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学 科 数学 年 级 九年级 设计者
教材版本 人教版 册、章 九年级下册 第26章
课标要求 1.经历在具体问题中探索数量关系和变化规律的过程，使学生理解并掌握反比例函数的概念，结合具体情境领会反比例函数作为一种数学模型的意义，进一步体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型． 2.能画出反比例函数的图象，能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数的性质，能利用这些函数性质分析和解决一些简单的实际问题；并根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式． 3.在学习一次函数的基础上，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中运动变化观点，逐步提高学生的观察和归纳分析能力，体验数形结合和转化的数学思想方法．
内容分析 函数知识在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一，反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，是后续学习的重要的基础。现实世界中充满了反比例函数的例子，有着极广泛的应用。应用反比例函数解决实际问题尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质的实际问题，这类题目日益成为中考的热点之一． 反比例函数的教学，是在学生对函数已经形成初步认识的基础上，学习认识的又一种函数，通过学习，使学生掌握函数概念，进一步对函数所蕴涵的”变化和对应”思想有了深层的理解。在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法．
学情分析 让学生进一步体会反比例函数的意义，掌握反比例函数的表示方法，以及准确的求出反比例函数的未知项，能够根据图象的分布确定常数的取值范围，并能用反比例函数解决一些简单的实际问题。函数本身是数学学习中的重要内容，而反比例函数则是基础函数，尽量让学生对反比例函数的概念、图象及性质的整合与巩固．
单元目标 （一）教学目标 1.经历分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型，进而解决问题的过程． 2.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识提高运用代数方法解决问题的能力． 3.通过对反比例函数的应用，培养学生解决问题的能力． 4.经历将一些实际问题抽象为数学问题的过程，初步学会从数学的角度提出问题． 5.理解问题，并能综合运用所学的知识和技能解决问题发展应用意识，初步认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． （二）教学重点、难点 教学重点:反比例函数的概念、图象和性质及反比例函数的应用． 教学难点:反比例函数及其图象的性质的理解和掌握，反比例函数的应用．
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 1.教材特点分析： 本章教学内容主要分为三大部分:第一部分:反比例函数的概念；第二分:反比例函数的图象及其性质；第三部分:反比例函数的应用． 第一部分:反比例函数的概念: （1）在引进反比例函数概念时，应先复习前面所学的函数概念，及相关的知识为基础，为反比例函数的学习作好铺垫． （2）利用学生已有的生活经验和背景知识，创设丰富的现实情境，引导学生关注问题中的两个变量的相依关系和变化规律，结合具体实例引导学生用自己的语言说 明两个变量之间的关系为什么可以看成是一个函数，并讨论出函数的表达式，形成反比例函数的概念的具体形象． （3）在概念教学中要重点突出函数中蕴含的重要的数学思想一变化一对应． 第二部分:反比例函数的图象及其性质； 函数的性质蕴涵于概念中，对反比例函数性质的探索是对其概念内在规定性的认识， 教学中应引导学生在了解函数的三种表示方法的基础上，通观察、分析函数的图象，自主地对反比例函数的图象及其性质作出直观描述． （1）学生初次遇到作非线性函数的图象，而且反比例函数的图象是由断开的两支曲线组成，因此，在作图象过程中，教师要引领学生从列表取点、描点连线。师生互动议论，画出反比例函数图象． （2）利用几何画板作出几个具体的反比例函数图象，让学生观察，并把数 与形结合起来，归纳出反比例函数图象的特征． （3）利用几何画板作出k>0和k<0时的多个反比例函数图象，数形结合，让学生归纳概括出反比例函数的性质． 第三部分：反比例函数的应用 （1）确定反比例函数解析式 （2） 实际问题与反比例函数 在实际问题中，学生经历数学知识的应用，教学中要关注对问题的分析过程；利用反比例函数解决实际问题，关键是数学建模。一般地建立函数模型有两种思路: (1) 通过问题提供的信息，知道变量之间有什么函数关系，在这种情况下，可先设出函数的表达式，再由已知条件求出表达式中的字母系数即可． (2)从问题本身的条件中不知道变量间是什么函数关系，在这种情况下，和列方程解应用题的思路一样，找出等量关系，把变量联系起来就得到函数表达式． 实际问题中的反比例函数，往往自变量的取值受到实际意义的限制，这时对应着的函数图象可能是双曲线的一支或是双曲线的一段，教学中要重视．这点是学生在学习中最易错的，最易忽略的． 2.本章教学中应注意的问题： 1、加强数学与现实的联系，加强数学与其他学科的联系． 2、利用反比例函数解决实际问题时，即要关注函数本身，又要考虑实际意义，特别是在画函数图象时，要考虑实际问题中自变量的取值范围。(画图时只画双曲线的一支) 3、例题中涉及体积、工程、杠杆、电压四个方面的问题，没有涉及函数图象，建议增加利用函数图象来解决实际问题的题型，更好的体现数形结合. 3.研究方法与研究过程 1、分析解析式自变量与函数值的取值范围(数) 2、结合解析式预测图象特点(形) 3、列表体验(注意点的代表性) 4、描点、连线、验证(加密) 5、归纳概括形成结论 4.本章教学建议： 1.注意做好与已学内容的衔接； 2.类比正比例函数、一次函数的研究方法，研究反比例函数，帮助学生体会研究一个函数的一般过程； 3.把突出函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索； 4.加强反比例函数与正比例函数的对比； 5.关注反比例函数与现实世界的联系； 6.合理安排反比例函数的增减性、渐近性和对称性等性质的教学. 5.单元知识结构框架： （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数26.1.1反比例函数126.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时126.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 126.2.1实际问题与反比例函数（1）126.2.2实际问题与反比例函数（2）1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务26.1.1反比例函数1、经历抽象反比例函数概念的过程，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念． 2、理解反比例函数的意义，根据题目条件会求对应量的值，能用待定系数法求反比例函数关系． 3、让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程，养成用数学思维方式解决实际问题的习惯，体会数学在解决实际问题中的作用． 1.经历抽象反比例函数概念的过程． 2.加深对反比例函数意义的理解，增强确定反比例函数表达式的解题技能．活动一：让学生经历在实际问题中探索数量关系的过程． 活动二：学生自主探究，完成解答，体会反比例函数的含义，理解反比例函数的概念.6.1.2反比例函数的图像和性质---第1课时1．会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2．培养学生的观察、分析、探究、归纳及概括能力． 3．在画反比例图像，并探究其性质的过程中，感悟“数形结合”、分类讨论及“从特殊到一般”的数学思想．1.会画反比例函数图象，探索并理解反比例函数的图象和性质． 2.加深对构建反比例函数模型的理解. 活动一：学生思考、交流，画图 ． 活动二：同学分别交流，找出图象的特征． 活动三：探究巩固例题． 26.1.2反比例函数的图像和性质---第2课时 1．使学生进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题． 3．深刻领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 1.理解k的符号作用． 2．能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题．活动一：领会解析式与图象之间联系，体会数形结合及转化思想方法． 活动二：理解和掌握反比例函数及其图象与性质． 活动三：探究巩固例题．26.2实际问题与反比例函数（1）1．能够通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 2．体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力. 1.会用反比例函数知识分析、解决实际问题． 2．分析实际问题中的数量关系，正确写出函数解析式． 活动一：通过分析实际问题中变量之间的关系，建立反比例函数模型解决问题. 活动二：完成例题学习巩固知识点．26.2实际问题与反比例函数（2）1.利用物理学中相关知识分析和解决一些简单的实际问题. 2.进一步体会和认识反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型. 1.运用反比例函数解决实际问题. 2.体会各学科间的内在联系及函数思想的广泛应用.活动一：学生思考、交流，写出阻力，阻力臂，动力，动力臂之间的关系. 活动二：探究运用反比例函数解决实际问题. 活动三：完成例题学习巩固知识点．
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分课时教学设计
第5课时《 26.2实际问题与反比例函数（2） 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课内容是学习反比例函数概念和性质的基础上，综合运用反比例函数的概念和性质解决简单的实际问题，是对反比例函数概念和性质的进一步巩固和提升．通过本节课的学习，深化对反比例函数的理解和认识，提高运用反比例函数知识解决实际问题的能力，体现数学的应用价值．
学习者分析 学生可能存在从实际问题中抽象反比例函数时，对比例系数理解不透、对两个变量的反比例关系把握不准的问题．因此在建立反比例函数关系时，要仔细分析实际问题所给出的条件，准确抽象出常量和变量，正确理解变量之间的关系,确定两个变量的积是一个常量．同时，在分析问题的过程中，要注意变量在实际问题中的取值范围．
教学目标 （1）运用反比例函数的知识解决简单的物理问题；体验学科整合思想． （2）经历“实际问题—建立模型—解决问题”的过程，体会数学建模思想，发展学生分析、解决问题的能力和数学应用的意识．
教学重点 将实际问题转化为数学问题，运用反比例函数的概念、性质分析和解决一些简单的物理问题．
教学难点 能灵活运用反比例函数解决有关物理学的问题．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：情境引入教师活动1： 知识回顾 1、反比例函数的一般表达式是什么？ 2、建立函数模型解决实际问题的步骤是怎样的？ .“给我一个支点，我可以撬动地球”，古希腊科学家阿基米德曾如是说，他的“杠杆定律”通俗地讲是：阻力×阻力臂=动力×动力臂.由上述等式，我们发现，当阻力、阻力臂一定时，动力和动力臂成反比例函数关系. 学生活动1： 通过探究活动理解． 学生思考、交流，写出阻力，阻力臂，动力，动力臂之间的关系. 活动意图说明： 从实际出发，从学生已有的生活经验出发，进一步锻炼学生的数学应用能力，增强数学应用意识，提高学习数学的兴趣． 进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展.环节二：新课讲解教师活动2： 探究：反比例函数在力学中的应用 ： 给我一个支点，我可以撬动地球！----阿基米德 阻力阻力臂=动力动力臂 学生活动2： 学生相互交流． ．经历“实际问题一建立模型一问题解决”的过程．写出阻力，阻力臂，动力，动力臂之间的关系. 活动意图说明： 引导学生建立模型，培养学生学以致用的能力，即能用所学知识解决现实世界中实际问题的能力，也可增强学生的学习兴趣．体会数形结合的思想，理解知识的本质联系，提高灵活地运用所学知识解决问题的能力.环节三：例题讲解教师活动3： 例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂不变，分别为1200 N和0.5 m. (1 )动力F和动力臂有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？ (2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂至少要加长多少？ 【分析】 显然本题应用杠杆定律相关知识来解决问题，首先由阻力和阻力臂的数据得到动力F与动力臂的函数关系式为F= (＞0),再把=1 . 5代入，求出动力的大小.注意 “橇动石头至少需要多大的力”表面上看是不等关系，但用相等关系来解决更方便些.而（2)中的问题即可用F=400×= 200代入求动力臂的长度的最小值，也可利用不等关系，≤400× ,得的范围是≥3，而动力臂至少应加长1.5米才行. 例4 —个用电器的电阻是可调节的，其范 围是110 220，已知电压为220 V，这个 用电器的电路图如图所示. (1 )输出功率P与电阻R有怎样的函数关系？ (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【分析】要想顺利解决本题，应了解电学中关于电功率P、电阻R和电压U的关系，即有PR = U2，可以发现或.这样由于用电器电压U = 220 V是确定的，从而可得（1)的解应为P =，再把R = 110和R = 220代入可得电功率P值分别为440 W和220 W，故电功率P的范围为220≤P≤440.事实上，这里还可以由及 110≤R≤220，得110≤≤220,得220≤P≤440.学生活动3： 先让学生独立思考，教师再根据学生的完全情况确定评讲方法. 巩固例1和例2． 活动意图说明： 让学生在一定的数学活动中去体验、感受数学，能利用反比例函数的性质解决实际问题．从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，用数学知识解决生活中的物理问题．在活动中逐步认识、建构知识，从而更好地理解知识，让学生的认知结构得到不断的完善．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、已知力F所做的功是15 J(功＝力×物体在力的方向上通过的距离)，则力F与物体在力的方向上通过的距离s之间的函数关系用图象表示大致是( ) B 某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300 N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( ) A. 至少2m2 B. 至多2m2 C. 大于2m2 D. 小于2m2 A 选做题： 3. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2安培． 求 I 与 R 之间的函数关系式； 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值． 【综合拓展类作业】 4、假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
作业布置 【知识技能类作业】 必做题： 1.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系式是P＝I2R，下列说法正确的是( ) A．P为定值时，I与R成反比例 B．P为定值时，I2与R成反比例 C．P为定值时，I与R成正比例 D．P为定值时，I2与R成正比例 B 选做题： 2.如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且OB=20cm． （1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式； （2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少牛顿的力？ 解：（1）F h=8×20=160 所以 （2）当h=80cm时，
所以在A端需要施加2牛顿的力. 【综合拓展类作业】 3.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S(m2)的变化，人和木板对地面的压强 p(Pa)也随之变化变化．如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么： (1)用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？ (2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？ (3)要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要多大？ 解：(1)由 ，得 p 是 S 的反比例函数，因为对于 S 的每一个确定的值，p 都有唯一确定的值与它对应，根据函数定义和反比例函数的定义，可知 p 是 S 的反比例函数． (2)当 S＝0.2 m2 时， 故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3 000 Pa． (3)当 p＝6 000 时，由 得 对于函数 ，当 S＞0时，S 越大，p 越小．因此，若要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要 0.1 m2．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共28张PPT)
26.2实际问题与反比例函数（2）
人教版 九年级 下册
教材分析
本课内容是学习反比例函数概念和性质的基础上，综合运用反比例函数的概念和性质解决简单的实际问题，是对反比例函数概念和性质的进一步巩固和提升．通过本节课的学习，深化对反比例函数的理解和认识，提高运用反比例函数知识解决实际问题的能力，体现数学的应用价值．
教学目标
教学目标：1.通过对“杠杆原理”等实际问题与反比例函数关系的探究，使
学生体会数学建模思想和学以致用的数学理念，并能从函数的
观点来解决一些实际问题.
2. 掌握反比例函数在其他学科中的运用，体验学科的整合思想.
教学重点:将实际问题转化为数学问题，运用反比例函数的概念、性质分析
和解决一些简单的物理问题．
教学难点:能灵活运用反比例函数解决有关物理学的问题．
新知导入
情境引入
如果细心观察，你会发现生活中的两个量之间，很多都具有反比例关系，请你举例说明，好吗？
生活中常用的刀具，使用一段时间后就会变钝，用起来很费劲，如果把刀刃磨薄，刀具就会锋利起来．重型坦克，推土机在轮子上安装又宽又长的履带．大型载重卡车装有许多车轮．充满气体的气球用手挤压或者用脚踩会爆．
新知讲解
合作学习
给我一个支点，我可以撬动地球！──阿基米德
1．你认为可能吗？
2．大家都知道开啤酒的开瓶器，它蕴含什么科学道理？
3．同样的一块大石头，力量不同的人都可以撬起来，是真的吗？
提炼概念
公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为： 阻力×阻力臂＝动力×动力臂．
动力
阻力臂
动力臂
阻力
典例精讲
例3 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1)动力F与动力臂l有怎样的函数关系？当动力臂为1.5 m时，撬动石头至少需要多大的力？
(2)若想使动力F不超过题(1)中所用力的一半，则动力臂l至少要加长多少？
解：(1)根据“杠杆原理”，得
Fl = l 200×0.5,
所以F关于l的函数解析式为：
当 l = l. 5 m 时，
对于函数 当l= 1.5m时，F = 400 N，
此时杠杆平衡.因此，撬动石头至少需要400 N的力.
（2）对于函数，F 随 l 的增大而减小.因此，只要求出 F = 200N时对应的l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
当F=400×0.5=200 时，
3－1.5=1.5（m）.
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，动力臂至少要加长 1.5 m．
例4 一个用电器的电阻是可调节的,其范围为 110～220欧姆,已知电压为 220 伏,这个用电器的电路图如图所示.
(1)功率P 与 电阻R 有怎样的函数关系
(2)这个用电器功率的范围是多少
解：（1）根据电学知识，当U=220时，得
（2）把电阻最小值R=110代入①，得到功率最大值
①
把电阻最大值R=220代入①，得到功率最小值
∴用电器功率的范围为220----440W。
因为电压不变时，输出功率P是电阻R的反比例函数，通过调节电器的电阻可以改变功率，电阻越大，功率越小
思考：结合上例，想一想为什么收音机，台灯的亮度以及电风扇的转速可以调节？
收音机的音量，台灯的亮度以及电风扇的转速都由用电器的输出功率决定．在电压一定的情况下，用电器的输出功率是用电器电路中电阻的反比例函数．所以调节用电器的电阻的大小，就能调节用电器的输出功率，从而能调节收音机的音量，台灯的亮度以及电风扇的转速．
归纳概念
反比例函数在生活实际(物理学科)中的应用．
① 审题；明确常量和变量，找出变量间的数量关系；
② 列出反比例函数解析式；
③ 运用反比例函数的图象和性质解决问题．
课堂练习
必做题
1、已知力F所做的功是15 J(功＝力×物体在力的方向上通过的距离)，则力F与物体在力的方向上通过的距离s之间的函数关系用图象表示大致是( )
B
2、某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过300 N/m2，那么此人必须站立在面积为多少的木板上才不至于下陷 (木板的重量忽略不计) ( )
A. 至少2m2
B. 至多2m2
C. 大于2m2
D. 小于2m2
20
40
60
O
60
20
40
S/m2
p/(N/m2)
A
选做题
3. 在某一电路中，保持电压不变，电流 I (安培) 和电阻R (欧姆) 成反比例，当电阻 R＝5 欧姆时，电流 I＝2安培．
求 I 与 R 之间的函数关系式；
当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设
∵ 当电阻 R = 5 欧姆时，电流 I = 2 安培，
∴ U =10．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
(2) 当I = 0.5 安培时， ，解得 R = 20 (欧姆)．
综合拓展题
3、假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
由已知得F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ，
当 F =500时，l =2.4×1029 米，
解： 2000 千米 = 2×106 米，
变形得：
故用2.4×1029 米动力臂的杠杆才能把地球撬动.
作业布置
必做题
1.用电器的输出功率P与通过的电流I、用电器的电阻R之间的关系式是P＝I2R，下列说法正确的是( )
A．P为定值时，I与R成反比例
B．P为定值时，I2与R成反比例
C．P为定值时，I与R成正比例
D．P为定值时，I2与R成正比例
B
选做题
2.如图所示，重为8牛顿的物体G挂在杠杆的B端，O点为支点，且OB=20cm．
（1）根据“杠杆定律”写出F与h之间的函数解析式；
（2）当h=80cm时，要使杠杆保持平衡，在A端需要施加多少牛顿的力？
A
B
F
O
G
解：（1）F h=8×20=160
所以
（2）当h=80cm时，
所以在A端需要施加2牛顿的力.
A
B
F
O
G
综合拓展题
3.某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地．当人和木板对湿地的压力一定时，随着木板面积 S(m2)的变化，人和木板对地面的压强 p(Pa)也随之变化变化．如果人和木板对湿地地面的压力合计为 600 N，那么：
(1)用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？为什么？
(2)当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
(3)要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要多大？
(4)在直角坐标系中，作出相应的函数图象．
解：(1)由 ，得
p 是 S 的反比例函数，因为对于 S 的每一个确定的值，p 都有唯一确定的值与它对应，根据函数定义和反比例函数的定义，可知 p 是 S 的反比例函数．
(2)当 S＝0.2 m2 时，
故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3 000 Pa．
(3)当 p＝6 000 时，
由 得
对于函数 ，当 S＞0时，S 越大，p 越小．因此，若要求压强不超过 6 000 Pa，木板面积至少要 0.1 m2．
课堂总结
物理学科中的反比例函数
知识小结
与其他知识的综合
思想方法小结
建模—反比例函数的数学思想方法
“杠杆原理”：
动力×动力臂=阻力×阻力臂
与力学 的综合
与电学的综合
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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