3.9弧长及扇形的面积导学案
学习目标
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程；
2.了解弧长计算公式及扇形面积计算公式，并会应用公式解决问题．
学习策略
1.经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程，培养学生的探索能力．
2.了解弧长及扇形面积公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力．
学习过程
一.复习回顾：
1．圆的周长公式是 。
2．圆的面积公式是 。
3．什么叫弧长？
二.新课学习：
问题一 弧长公式
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10厘米.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米
(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为l=.
例1 如图，O1、O2分别是两个扇形的圆心，求图中阴影部分的周长．
问题二 扇形面积公式
①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少
②圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少
扇形面积公式也可以表示为:S==___________.
例2如图1，两个扇形纸扇的圆心角都是120°，OA＝2MD＝40cm．
（1）扇形两面都贴纸，分别求图1中两个扇形所用纸的面积是多少．（π取3）
（2）如图2，OE＝20cm．若扇形AOB中的小扇形EOF部分（阴影部分）不贴纸，试比较哪个扇形用纸面较大．（π取3）
（3）若甲扇形的半径是乙扇形半径的2倍，圆心角是乙扇形圆心角的一半，则甲扇形的面积是乙扇形面积的 倍．
三.尝试应用：
1. (云南中考)已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为( )
A. B．2π C．3π D．12π
2. (河北中考)如图，将长为8 cm的铁丝首尾相接围成半径为2 cm的扇形，则S扇形＝____________cm2.
3. 一段圆弧形公路弯道，圆弧的半径为2 km，弯道所对圆心角为10°，一辆汽车从此弯道上驶过，用时20 s，弯道有一块限速警示牌，限速为40 km/h，问这辆汽车经过弯道时有没有超速？(π取3)
四.达标测试
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A． B． C． D．
2．一块等边三角形的木板，边长为1，现将木板沿水平线翻滚（如图），那么B点从开始至结束所走过的路径长度为（ ）
A． B． C．4 D．2+
3．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，贴纸部分的面积为（ ）cm2．
A． B． C．800π D．500π
二、填空题
4．如图，扇形AOB中，OA=10，∠AOB=36°．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，则点O的运动路径长为 cm．（结果保留π）
5．如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1．则弧BD的长是 ．
6．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=3，以点B为圆心，BC为半径作弧，交AB于点D，则的长为 ．
三、解答题
7．如图，在⊙O中，C﹑D为⊙O上两点，AB是⊙O的直径，已知∠AOC=130°，AB=2．
求：（1）的长；
（2）∠D的度数．
8．如图，已知扇形的圆心角为120°，面积为300π．
（1）求扇形的弧长；
（2）若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的高为多少？
9．如图，半径为12的圆中，两圆心角∠AOB=60°、∠COD=120°，连接AB、CD，求图中阴影部分的面积．
10．如图，在⊙O中，∠AOB=60°，AB=6cm．
（1）求圆的半径；
（2）求阴影部分的面积．
3.9弧长及扇形的面积达标测试答案
一、选择题
1．【解析】连接OB，OC，依据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可求得劣弧BC的圆心角的度数，然后利用弧长计算公式求解即可．
【解答】解：连接OB，OC．∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
则劣弧BC的长是：=π．
故选B．
【点评】本题考查了弧长的计算公式以及圆周角定理，正确理解圆周角定理是关键．
2．【解析】根据题目的条件和图形可以判断点B分别以C和A为圆心CB和AB为半径旋转120°，并且所走过的两路径相等，求出一个乘以2即可得到．
【解答】解：如图：BC=AB=AC=1，∠BCB′=120°，
∴B点从开始至结束所走过的路径长度为2×弧BB′=2×=，
故选B．
【点评】本题考查了弧长的计算方法，求弧长时首先要确定弧所对的圆心角和半径，利用公式求得即可．
3．【解析】贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇形的面积，已知圆心角的度数为120°，扇形的半径为30cm，可根据扇形的面积公式求出贴纸部分的面积．
【解答】解：设AB=R，AD=r，则有
S贴纸=πR2﹣πr2=π（R2﹣r2）=π（R+r）（R﹣r）=（30+10）×（30﹣10）π
=π（cm2）．
故选A．
【点评】本题主要考查了扇形面积的计算，熟悉扇形的面积公式是解题的关键．
二、填空题
4．【解析】根据弧长公式，此题主要是得到∠OBO′的度数．根据等腰三角形的性质即可求解．
【解答】解：根据题意，知OA=OB．
又∠AOB=36°，∴∠OBA=72°．
∴点O旋转至O′点所经过的轨迹长度==4πcm．
故答案是：4π．
【点评】本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答该题的关键是弄清楚点O的运动轨迹是弧形，然后根据弧长的计算公式求解．
5. 【解析】连接OC，先根据勾股定理判断出△ACE的形状，再由垂径定理得出CE=DE，故=，由锐角三角函数的定义求出∠A的度数，故可得出∠BOC的度数，求出OC的长，再根据弧长公式即可得出结论．
【解答】解：连接OC，
∵△ACE中，AC=2，AE=，CE=1，∴AE2+CE2=AC2，
∴△ACE是直角三角形，即AE⊥CD，
∵sinA==，∴∠A=30°，
∴∠COE=60°，
∴=sin∠COE，即=，解得OC=，
∵AE⊥CD，∴=，
∴===．
故答案是：．
【点评】本题考查的是垂径定理，涉及到直角三角形的性质、弧长公式等知识，难度适中．
6．【解析】半径为3，要求的长，只需求∠B的度数．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=50°，∴∠B=40°．
∵BC=3，∴的长为=．
故答案为．
【点评】本题主要考查了直角三角形的两锐角互余、圆弧长公式等知识，其中圆弧长公式为l=．
三、解答题
7．【解析】（1）直接利用弧长公式求出即可；
（2）利用邻补角的定义以及圆周角定理得出即可．
【解答】解：（1）∵∠AOC=130°，AB=2，
∴===；
（2）由∠AOC=130°，
得∠BOC=50°，
又∵∠D=∠BOC，
∴∠D=×50°=25°．
【点评】此题主要考查了弧长公式以及圆周角定理，熟练记忆弧长公式是解题关键．
8. 【解析】（1）利用扇形的面积公式可得圆锥的母线长，进而利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；
（2）利用圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长可得圆锥的底面半径，再根据勾股定理即可求出这个圆锥的高．
【解答】解：（1）设扇形的半径为R，根据题意，得 ，∴R2=900，
∵R＞0，∴R=30．
∴扇形的弧长=．
（2）设圆锥的底面半径为r，根据题意，得2πr=20π，
∴r=10．
h==20．
答：这个圆锥的高是20．
【点评】考查圆锥的计算；用到的知识点为：圆锥的弧长=；圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长．
9．【解析】先用扇形OAB面积﹣三角形OAB面积求出上面空白部分面积，再用扇形OCD面积﹣三角形OCD面积﹣上面空白部分面积，即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：S扇形AOB==24π，
S△AOB==36，
则S弓形AB=24π﹣36，
S扇形COD==48π，
作OE⊥CD于点E．
则OE=OD=6，CD=2DE=2×6=12，
S△COD=OE CD=×6×12=36，
则S弓形CD=48π﹣36，
则S阴影=S弓形CD﹣S弓形AB=48π﹣36﹣（24π﹣36）=24π．
【点评】考查了组合图形的面积，本题关键是明白阴影部分的面积=扇形OCD面积﹣三角形OCD面积﹣上面空白部分面积．
10. 【解析】（1）首先判定三角形为等边三角形，即可得出圆的半径；
（2）利用扇形面积公式以及三角形面积求法计算得出即可．
【解答】解：（1）∵OA=0B，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∵AB=6cm，
∴OB=6cm，即圆的半径为6cm；
（2）过点O作OC⊥AB于点C，
∵∠OAC=60°，
∴CO=AOsin60°=，
S△OAB=×2×=（cm2），
S扇形OAB==（cm2），
∴阴影部分的面积为：（﹣）cm2．
【点评】此题主要考查了学生对等边三角形的判定和扇形面积公式等知识应用，关键是得到△OAB是等边三角形．(共21张PPT)
第三章 圆
9 弧长及扇形的面积
学习目标
1.掌握弧长计算公式及扇形面积计算公式,并会应用公式解决问题.
2经历探索弧长计算公式及扇形面积计算公式的过程,培养学生的探索能力.
3.通过用弧长及扇形面积公式解决实际问题,让学生体验数学与人类生活的密切联系,激发学生学习数学的兴趣,提高他们的学习积极性及数学运用能力.
新课导入
壹
目
录
课堂小结
肆
当堂训练
叁
讲授新知
贰
新课导入
壹
新课导入
在一块空旷的草地上有一根柱子,柱子上拴着一条长3 m的绳子,绳子的一端
拴着一只狗.
(1)这只狗的最大活动区域有多大 这个区域的边缘长是多少
(2)如果这只狗拴在夹角为120°的墙角,那么它的最大活动区域有多大 这个
区域的边缘长是多少
讲授新知
贰
讲授新知
知识点1 弧长公式
如图,某传送带的一个转动轮的半径为10厘米.
(1)转动轮转一周,传送带上的物品A被传送多少厘米
(2)转动轮转1°,传送带上的物品A被传送多少厘米
(3)转动轮转n°,传送带上的物品A被传送多少厘米
20π
讲授新知
在半径为R的圆中,n°的圆心角所对的弧长的计算公式为
l=.
范例应用
例1 如图，O1、O2分别是两个扇形的圆心，求图中阴影部分的周长．
解：∵⊙O1的半径为3cm，
∴⊙O2的半径是（cm），
∴图中阴影部分的周长是
×2π×+3＝（π+3）cm．
讲授新知
①圆心角是1°的扇形面积是圆面积的多少
②圆心角为n°的扇形面积是圆面积的多少
知识点2 扇形面积公式
讲授新知
S=
范例应用
例2 如图1，两个扇形纸扇的圆心角都是120°，OA＝2MD＝40cm．（π取3）
（1）扇形两面都贴纸，分别求图1中两个扇形所用纸的面积是多少．
（2）如图2，OE＝20cm．若扇形AOB中的小扇形EOF部分（阴影部分）
不贴纸，试比较哪个扇形用纸面较大．（3）若甲扇形的半径是乙扇形半径的2倍，圆心角是乙扇形圆心角的一半，则甲扇形的面积是乙扇形面积的_______倍．
解：（1）如图1，
甲扇形所用纸的面积为2×=3200，
乙扇形所用纸的面积为2×=800；
（2）甲扇形所用纸的面积为3200﹣800＝2400，乙扇形所用纸的面积为800，
∴甲扇形用纸面较大；
（3）设乙扇形半径为r，圆心角为α，则甲扇形的半径为2r，圆心角为α，
∴S甲扇形==，S乙扇形=，
∴S甲扇形＝2S乙扇形．
故答案为2．
范例应用
当堂训练
叁
当堂训练
1.已知圆心角度数为60°，半径为30，则这个圆心角所对的弧长为（ ）
A．20π B．15π C．10π D．5π
2.如果一弧长是其所在圆周长的，那么这条弧长所对的圆心角为（ ）
A．15度 B．16度 C．20度 D．24度
C
C
当堂训练
3.一个扇形的面积是3π，圆心角是60°，则此扇形的半径是_______cm．
4.如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都等于2，则图中三个扇形
（即阴影部分）的面积之和为 ________．（结果保留π）
3
2π
当堂训练
5.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC＝6，∠CAB＝30°，
求图中阴影部分面积．
解：作OE⊥AC于E，连接OC，如图所示．
∴AC＝2AE＝6，∴AE＝3，
在Rt△AOD中，∠EAO＝30°，
∴OE＝AEtan∠DAO＝3×=，
∴OA＝2OE＝2，
∵∠COB＝2∠CAB＝60°，
∴S△AOC=AC3，S扇形BOC==2π，
∴S阴影＝S△AOC+S扇形BOC＝3+2π．
E
课堂小结
肆
课堂小结
壹
1.弧长公式
2.扇形面积公式
课后作业
课后习题 第 1,2,3题。
谢
谢
