江苏省南京市江宁区2023-2024学年九年级上学期12月月考数学试题（含答案）

九年级数学第二次学科素养限时作业 2023．12
（总分120分 时间120分钟）
【注意】：本卷所有解答均写在答题卡相应位置上
一．选择题（每题2分，共12分）
1．下列函数是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点是线段的黄金分割点，若，则的长约为（ ）
A．0.382 B．3.82 C．0.618 D．6.18
3．在一个不透明的袋中装有5个球，其中2个红球，3个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出1个球，摸出红球的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．将二次函数的图象先向下平移1个单位，再向右平移2个单位，则平移后的二次函数的解析式为（ ）
A． B． C． D．
5．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（ ）
第5题
A． B．或 C． D．或
6．如图，以线段为边分别作直角三角形和等边三角形，其中．连接，当的长度最大时，此时的大小是（ ）
第6题
A． B． C． D．
二、填空题（每题2分，共20分）
7．若，则______．
8．设，是关于的方程的两个根，且，则的值为______．
9．某公司一月份的产值为200万元，二，三月份的产值总和为720万元，设公司每月产值的平均增长率为，则可列方程为_______．
10．用一个圆心角为，半径为12的扇形作一个圆雉的侧面，则这个圆雉的底面半径为______．
11．已知，若的三边分别长为6、8、10，的面积为96，则的周长为_______．
12．已知二次函数中，函数与自变量的部分对应值如表所示：
… －5 －4 －3 －2 －1 …
… －8 －3 0 1 0 …
当时，的取值范围是______．
13．如图，在边长为1的正方形网格中，A、B、C、D为格点，连接AB、CD相交于点E，则AE的长为______．
第13题
14．如图，内接于，外角的平分线交于点D，射线AD交CB延长线于点E．若
，，则的度数为______．
第14题图
15．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，AF是⊙O的直径，P是⊙O上的一点（不与点B，F重合），则
∠BPF的度数为_______．
第15题
16．关于x的方程（p为常数）有两个不相等的正根，则p的取值范围是______．
三、解答题（共88分）
17．（8分）解方程：
（1）； （2）．
18．（8分）某校从甲、乙两名同学中选拔一名，代表学校参加演讲比赛，如图是甲、乙两名学生在五次选拔比赛中的成绩情况：
甲演讲比赛成绩的折线统计图 乙演讲比赛成绩的条形统计图
根据以上信息，整理分析数据如下：
学生 平均数（分） 中位数（分） 方差（）
甲 8 3.6
乙 8
（1）_______，______，______；
（2）根据五次选拔比赛的成绩，你认为选谁较为合适？请说明理由．
19．（8分）为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池，过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指出其他垃圾，小明、小亮各投放了一袋垃圾．
（1）直接写出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；
（2）求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．
20．（8分）如图是的内接三角形，是弧的中点，交弦于点。
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（8分）已知二次函数（为常数）．
（1）求证：不论为何值，该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）若函数的图象与轴的两个公共点分别在原点的两侧，求的取值范围．
22．（10分）已知二次函数的函数值与自变量的部分对应值如下表：
… －2 －1 0 1 2 3 …
… 10 0 －6 －8 －6 0 …
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是______．
（3）该图像关于轴对称的函数图像的表达式为______．
23．（8分）如图，是的直径，射线交交于点．
（1）尺规作图：求作的中点．（保留作图痕迹）
（2）过点画垂足为．若，，求的面积．
24．（8分）如图，点为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点，是上一点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求半径的长．
25．（10分）某超市销售一种饮料，每瓶进价为9元，当每瓶售价为10元时，日均销售量为560瓶．经市场调查表明，每瓶售价每增加0.5元，日均销售量减少40瓶．
（1）当每 售价为11元时，日均销售量为______瓶；
（2）当每 售价为多少元时，所得日均总利润最大？最大日均总利润为多少元？
26．（12分）如图，在矩形中，，，动点在边上以每秒的速度由点向点运动，设动点运动的时间为，连接，过点作交边于点，延长至点，使得，连接，．
（1）当点由点运动到点时，点运动的路程为______；
（2）设的面积为，的面积为，求，与的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
（3）当所在直线经过中点时，求的值．
备用图
数学参考答案
一．选择题（每题2分，共12分）
1．C 2．B 3．A 4．C 5．D 6．A
二、填空题（每题2分，共20分）
7． 8．0
9． 10．5 11．48
12． 13． 14．40 15．54或126 16．
三、解答题（共64分）
17．（1）， （2），
18．（8分）（1）8，8，0.8；
（2）乙．可从平均数、中位数、方差来分析。（2分一空）
19．（1）（2分）垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，
小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：；
（2）（6分）如图所示：
由图可知，共有16种等可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为．（方法不唯一 可直接列举所有等可能结果。16种结果列对给3分）
20．（8分）
（1）证明：是的中点，
，，，
．（4分）
（2）解：，
， ，，
，，，
解得或（不符合题意，舍去），
的长是2．（4分）
21．（8分）
（1）令，．
因为，
所以方程有两个不相等的实数根．
所以该函数图像与轴总有两个公共点．
证法二：
当时，．
解这个方程，得，．
因为，所以方程有两个不相等的实数根．
所以该函数图像与轴总有两个公共点．
（2）解：当时，．解这个方程，得，．
函数图像与轴的交点的坐标为，．
因为函数图像与轴的两个公共点分别在原点的两侧，且，
所以且．解得．
22．（1）（4分）
（2）（2分）
（3）（2分）
23．（1）（方法不唯一）（4分）
（2）是的直径，，
，，，
，，
四边形为矩形，，
，
在中，，
的面积．（4分）
24．证明：（1）连接，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，，
点是上的一点，
是的切线；
（2）解：连接，
是的外接圆，，
是的直径，
，
四边形是正方形，
，
四边形是矩形，
，
，，
，
，
四边形是正方形，
，，，
，
．
25．（1）当每瓶的售价为11元时，日均销售量为瓶，故答案为：480；（2分）
（2）设每瓶的售价为元，日均利润为元，
则
，
当时，取得最大值，最大值为1280，
答：当每瓶售价为13元时，所得日均总利润最大，最大日均总利润为1280元．（6分）
26．（1）四边形为矩形，
，
，
，，
，，
，即，
解得，，
当时，有最大值4，
点运动的路程为：，
故答案为：8；（3分）
（2）如图1，过点作交的延长线于交的延长线于，
，，，，，，即，
解得，，，
则，
，
；（5分）
（3）点是的中点，
，，
，，
解得，，（不合题意，舍去），
当所在直线经过中点时，的值为．（4分）
图1