同步练习3(§1.3函数的基本性质)
时间:90分钟 满分:100分
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一、选择题:(共30分,5分∕题)
1.函数y=x2-6x+10在区间(2,4)上是( )
A.递减函数 B.递增函数 C.先递减再递增 D.选递增再递减.
2.函数f(x)=-x2+2(a-1)x+2在(-∞,4)上是增函数,则a的范围是( )
A.a≥5 B.a≥3 C.a≤3 D.a≤-5
3.y=f(x)(x∈R)是奇函数,则它的图象必经过点( )
A.(-a,-f (-a)) B.(a,-f(a)) C.(a,f()) D.(-a,-f(a))
4.设定义在R上的函数f(x)=|x|,则f(x)( )
A.是奇函数且有最大值是0 B.是偶函数且有最大值是0
C.是奇函数且有最小值是0 D.是偶函数且有最小值是0
5.设定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,且f(2)=0,则使x·f ( x )<0的实数x取值范围是( )
A.(-2,0)∪(2,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-2,2)
6. 已知f(x)是定义在R上单调递增的奇函数,若,则下列结论正确的是( )
A.f(x1)-f(x2) > 0 B. f(x1)+f(x2) > 0 C.f(x1)-f(x2) < 0 D. f(x1)+f(x2) < 0
二、填空题:(共20分,5分∕题)
7.函数y=的单调区间为__________________.
8.已知f(x)=x5+ax3+x2+bx-8,f(-2)=10,则f(2)=______.
9. 函数f(x)=2x2-3|x|的单调减区间是___________________.
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x3+x+1,则f(x)的解析式为f(x)=
三、解答题
11.确定函数y=x+(x>0)的单调区间,并用定义证明.(15分)
12.快艇和轮船分别从A地和C地同时开出,如右图,各沿箭头方向航行,快艇和轮船的速度分别是45千米/时和15千米/时,已知AC=150千米,经过多少时间后,快艇和轮船之间的距离最短?(10分)
13.设定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数,f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,求解不等式f(2)+f(x-2)>1.(10分)
14.已知函数f(x)= .
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)问:函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数还是减函数?并证明.
(3)求函数f(x)在x∈[0,5]上的最大值和最小值。(15分)
§1.3函数的基本性质(答案)
一、选择题:
1、C 2、A 3 . D 4. D 5.A 6. B
二、填空题:
7、答案:(-∞,-1),(-1,+∞) 8、答案:-18
9、答案:(-∞,-),[0,]
10、答案:f(x)=
三、解答题:
11、解:答案:增区间(1,+∞),减区间(0,1).
证明:设x1、x2是(1,+∞)上的任意两个实数,且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=x1+-(x2+)=x1-x2+(-)
=x1-x2-=(x1-x2).
当1<x1<x2时,x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1>0,
从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=+x在(1,+∞)上为增函数
同理:当0<x1<x2<1时,x1-x2<0,x1x2>1,x1x2-1<0,
从而f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2).
∴函数f(x)=+x在(0,1)上为减函数
12、解:设经过x小时后快艇和轮船之间的距离最短,距离设为y,
,
可求得当x=3时,y有最小值. 答案:3小时.
13、解:由条件可得f(2)+f(x-2)=f[2(x-2)],1=f(3).
所以f[2(x-2)]>f(3),又f(x)是在[0,+∞)上的增函数,
所以有2(x-2)>3,可解得x>
或∵f(x)为偶函数,∴f(x)是在(-∞,0)上的减函数,且f(-3)=f(3)=1,
∴f[2(x-2)]>f(-3),则有2(x-2)<-3,可解得x<
答案:x>或x<.
14、解:(1)∵x+1≠0,∴x≠-1,
∴ 故f(x)的定义域是(-∞,-1)∪(-1,+∞).
∵定义域不关于原点对称, ∴f(x)是非奇非偶函数.
(2)函数f(x)在(-1,+∞)上是增函数
证明:设x1、x2∈(1,+∞),且x1<x2,则
f(x1)-f(x2)=-=
=.
当-1<x1<x2时,x1-x2<0,x1+1>0,x2+1>0,
从而f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).
∴函数f(x)=在(-1,+∞)上为增函数
(3)由(2)知:∵[0,5](-1,+∞)
∴函数f(x)在[0,5]上为增函数
∴当x=3时,[f(x)]min=f(0)=-1,
当x=5时,[f(x)]max=f(5)=