3.8 圆内接正多边形课件+学案(含答案)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册

文档属性

名称 3.8 圆内接正多边形课件+学案(含答案)2023-2024学年度北师大版数学九年级下册
格式 zip
文件大小 1.3MB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2024-01-01 10:25:42

文档简介

3.8圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系,理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会运用多边形和圆的有关知识画多边形.
4.通过学习,体验数学与生活的紧密相连;通过合作交流,探索实践培养学生的主体意识.
学习策略
1.学生在探讨正多边形和圆的关系学习中,体会到要善于发现问题、解决问题,从而培养学生的概括能力和实践能力.
2.通过学习,体验数学与生活的紧密相连;通过合作交流,探索实践培养学生的主体意识.
学习过程
一.复习回顾:
(1)什么叫正多边形
(2)正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗 其对称轴有几条,对称中心是哪一点
(3)以对称中心为圆心,以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆,你有何发现
二.新课学习:
问题一 圆内接正多边形的有关概念
_________________正多边形叫做 圆内接正多边形,这个圆叫做该正多边形的______.
如图:正多边形ABCDEF的顶点都在圆上,则正多边形ABCDEF叫圆内接正六边形,圆心O叫做这个正六边形的中心;
中心与顶点的连线段叫做正多边形的半径,如_____是这个正六边形的半径,
相邻两条半径的夹角叫做正多边形的中心角,如______是这个正六边形的中心角;
中心到边的距离叫做边心距,如______,则CM是这个正六边形的边心距
问题二 圆内接正多边形有关计算
已知,如图,正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径R,边心距γ6,面积S6.
正六边形的中心角是多少度?
正六边形的中心角的一半是多少度?
如何做出正六边形的边心距?
你能利用已知条件构造直角三角形吗?
你能利用解直角三角形的知识解决问题吗?
正多边形的有关计算可转化为解直角三角形,这个直角三角形的构成是:斜边为半径,一直角边为边心距,另一直角边为边长的一半,顶点在中心的锐角为中心角的一半.
例1如图,正方形ABCD内接于⊙O,P为上的一点,连接DP,CP.
(1)求∠CPD的度数;
(2)当点P为的中点时,CP是⊙O的内接正n边形的一边,求n的值.
问题三 圆内接正多边形的作图
如图,已知⊙O,用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.
例2如图,已知⊙O,用尺规作⊙O的内接正六边形ABCDEF.
三.尝试应用:
1. 对于以下说法:①各角相等的多边形是正多边形;②各边相等的多边形是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各顶点等分外接圆的多边形是正多边形,你认为正确的有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
2. 若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是______度,半径是______,
边心距是______,它的每一个内角是______.
3. 如图,PA和PB分别与⊙O相切于A,B两点,作直径AC,
并延长交PB于点D.连结OP,CB.
(1)求证:OP∥CB;
(2)若PA=12,DB:DC=2:1,求⊙O的半径.
四.达标测试
一、选择题
1.若一个正多边形的中心角为40°,则这个多边形的边数是(  )
A.9 B.8 C.7 D.6
2.图中的正三角形和正六边形有公共的外接圆⊙O.则这个正三角形和正六边形边长的比为(  )
A.:2 B.:2 C.:1 D.2:1
3.以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是(  )
A. B. C. D.
二、填空题
4.正八边形的中心角等于   度.
5.为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后,图中阴影部分为植草区域,设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为   .
6.若正六边形的边心距为,则这个正六边形的半径为   .
三、解答题
7.已知A、B两点,求作:过A、B两点的⊙O及⊙O的内接正六边形ABCDEF.(要求用直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不必写作法及证明.)
8.已知圆内接正三角形的面积为12,求这个圆的外切正方形的对角线的长.
9.如图,四边形ABCD内接于大圆O,且各边与小圆相切于点E,F,G,H.求证:四边形ABCD是正方形.
10.如图,⊙O是直径为4cm的圆形铁片,现用它截取最大的正方形ABCD.
(1)求正方形ABCD的边长;
(2)求四周多余部分的面积(π取3.1).
3.8圆内接正多边形达标测试答案
一、选择题
1.【解析】根据正多边形的中心角的计算公式:计算即可.
【解答】解:设这个多边形的边数是n,
由题意得,=40°,
解得,n=9,
故选:A.
【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识,掌握正多边形的中心角的计算公式:是解题的关键.
2.【解析】根据题意画出图形,通过解直角三角形用R分别表示出它们的边长,进而可得出结论.
【解答】解:设外接圆的半径为R,
如图所示:
连接O2 A,O2 B,
则O2 B⊥AC,
∵O2 A=R,∠O2 AF=30°,∠AO2 B=60°,
∴△AO2 B是等边三角形,AF=O2A cos30°=R,
∴AB=R,AC=2AF=R;
∴外接圆的半径相等的正三角形、正六边形的边长之比为R:R=:1.
故选C.
【点评】本题考查的是正多边形和圆、解直角三角形;熟知正三角形、正方形和正六边形的性质是解答此题的关键.
3.【解析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形,可构造直角三角形分别求出边心距的长,由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形,进而可得其面积.
【解答】解:如图1,
∵OC=2,
∴OD=2×sin30°=1;
如图2,
∵OB=2,
∴OE=2×sin45°=;
如图3,
∵OA=2,
∴OD=2×cos30°=,
则该三角形的三边分别为:1,,,
∵(1)2+()2=()2,
∴该三角形是直角边,
∴该三角形的面积是×1××=,
故选:D.
【点评】本题主要考查多边形与圆,解答此题要明确:多边形的半径、边心距、中心角等概念,根据解直角三角形的知识解答是解题的关键.
二、填空题
4.【解析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答.
【解答】解:正八边形的中心角等于360°÷8=45°;
故答案为45.
【点评】本题考查了正多边形和圆的知识,解题的关键是牢记中心角的定义及求法.
5. 【解析】△ABC是等腰直角三角形,斜边长是a,据此解求得△ABC的面积,则阴影部分的面积即可求解.
【解答】解:△ABC是等腰直角三角形,且AB=a,
则AC=BC=a,
则S△ABC=AC BC=× =,
中间的正方形的面积是:a2,
则阴影部分的面积是:4×+a2=2a2.
故答案是:2a2.
【点评】本题考查了正多边形的计算,正确求得三角形ABC的面积是关键.
6.【解析】首先根据题意作出图形,由正六边形的性质,易得△BOC是等边三角形,然后由三角函数的性质,可求得OB的值,继而可求得答案.
【解答】解:如图所示,连接OB、OC;
∵此六边形是正六边形,
∴∠BOC==60°,
∵OB=OC,
∴△BOC是等边三角形,
∴∠OBC=60°,
∵OH=,
∴在Rt△OBH中,OB===2,
∴OB=OC=BC=2,即这个正六边形的半径为2.
故答案为:2.
【点评】此题考查了正多边形与圆的知识.此题难度不大,注意掌握数形结合思想的应用.
三、解答题
7.【解析】根据题意可知作出以AB为直径的圆,且以AB的一半为半径的圆内接正六边形即可.
【解答】解:如图所示:
首先以AB为直径作圆,在以AB的一半为半径在圆上截取相等的弧,然后顺次连接六个等分点即可.
【点评】本题考查了正多边形和圆及作图的相关知识,解题的关键是弄清正六边形和圆及线段AB的关系.
8. 【解析】如图,作辅助线,证明DC=GH=2OG;根据已知条件求出OG,结合勾股定理问题即可解决.
【解答】解:如图,连接GO并延长,交EF于点H,交BC于点M;
由题意得:点O为正方形ABCD的中心,也是正△GEF的中心;
∴OG=OM,GH⊥EF;而AD为⊙O的切线,
∴GM⊥AD,而∠D=∠C,
∴四边形MCDG为矩形,DC=GM=2OG;
设⊙O的半径为λ,正方形ABCD的对角线为μ,
由题意得:∠GOE==120°,
sin120°=12,
∴λ=4,DC=2λ=8;
由勾股定理得:μ2=82+82,
∴μ=,即这个圆的外切正方形的对角线的长为.
【点评】该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题;灵活运用正多边形和圆的关系来解析、判断是解题的关键.
9.【解析】连结OE、OF、OG、OH,利用切线的性质以及弦心距相等则弦相等可证明A、B、C、D是大圆O的四等分点,进而可证明四边形ABCD是正方形.
【解答】证明:
连结OE、OF、OG、OH.
∵四边形ABCD与小圆分别切于点E、F、G、H,
∴OE=OF=OG=OH,OE⊥AB、OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD.
∴AB=BC=CD=DA.
∴A、B、C、D是大圆O的四等分点.
∴四边形ABCD是正方形.
【点评】本题考查了正多边形与圆的关系,解题的关键是熟记把一个圆分成n(n是大于2的自然数)等份,依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形,这个圆叫做这个正多边形的外接圆.
10. 【解析】(1)连接AO,DO,由题意可知∠AOD=90°,进而利用勾股定理即可求出正方形ABCD的边长;
(2)由题意可知四周多余部分的面积=圆的面积﹣正方形的面积,问题得解.
【解答】解:(1)连接AO,DO,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠AOB==90°,
∵⊙O是直径为4cm,
∴AO=OD=2cm,
∴AD==2cm,
即正方形ABCD的边长为2cm;
(2)∵S圆=π×2×2=12.4cm2,S正方形ABCD=2×2=8cm2,
∴四周多余部分的面积=12.4﹣8=4.4cm2.
【点评】此题主要考查了正多边形与圆的有关知识,本题需仔细解析图形,利用勾股定理即可解决问题.(共19张PPT)
第三章 圆
8 圆内接正多边形
学习目标
1.掌握正多边形和圆的关系,理解正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念.
2.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.
3.会运用多边形和圆的有关知识画多边形.
4.通过学习,体验数学与生活的紧密相连;通过合作交流,探索实践培养学生的主体意识.
新课导入



课堂小结

当堂训练

讲授新知

新课导入

新课导入
(1)什么叫正多边形
(2)正多边形是轴对称图形、中心对称图形吗 其对称轴有几条,
对称中心是哪一点
(3)以对称中心为圆心,以对称中心到正多边形的一个顶点的长为半径画圆,
你有何发现
讲授新知

讲授新知
知识点1 圆内接正多边形的有关概念
顶点都在同一圆上的正多边形叫做 圆内接正多边形,
这个圆叫做该正多边形的外接圆.
OA是这个正六边形的半径,
∠AOB是这个正六边形的中心角
CM⊥CD,则CM是这个正六边形的边心距
讲授新知
知识点2 圆内接正多边形有关计算
已知,如图,正六边形ABCDEF的边长为6cm,求这个正六边形的外接圆半径
R,边心距γ,面积S.
解:连接OA,OB,过点O作OG⊥AB于G,
∵∠AOB=60°,OA=OB,
∴△AOB是等边三角形,
∴OA=OB=6,即R=6,
∵OA=OB=6,OG⊥AB,
∴AG=AB=×6=3,
∴在Rt△AOG中,r=OG=cm,
∴S=×6×6×3=54.
G
范例应用
例1 如图,正方形ABCD内接于⊙O,P为上的一点,连接DP,CP.
(1)求∠CPD的度数;
(2)当点P为的中点时,CP是⊙O的内接正n边形的一边,求n的值.
解:(1)连接OD,OC,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠DOC=90°.
∴∠DPC=∠DOC=45°;
(2)连接PO,OB,
∵正方形ABCD内接于⊙O,
∴∠COB=90°,
∵点P为BC的中点,
∴,
∴∠COP=∠COB=45°,
∴n=360÷45=8.
讲授新知
知识点3 圆内接正多边形的作图
已知⊙O,用尺规作⊙O的内接正四边形ABCD.
范例应用
例2 如图,已知⊙O,用尺规作⊙O的内接正六边形ABCDEF.
当堂训练

当堂训练
1.若正n边形的中心角与它的一内角相等,则n的值是(  )
A.4 B.6 C.3 D.5
2.半径为R的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a,b,c,则a,b,c的大小关系是(  )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a
A
A
当堂训练
3.已知正六边形的半径为,则此正六边形的面积为_____________.
4.边长为4cm的正六边形,它的外接圆与内切圆半径的比值是 __________.
3
当堂训练
5.如图,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,AF是⊙O的直径,
求∠BDF的度数.
解:∵AF是⊙O的直径,五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形,
∴,∠BAE=108°,
∴,
∴∠BAF=∠BAE=54°,
∴∠BDF=∠BAF=54°.
课堂小结

课堂小结

1.圆内接正多边形的有关概念
2.圆内接正多边形的计算与作法
课后作业
课后习题 第 1,2,3题。