一次函数与一元一次方程
一、教学内容及其分析
（一）内容: 学习一次函数与一元一次方程的关系，根据它们的关系解决实际问题。
（二）分析: 《一次函数与一元一次方程》是人教版八年级数学第十四章第3节第一课时的教学内容。本章是在学生已有对一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不待式等的认识后,从变化和对应的角度,对一次运算进行更深入的讨论.本节的内容为:学习了一次函数后,回过头重新认识已经学过的一些其它数学概念,即通过讨论一次函数与方程（组）及不等式的关系,从运动变化的角度,用函数的观点加深对已经学习过的方程（组）及不等式等内容的认识,构建和发展相互联系的知识体系.
而本节课是用函数的观点重新看一元一次方程,这种再认识不是简单的复习回顾,而是站在更高的起点上的动态分析.通过本节的教学,不仅可以加深对方程的理解,而且可以加深对已经学过的相关内容之间联系的认识,加强知识间横向和纵向的联系,发挥函数对相关内容的统领作用,使新旧知识融会贯通从而进一步体现函数概念的重要性,加大分析问题的深度.
解方程及画函数的图象在之前都已经学习过,因此解方程及画函数的图象不是本节课的教学重点.本节课的教学重点应放在一次函数与一元一次方程的关系的理解上;难点则是利用一次函数图象确定一元一次方程的解.
二、教学目标及其分析
（一）教学目标
1. 理解一次函数与一元一次方程的关系；
2. 会根据一次函数的图象解决一元一次方程的求解问题；
（二）分析
1. 解一元一次方程学生已经学过,因此对学生来说,这并不是教学的重点,更不是难点.本节课主要是在学生已有的知识上发现一次函数与一元一次方程之间的关系,并用这种关系直接说出一元一次方程的解,即如何用函数的观点看一元一次方程.因此,在具体的教学过程中,应当侧重帮助学生形成观点,忽略画图象等已会环节,并通过较多的补充例题及课后练习,帮助学生抓住重点,理解函数与方程之间关系的本质所在.
2. 在学生理解了一次函数与一元一次方程的关系后,根据此关系解一元一次方程又是本节课的另一个教学重点,同时也是本节课的教学难点,在具体的教学中,应多举例,多练习.
3.本节课是以新带故的内容,其中多数内容学生并不生疏,所以这部分内容很适合探究式学习方式,在教学中应多注意加强学生学习的主动性,注意鼓励学生积极探究,教学中设计必要的铺垫,以便更好地启发诱导,让学生能在经过自己的分析来体验知识间的内在联系.
三、教学问题诊断分析
学生在理解一次函数与一元一次方程的关系过程中可能会遇到困难,具体表现在当方程的右边不为0时对应的一次函数的函数值应为多少呢?因为教科书中给出的方程是,一次函数是的值为0.要让学生克服这一困难,关键是让学生知道任何一个一元一次方程都可以将它化为的形式,若出现上述困难,可以先将方程进行转化,也可以从具体的例子出发,多观察、比较、模仿，从而克服可能遇到的困难.
四、信息技术使用条件
为了能够使本节课获得更好的教学效果,本节课可以采用多媒体辅助教学,帮助学生直观形象的发现一次函数与一元一次方程之间的关系,并能轻松理解它们之间的这种关系.
五、教学过程设计
(一) 教学基本流程
(二) 教学情景
（1）创设情境，引入新课
问题1: 老师为了检测小明的数学学习情况，编了四道测试题.
１.解方程2x+20=0
２.当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？
3.画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标;
4.问题① ②有何关系？ ① ③呢？
你能解答它们吗?动手试一试.
设计意图：通过已学过的简单的一元一次方程和一次函数引入新课，使学生人人都能参与，考虑到学生的认知水平，学生很难自发发现它们之间的联系，因此我作为学习活动的组织者和引导者，提出问题4作为线索，引导学生思考.
（2）自主探究，合作交流
师生活动:我们首先来思考上面提出的两个问题.在问题１中，解方程2x+20=0，得x=-10.解决问题２就是要考虑当函数y=2x+20的值为0时，所对应的自变量x为何值.这可以通过解方程2x+20=0，得出x= -10.因此问题①与问题②可以看作是同一个问题两种形式.
从函数图象上看，直线y=2x+20与x轴交点的坐标（-10，0），这也说明函数y=2x+20值为0对应的自变量x为-10，即方程2x+20=0的解是x=-10.
问题① ②是从数的角度看，问题③是从图形的角度看.
问题2: 先完成下面的问题,然后大家再来讨论思考并归纳概括出解一元一次方程与求自变量x为何值时，一次函数y=kx+b的值为0有什么关系？
1.方程ax+b=0（a、b为常数a≠0）的解是 ;
2.当x 时，一次函数y= ax+b( a≠0）的值0？
3.直线y= ax+b 与x轴的交点坐标是 .
活动设计意图: 通过三个紧紧相扣的问题，引导学生思考，使学生逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联.
教师活动: 引导学生从特殊事例中寻求一般规律,进而总结出一次函数与一元一次方程的内在联系，从思想上真正理解函数与方程的关系.
学生活动: 在教师引导下，通过自主合作，分析思考，找出这些具体问题中的一般规律，并经过讨论，归纳概括出较完整的关系，从而达到从思想上正确理解函数与方程关系的目的.
（3）归纳小结，思维升华
规律:
任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式.
而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）.当函数值为0时，即kx+b=0就与一元一次方程完全相同.
结论:
由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式.所以解一元一次方程可以转化为:当一次函数值为0时，求相应的自变量的值.
从图象上看，这又相当于“求直线y= ax+b 与x轴的交点的横坐标”.
[师]大家总结得很好！我们来试着看个问题，如何用函数的观点解决它．
巩固练习:
填空：
1.求函数y=3x-2的值为0时自变量x的值就是求方程_______的解。
2.求函数______的值为0时自变量x的值就是求方程8x-3=0的解。
3.求函数______的值为0时自变量x的值就是求方程8x-3=2的解。
活动设计意图:通过由特殊到一般，再由一般到特殊的过程，使学生进一步从数和形两个角度认识一次函数与一元一次方程的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程，也符合认知规律.
（4）应用例析
例1 一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？
解法1: 设再过x秒物体速度为17m/s.由题意可知:2x+5=17
解之得:x=6.
解法2: 由2x+5=17可变形得到:2x-12=0.
从图象上看，直线y=2x-12与x轴
的交点为（6，0）,得x=6.
解法3: 速度y（单位：米/秒）是时间x（单位：秒）的函数,其解析式为y=2x+5.当函数值为17时，对应的自变量x值可通过解方程2x+5=17,得到x=6.
由右图也可以看出当y =17时，x=6.
设计意图:这个题我们通过三种方法，从方程、图象等不同方面进行解答.它是数与形的完美结合，结果是相同的，这就是殊途同归,同时第三种解法也为后续学习一次函数与二元一次方程组作了铺垫.
例2 根据下列图像，直接说出一元一次方程的解？
活动设计意图:
通过这一活动让学生进一步熟悉用函数观点认识一元一次方程的问题，进而加深对数形结合思想的认识与理解.
教师活动:
引导学生通过解决问题掌握方法，提高认识，从思想上真正理解数形结合的重要性.
学生活动:
在教师引导下用不同的思维方法来解决这一问题，从思想上理解数与形的有机结合.
活动过程与结论:
练习：根据下列图像，直接说出一元一次方程的解？
1、
3.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（ ）
（5）畅谈体会，归纳小结
从数的角度看:
从形的角度看:
课件22张PPT。一次函数与一元一次方程问题牵引 提出问题自主探究 归纳结论巩固新知 综合运用回顾反思 升华提高 老师为了检测同学们的数学学习情况，编了四道测试题.问题①：解方程2x+20=0问题②：当x为何值时，函数y=2x+20的值0？问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与X轴交点的坐标？问题④：问题① ②有何关系？ ① ③呢？创设情景教学流程安排：一、问题牵引，提出问题二、自主探究，归纳结论1、探究新知2、再探新知问题①解方程2x+20=0 问题②当自变量x为何值时，函数y=2x+20的值为0？ 解：(1) 2x+20=0 (2) 当y=0时 ，即从“函数值”
角度看问题①与问题②可以看作是同一个问题两种形式.问题① ②有何关系？1、方程kx+b=0（k、b为常数k≠0）的解是？??????????????? 2、当x_______时，一次函数y=kx+b(k≠0)的值0？ 提出问题：解决问题：一次函数y=kx+b(k≠0)与方程___________解的关系：kx+b=0(k≠0)一次函数y=kx+b(k ≠0)中的函数值y=0时自
变量x= _____; 1、方程kx+b=0（k、b为常数k≠0）的解是？??????????????? 2、当x_______时，一次函数y=kx+b(k≠0)的值0？ 提出问题：解决问题：一次函数y=kx+b(k≠0)与方程___________解的关系：kx+b=0(k≠0)一次函数y=kx+b(k ≠0)中的函数值y=0时
自变量x= _____; 设计意图：通过两个紧紧相扣的问题，引导学生思考，使学生逐步学会从特殊到一般的归纳概括能力，进一步认识函数与一元一次方程的内在联系，培养了学生分析问题和解决问题的能力。结论：函数值y=0时x的值就是
一元一次方程kx+b=0(k≠0)的解。
练习：1.求函数y=3x-2的值为0时自变量x的值就是求方程_______的解。一、填空：2.求函数______的值为0时自变量x的值就是求方程8x-3=0的解。y=8x-33x-2=03.求函数______的值为0时自变量x的值就是求方程8x-3=2的解。y=8x-58x-5=0此处补充练习，了解理论知识的基础上，增加对此知识的形象了解。问题③：画出函数y=2x+20的图象，并确定它与x轴的交点坐标.（思考：直线y=2x+20与x轴交点坐标为（____,_____），这说明方程2x＋20＝0的解是x=_____）
从“函数图像”上看-10 0问题①：解方程2x+20=0问题①③有何关系？ 一次函数y=kx+b(k≠0)与方程___________解的关系：kx+b=0(k≠0) X轴一次函数y=kx+b(k ≠0)的图像与___交点的
____坐标。与X轴的交点坐标为_________。横观察函数y= ２ｘ+20 的图像, 可以看出当x=-10时，函数y= ２ｘ+20 的值为0. 即：x=-10时, y=2x+20 =0与x轴交点的横坐标的值即是方程的解问题：如何用图象来说明:当x为何值时，函数
ｙ＝２ｘ+20的值等于０？20-10
ｙ＝２ｘ+20再探新知问题牵引提出问题自主探索归纳结论巩固新知综合应用回顾反思升华提高（1）解方程2x+20=0
（3）画函数y=2x+20的图象，并标出与x轴交点的坐标。 设计意图：引导学生体会既可以运用函数图象解方程，也可以运用解方程帮助研究函数问题，二者互相渗透，互相作用。使学生里了解方程与函数的联系，培养学生良好的数形结合意识，发展学生的形象思维，同时培养和训练学生的识图能力，增强几何直观感觉。练习：根据下列图像，直接说出一元一次方程的解？方程的解是：X=-21.X=1方程的解是：2.X=2y=-3x+6x0y-16方程的解是：3.4.已知方程ax+b=0的解是-2，下列图像肯定不是直线y=ax+b的是（ ） ABCDB4个基础训练题，进一步训练学生的识图能力，巩固新知。一次函数与一元一次方程的关系求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解 X为何值时
y= ax+b的值为0数的角度求ax+b=0(a, b是
常数，a≠0)的解确定直线y= ax+b
与X轴交点的横坐标形的角度问题牵引提出问题自主探索归纳结论巩固新知综合应用回顾反思升华提高教学流程安排：一、问题牵引，提出问题二、自主探究，归纳结论三、巩固新知，综合运用例题例1一个物体现在的速度是5m/s，其速度每秒增加2m/s，再过几秒它的速度为17m/s？ （要求用两种方法解题） 解法1：设再过x秒物体的速度为17米/秒．列方程
2x+5=17．
解得 x=6．解法2：速度 y( 单位：m/s)是时间 x ( 单位：s) 的函数
y=2x+5
由
2x+5=17．
得
2x?12=0． (6,0)由图看出直线y = 2x?12 与x轴的交点为（6，0），得x=6．问题牵引提出问题自主探索归纳结论巩固新知综合应用回顾反思升华提高一次函数与一元一次方程的实际问题，是对本节课知识的概括和融合，训练学生运用新知的能力。Oy1．根据图象你能说出一元一次方程ax+b=3(a≠0)的解吗？ 注：求一元一次方程ax+b=3的解就是求函数值y=3时自变量x的值。X=0思考y=ax+by=ax+b例2：x2.根据图象你能直接说出一元一次方程kx+b=1(k≠0)的解吗？ 求kx+b=1的解就是求函数值y等于1时自变量x的值。X=-2y=kx+b巩固练习1、看图像直接写出方程kx+b=0
(k,b为常数k ≠0)的解x=______，
2、看图像直接写出方程kx+b=-1
(k，b为常数k≠0)的解x=____.
3、看图像直接写出方程kx+b=0(k，b为常数k≠0）
的解x=_______.
看图像直接写出方程kx+b=7（k、b为常数k≠0）
的解是x=_______.14-500从数的角度看：求ax+b=0（a≠0）的解X为何值时y=ax+b的值为0求ax+b=c（a≠0）的解求ax+b=0（a≠0）的解X为何值时y=ax+b的值为c确定直线y=ax+b与x轴的交点从形的角度看：通过这节课的学习，你有什么收获？问题牵引提出问题自主探索归纳结论巩固新知综合应用回顾反思升华提高回顾反思求ax+b=c（a≠0）的解确定直线y=ax+b与x轴的交点
