5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像 课件（共32张PPT）

(共32张PPT)
第五章
5.4.1 正弦函数、余弦函数的图像
学习目标
1.了解利用单位圆正弦函数的概念画正弦曲线的方法.(数学抽象)
2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤与方法,能利用“五点法”画出简单的正弦、余弦函数图象.(直观想象)
3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系.(逻辑推理)
思维导图
复习回顾
问题一：之前研究指数函数、对数函数的图像与性质的思路是什么？
研究思路：函数的定义、函数的图像、函数的性质。
问题二：绘制新函数图像的基本方法是什么？
绘制新函数图像的基本方法是描点法。
问题三：根据角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的图像，只 需要画出其在哪个区间的图像即可？
复习回顾
根据三角函数的定义，单位圆上任意一点在圆周上选转一周又回到原来的位置，，，其中。我们可以先画出函数的图像，再画出正弦函数的图像.
问题三：根据角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的图像，只 需要画出其在哪个区间的图像即可？
探究新知
问题四：描点法是画函数图像的基本方法，对于正弦函数，大家想取哪些点， 怎样去描点画图呢？
对于自变量在上随意选取一些值，然后通过计算器计算出函数值，再在平面直角坐标系上描点连线，可行吗？
可行，但是尽量选择比较熟悉的特殊角，如等。
探究新知
1
-1
0
y
x
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
●
探究新知
问题五：根据正弦函数的图像，你能想象正弦函数
的图像吗？依据是什么？请画出该函数的图像。
根据公式一，可知函数，的图像与的图像形状完全一致。
因此只需要将函数的图像不断的向左、向右平移（每次移动个单位长度），就可以得到正弦函数的图像。
探究新知
正弦函数的图像叫做“正弦曲线”，是一条“波浪起伏”的连续的平滑曲线.
探究新知
问题六：对函数的研究，能够快速又比较准确的的作出其简图，往往起重要的作用。那么在画函数的简图时，需要抓住哪些关键点？
五点作图法：
探究新知
问题七：我们已经能够作出正弦函数的图像，你能作出余弦函数的图像吗？
五点作图法：
知识梳理
由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切相关的函数，诱导公式已经表明，余弦函数和正弦函数可以互化。所以余弦函数的图像也可以由正弦函数的图像通过平移变换得到。由诱导公式得，即将正弦函数的图像向左平移个单位长度，就能得到余弦函数的图像。
知识梳理
余弦函数的图像叫做“余弦曲线”，它是与正弦曲线具有相同形状的“波浪形”曲线。
学以致用
题型一：用“五点法”作三角函数的图像
例1用“五点法”作出下列函数的图象:
学以致用
0 1 0 -1 0
-1 0 -1 -2 -1
(1)列表
描点、连线如图：
学以致用
1 0 -1 0 1
1 1
(2)列表：
描点、连线,得到函数如图：在区间[0,2]上的图像，再将该图像向左平移2个单位长度即可得到函数在区间[-2,2]上的图像，如图：
学以致用
作形如y＝asin x＋b(或y＝acos x＋b)，x∈[0,2π]的图象的三个步骤
反思感悟
学以致用
跟踪联系1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.
解　(1)取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
(2)描点连线，如图所示.
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题型二：用“图像变换法”作三角函数的图像
学以致用
解
(1)作出函数y=cos x的图象,再将该图象关于x轴对称,得到函数y=-cos x的图象,最后将该图象向上平移1个单位长度,即得函数y=1-cos x的图象(如图1).
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反思感悟 图象变换的规律
1.平移变换
(1)函数y=f(x+a)的图象是由函数y=f(x)的图象向左(a>0)或向右(a<0)平移|a|个单位长度得到的;
(2)函数y=f(x)+b的图象是由函数y=f(x)的图象向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|个单位长度得到的.
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2.对称变换
(1)函数y=|f(x)|的图象是将函数y=f(x)的图象在x轴上方的部分不动,下方的部分对称翻折到x轴上方得到;
(2)函数y=f(|x|)的图象是将函数y=f(x)的图象在y轴右边的部分不动,并将其对称翻折到y轴左侧得到;
(3)函数y=-f(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于x轴对称;
(4)函数y=f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于y轴对称;
(5)函数y=-f(-x)的图象与函数y=f(x)的图象关于原点对称.
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题型三：正弦函数、余弦函数图像的应用
方向一：利用正弦（余弦）函数图像解三角不等式
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(2) 在同一平面直角坐标系中,作函数y=sin x和y=lg x的图象,根据图象判断出方程sin x=lg x的解的个数.
解 用五点法作出函数y=sin x,x∈R的图象.描出点(1,0),(10,1),
并用光滑曲线连接得到y=lg x的图象,如图所示.
由图象可知方程sin x=lg x的解有3个.
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反思感悟
1.用三角函数的图象解sin x>a(或cos x>a)的方法
(1)作出y=a,y=sin x(或y=cos x)的图象.
(2)确定sin x=a(或cos x=a)的x值.
(3)确定sin x>a(或cos x>a)的解集.
2.判断方程解的个数，或由方程解的个数确定参数的取值范围，可利用图象解题，当方程含有正、余弦函数时，可借助正、余弦曲线探究问题的解法．
数形结合思想是一种重要的数学思想,在研究方程的根以及根的个数问题时,若方程中涉及的函数是基本初等函数,其图象容易作出,这时可以将方程的根转化为函数图象的交点,通过数形结合解决问题,使抽象的代数问题获得直观形象地解决.
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跟踪训练2 （1）
（2）方程x2－cos x＝0的实数解的个数是 ．
学以致用
（1）
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（2）作函数y＝cos x与y＝x2的图象，如图所示，由图象可知原方程有两个实数解．
课堂小结
1.知识清单：
(1)通过单位圆画正弦函数图象；
(2)通过平移得余弦函数的图象；
(3)五点法作图；
(4)函数图象的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：五点的选取；平移得余弦函数的图象.
本 课 结 束