线y＝kx2－4x－3与x轴有交点，则k的取值范围是k≥－且k≠0Ｗ. 5.如图所示，你能直观看出哪些方程的根？ 学生活动3 学生进行当堂检测， 完成后，教师进行批阅、点评、讲解.活动意图说明 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果.课堂小结： （1）你在本节课的学习中有哪些收获？ （2）有哪些进步？还存在哪些困惑？
7.板书和PPT等媒体设计
第1课时 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 1.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点坐标为（x0，0），则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根. 2.有下列对应关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况b2－4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2－4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2－4ac＝0无公共点无实数根b2－4ac＜0
8.作业与拓展学习设计
教材第52页随堂练习、教材第52～53页习题2.10第1、2、3题.
9.教学反思与改进
（通过回顾学习过程和学习效果，描述学习的实际获得，进而分析目标达成情况，提出改进策略）
基本信息
使用教材版本 北师大版
课题 二次函数与一元二次方程教学设计
课型 新授课 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□
1.单元学习内容分析
二次函数是学习一次函数、反比例函数之后进一步研究函数的重要章节，是描述两个变量之间关系的重要模型.在历年的中考题中占有较大比例.同时，二次函数和以前学过的一元二次方程有着密切的联系.二次函数的学习将为一元二次方程的求解提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解数形结合这一重要思想.而本节课的二次函数的概念是学习二次函数的基础，为后来学习二次函数的图象做铺垫，教学时要注意与一次函数进行对比让学生理解二次函数的概念及初步应用二次函数列出实际问题中的表达式.
2.本课时学习内容分析
本节课要学习的二次函数与一元二次方程，是反映函数与方程这两个重要数学概念之间的联系的内容，是在研究完二次函数的概念、二次函数的图象与性质之后，从函数的角度，对一元二次方程重新进行分析.内容的设计，突出了建立一元二次方程求解问题与二次函数之间的联系，用不同类型的函数与方程进行比较分析，使学生逐步认识到二者的关系.这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高的高度上借助变量，从“静态研究”向“动态研究”转变，将不同的数学对象用二次函数统一起来认识，发挥函数对数与代数内容的统领作用.
3.学习者分析
本节课基于学生学习了一次函数、反比例函数、一元二次方程之后，利用数形结合的思想进一步研究函数与方程的关系，虽有一定的学习经验，但理解方程和函数之间的联系，估计仍是一个难点。
4.教学目标确定
理解二次函数的图象与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，准确表述何时方程有两个不相等的实数根，两个相等的实数根和没有实数根； 经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系； 通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步体会数形结合思想.
5.教学重点难点
重点：能运用二次函数及其图象、性质确定方程的解. 难点：理解二次函数的图象与一元二次方程的联系.
6.教学活动设计
教师活动学生活动环节一：创设情境、导入新课 问题：如图所示，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有函数关系：h＝20t－5t2.教师活动1 请同学们思考以下问题： （1）小球的飞行高度能否达到15 m？如果能，需要飞行多长时间？ （2）小球的飞行高度能否达到20 m？如果能，需要飞行多长时间？ （3）小球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ （4）小球从飞出到落地要用多长时间？ 教师引导，学生求解.学生活动1 在教师的引导下，学生完成解答过程.从小球飞行问题中寻找一元二次方程与二次函数的关系，为学生能够积极主动投入到探索活动创设情境，激发学生的学习热情.环节二：实践探究、交流新知教师活动2 1.针对【课堂引入】的问题进行探究，教师总结解题过程： 教师总结：把函数值代入函数表达式，得到关于自变量的一元二次方程，解方程即可得到自变量的值. 2.画出二次函数h＝20t－5t2的图象，体会以上问题的答案. 问题提示： （1）教师引导学生利用列表、描点、连线的步骤进行画图； （2）教师巡视指导，与学生合作、交流； 3.思考：已知二次函数：①y＝x2＋2x；②y＝x2－2x＋1；③y＝x2－2x＋2. 师生活动：教师展示二次函数的图象 教师总结：一般地，如果二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根. 4.归纳总结 通过以上学生之间、师生之间的观察、交流、讨论，进行总结： 一般地，从二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象可得如下结论. 由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根. 学生活动2 （1）解方程15＝20t－5t2，即t2－4t＋3＝0，解得t1＝1，t2＝3. 答：小球的飞行高度能达到15 m，需要飞行1 s或3 s. （2）解方程20＝20t－5t2，即t2－4t＋4＝0，解得t1＝t2＝2. 答：小球的飞行高度能达到20 m，需要飞行2 s. 学生分组讨论、交流，总结二次函数与一元二次方程之间的关系. 学生观察函数图象，体会得到问题答案的过程； 学生观察图象，展开讨论，并回答问题. （1）以上每个图象与x轴有几个交点？如果有，公共点的横坐标是多少？ （2）一元二次方程x2＋2x=0，x2－2x＋1=0有几个实数根？用判别式验证一下，一元二次方程x2－2x＋2=0有实数根吗？ （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关 （1）如果抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根. （2）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，只有一个公共点，有两个公共点.这对应着一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根. 活动意图说明 1.学生通过计算、观察、分析，发现二次函数与一元二次方程之间的关系. 2.利用函数图象解决方程根的问题，让学生把方程与函数统一起来，体会数与形的结合带来的方便. 3.设计活动三使学生掌握通过函数图象判断方程的根这一方法，并把方程与函数建立联系，促使学生能够积极主动地投入到探索活动中.环节三：课堂检测教师活动3【课堂检测】 1.小兰画了一个函数y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的方程x2＋ax＋b＝0的解是（D） A.无解 B.x＝1 C.x＝－4 D.x＝－1或x＝4 2.二次函数y＝x2－2x＋1与x轴的交点个数是（C） A.1或2 B.2 C.1 D.0 3.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象如图所示，则关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是（C） A.x＜2 B.x＞－3 C.－3＜x＜1 D.x＜－3或x＞1 4.已知抛物线y＝kx2－4x－3与x轴有交点，则k的取值范围是k≥－且k≠0Ｗ. 5.如图所示，你能直观看出哪些方程的根？ 学生活动3 学生进行当堂检测， 完成后，教师进行批阅、点评、讲解.活动意图说明 进一步巩固所学新知，同时检测学习效果.课堂小结： （1）你在本节课的学习中有哪些收获？ （2）有哪些进步？还存在哪些困惑？
7.板书和PPT等媒体设计
第1课时 二次函数的图象与x轴的交点和一元二次方程的根的关系 1.若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点坐标为（x0，0），则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根. 2.有下列对应关系： 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与x轴的位置关系一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况b2－4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2－4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2－4ac＝0无公共点无实数根b2－4ac＜0
8.作业与拓展学习设计
教材第52页随堂练习、教材第52～53页习题2.10第1、2、3题.
9.教学反思与改进
（通过回顾学习过程和学习效果，描述学习的实际获得，进而分析目标达成情况，提出改进策略）