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2023-2024学年第一学期浙江省温州市九年级期末数学模拟试卷
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 函数的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
2 . 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
5 . 如图，是的直径，是弦，若，则（ ）
A． B． C． D．
6 .为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定BC与AE交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离AB是（ ）
A. 120m B. 110m C. 100m D. 90m
7. 温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），
现测得桥拱水面宽为，石拱桥的桥顶到水面的距离为，
则拱桥半径长为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
9 . 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④；⑤（m是任意实数）．
其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ③⑤
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，
通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有________个
12 . 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），
那么，由此可知，B、C两地相距 m．
数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，把镜子放在离树的点E处，
然后沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，在用尺子量的，
观察者目高，求树高为______m．
如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为120°，
则扇面外端的长为 cm，折扇扇面的面积为 ．（结果保留）
如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m，则水面宽度为 ．
16 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 如图，、相交于点，且，，，，求的长．
18 . 2022年冬奥会在中国北京举办，中国成为举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．
小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），
现将三张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冰墩墩”的概率是____________；
(2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，
请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率．
（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）
19. 如图，在⊙O中，弦、相交于点P，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求．
20. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：．
(1)求当铅球落地时推出有多远？
(2)铅球行进高度能否达到？为什么？
21 . 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，
液压杆与底盘夹角为；已知：液压杆，当，时，
（1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
（2）求的长．（参考数据：，，，）．
22. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
23．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F．
（1）求证：△FBD∽△FAC；
（2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长；
（3）如果∠CAD＝60°，DC＝DE，求证：AE＝AF．
24 . 已知：抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，
连接，点M为坐标平面内一点且横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；
（2）如图，当点M为抛物线上第一象限内的点时，连接
①求面积的最大值；
②过点M作垂足为N，当时，请求出点M的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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2023-2024学年第一学期浙江省温州市九年级期末数学模拟试卷（解析版）
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 函数的对称轴是（ ）
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点式可直接进行求解．
【详解】解：由抛物线可知对称轴是直线；
故选A．
2 . 如图，在Rt中，，，，则sinA的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求出AB，再根据正弦的定义：对边比斜边，进行计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴；
故选D．
将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，
所得抛物线的解析式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度
所得的抛物线解析式为．
故选：B．
从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取2名同学参加图书节志愿服务活动，
其中甲同学是女生，乙、丙、丁同学都是男生，被抽到的2名同学都是男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意画树状图，再利用概率公式，即可得到答案．
【详解】解：根据题意，画树状图如下：
一共有12种情况，被抽到的2名同学都是男生的情况有6种，
，
故选：B．
5. 如图，是的直径，是弦，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由圆周角定理可知∠ADB=90°，再求出∠ADC=64°，然后由圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADC+∠CDB=90°，
∴∠ADC=90°-∠CDB=90°-26°=64°，
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC=64°，
故选：C．
为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，
使，然后再选定点E，使，用视线确定BC与AE交于点D．
此时，测得，，，则两岸间的距离AB是（ ）
A. 120m B. 110m C. 100m D. 90m
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意可得，进而根据相似三角形的性质，列出比例式代入求解即可．
【详解】解：，，
，，，
m
故选：C．
7 . 温州是著名水乡，河流遍布整个城市．某河流上建有一座美丽的圆弧形石拱桥（如图），
现测得桥拱水面宽为，石拱桥的桥顶到水面的距离为，
则拱桥半径长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】连接，得；根据垂径定理，得；设，根据，则，等量代换，再根据勾股定理列方程，即可得答案．
【详解】连接，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
在直角三角形中，，
∴，
∴
故选：C．
8 .如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，
由求出的值，对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
9 . 如图，在中，，，动点P从点A开始沿边运动，速度为；
动点Q从点B开始沿边运动，速度为；如果P、Q两动点同时运动，
那么经过（ ）秒时与相似．
A．2秒 B．4秒 C．或秒 D．2或4秒
【答案】C
【分析】设经过秒时, 与相似,则,
利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论：当 时, ,即 当 时,,即
然后解方程即可求出答案．
【详解】解：设经过秒时, 与相似,
则
,
当 时, ,
即
解得：
当 时, ,
即
解得：
综上所述：经过或秒时,与相似
故选：C
已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：
①；②；③；④；⑤（m是任意实数）．
其中正确的是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ③⑤
【答案】B
【解析】
【分析】根据开口方向和与y轴的交点位置即可得到，
再由对称轴公式得到即可判断①②；
根据当时，得到，即可判断③④；
根据当时，函数有最小值，即，则，即可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵二次函数对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，，故①②正确；
∵当时，，
∴，故③错误；
∴，即，故④正确；
∵二次函数开口向上，对称轴为直线，
∴当时，函数有最小值，即，
∴，
∴，故⑤错误；
∴故选B．
二、填空题（本题有6题，每小题5分，共30分）
11. 在一个不透明的袋子里装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其余完全相同，
通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计袋中的白球大约有________个
【答案】20
【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】设白球个数为x个，
∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，
∴口袋中得到红色球的概率为0.2，
∴，
解得：x=20，
经检验x=20是原方程的根，
故白球的个数为20个．
故答案为：20
12 . 在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），
那么，由此可知，B、C两地相距 m．
【答案】200
【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
数学兴趣小组测量校园内一棵树的高度，把镜子放在离树的点E处，
然后沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，在用尺子量的，
观察者目高，求树高为______m．
【答案】4.5
【解析】
【分析】先证明，得出，然后代入数据求值即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，解得：．
故答案为：4.5．
如图，折扇的骨柄长为30cm，扇面宽度为18cm，折扇张开的角度为120°，
则扇面外端的长为 cm，折扇扇面的面积为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据弧长计算公式可求出弧AB的长，再根据已知求出骨柄长减去扇面的宽，然后根据扇形面积计算公式计算即可．
【详解】解：如图所示：
∵OA=30cm，AC=18cm，
∴OC=12cm，
∵∠AOB=120°，
∴==20．
=300，
=48，
∴300-48=．
故答案为：20，．
如图是抛物线型拱桥，当拱顶高距离水面2m时，水面宽4m，如果水面上升1.5m，则水面宽度为 ．
【答案】2m
【分析】根据题意建立合适的平面直角坐标系，设出抛物线的解析式，从而可以求得水面的宽度增加了多少，本题得以解决．
【详解】解：如图建立平面直角坐标系，
设抛物线的解析式为y=ax2，
由已知可得，点（2，-2）在此抛物线上，
则-2=a×22， 解得，
∴，
当y=-0.5时，，
解得x=±1， 此时水面的宽度为2m，
故答案为：2m．
16 . 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，
将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；
再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．
若CF＝3，则tan＝ ．
【答案】
【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，
由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果．
【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2，
EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9，
由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，
∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，
∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°，
∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173，
∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125，
∴2x2﹣20x+173＝125，
解得，x＝4或6，
当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去，
∴CE＝C′E＝4，
∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2，
∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8，
∴tan∠B'AC′＝=．
故答案为：．
三、解答题（本题有8小题，共80分，解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
17. 如图，、相交于点，且，，，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】先证明得，从而即可求解．
【详解】解：，，
，
，
，
的长为．
18 .2022年冬奥会在中国北京举办，中国成为举办过五次各类奥林匹克运动会的国家．
小亮是个集邮爱好者，他收集了如图所示的三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同），
现将三张邮票背面朝上，洗匀放好．
(1)小亮从中随机抽取一张邮票是“冰墩墩”的概率是____________；
(2)小亮从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，
请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的概率．
（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
画树状图，共有6种等可能的结果，
其中抽到的两张邮票恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵三张邮票中有1张冰墩墩，
∴随机抽取一张邮票是“冰墩墩”的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如图：
共有6种等可能情况，其中抽到恰好是“冰墩墩”和“雪容融”的可能性有2种．
所以P（抽到的恰好是“冰墩墩”和“雪容融”）=．
19. 如图，在⊙O中，弦、相交于点P，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求．
【答案】(1)见解析
(2)4
【分析】（1）根据圆周角定理得出，再根据相似三角形的判定推出即可；
（2）根据相似得出比例式，再求出答案即可．
【详解】（1）∵，，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，，，
∴，
解得：或6，
当时，，
当时，，
∵，
∴．
20. 如图，一名男生推铅球，铅球行进高度 与水平距离之间的关系是：．
(1)求当铅球落地时推出有多远？
(2)铅球行进高度能否达到？为什么？
【答案】(1)
(2)铅球行进高度不能达到，最高能达到
【分析】（1）求出抛物线与x轴的交点横坐标即可得到答案；
（2）把抛物线的解析式化为顶点式，求出函数最大值即可做出判断．
【详解】（1）解：当 时，，
解得 ，（不合题意，舍去），
答：当铅球落地时推出有．
（2），
当时， 有最大值 ．
铅球行进高度不能达到，最高能达到 ．
21 . 如图是某种云梯车的示意图，云梯升起时，与底盘夹角为，
液压杆与底盘夹角为；已知：液压杆，当，时，
（1）求液压杆顶端B到底盘的距离的长；
（2）求的长．（参考数据：，，，）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由锐角三角函数可求解；
（2）利用锐角三角函数可求的长，即可求解．
【小问1详解】
在中，
∵，，
∴
∴，
【小问2详解】
在中，
∵，，
∴
∴，
在中，∵，，
∴
∴，
∴，
22. 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC上一动点，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)求AF长度的最小值．
【答案】(1)见解析
(2)5
【分析】(1)先利用等角的余角相等，证得∠BAE＝∠CEF，再结合∠B＝∠C＝90°，即可证得△ABE∽△ECF．
(2) 由勾股定理得，在Rt△ADF中，∠D＝90°，．
要求AF长度的最小值，即求DF长度的最小值，也就是求CF长度的最大值即可求解．
【详解】（1）证明：∵ 四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠C＝90°，
∴∠BAE＋∠BEA＝90°．
∵EF⊥AE，
∴∠AEF＝90°，
∴∠BEA＋∠CEF＝90°，
∴∠BAE＝∠CEF．
又∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECF．
（2）∵△ABE∽△ECF，
∴＝，
即CF＝．
设CE＝x，则BE＝4－x．
∴CF＝＝－（x－2）2＋1，
当x＝2时，CF取最大值1；
此时，DF取最小值3．
当DF＝3时，AF取最小值，．
∴AF长度的最小值为5．
23．如图，四边形ABCD为圆内接四边形，对角线AC、BD交于点E，延长DA、CB交于点F．
（1）求证：△FBD∽△FAC；
（2）如果BD平分∠ADC，BD＝5，BC＝2，求DE的长；
（3）如果∠CAD＝60°，DC＝DE，求证：AE＝AF．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析
【分析】（1）可得出∠ADB=∠ACB，∠AFC=∠BFD，则结论得证；
（2）证明△BEC∽△BCD，可得，可求出BE长，则DE可求出；
（3）根据圆内接四边形的性质和三角形的内角和定理进行证明AB=AF；根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理可证明AE=AB，则结论得出．
【详解】（1）证明：∵∠ADB＝∠ACB，∠AFC＝∠BFD，
∴△FBD∽△FAC；
（2）解：∵BD平分∠ADC，
∴∠ADB＝∠BDC，
∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠ACB＝∠BDC，
∵∠EBC＝∠CBD，
∴△BEC∽△BCD，
∴，
∴，
∴BE＝，
∴DE＝BD﹣BE＝5﹣＝；
（3）证明：∵∠CAD＝60°，
∴∠CBD=60°，∠ACD=∠ABD，
∵DC＝DE，
∴∠ACD=∠DEC，
∵∠ABC+∠ADC=∠ABC+∠ABF=180°，
∴∠FBD=180°，
∴∠ABF＝∠ADC=120°
＝120°﹣∠ACD
＝120°﹣∠DEC
＝120°﹣（60°+∠ADE）
＝60°﹣∠ADE，
而∠F＝60°﹣∠ACF，
∵∠ACF＝∠ADE，
∴∠ABF＝∠F，
∴AB＝AF．
∵四边形ABCD内接于圆，
∴∠ABD＝∠ACD，
又∵DE＝DC，
∴∠DCE＝∠DEC＝∠AEB，
∴∠ABD＝∠AEB，
∴AB＝AE．
∴AE＝AF．
24 . 已知：抛物线与x轴相交于，两点，与y轴相交于点C，
连接，点M为坐标平面内一点且横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；
（2）如图，当点M为抛物线上第一象限内的点时，连接
①求面积的最大值；
②过点M作垂足为N，当时，请求出点M的坐标．
【答案】（1）；
（2）①16，②
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法解答即可，根据解析式即可得出C的坐标；
（2）①过M作轴交于点E，设的解析式为，求出解析式，设，则，即可得出 ，根据，由二次函数的性质可得出答案；
②为使，只需即可，分两种情况：①当点M在上方时，②当点M在下方时，解出答案即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与x轴交于，两点，
代入得，，
解得：·
∴抛物线的表达式为；且．
【小问2详解】
解：
过M作轴交于点E，
设的解析式为，
将和代入得，，
解得，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，S取最大值，最大值为16．
（3）∵，，，
∴，，；
∴为直角三角形且，
∴为使，只需即可，
①当点M在上方时，如图，
，
∴，
∴点P的纵坐标为4．则，
解得：（舍）或，
即；
②当点M在下方时，如图，设交x轴于点H，
由可知,
在中，由，
∴，
∴，
则的解析式为．
联立方程解得．
综上，点P的坐标为或．
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