广东省2024年1月高中合格性学业水平考试数学模拟测试02（含解析）
文档属性
| 名称 | 广东省2024年1月高中合格性学业水平考试数学模拟测试02（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 830.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-31 07:41:59 | ||
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文档简介
2024年1月广东高中学业水平考试模拟试卷02
一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合则=（ ）
A. B. C. D.
2、函数的定义域是（ ）.
A. B.（-∞，] C.（，0) D.
3、若复数，则复数z的虚部为（ ）.
A．5 B．-5 C．5 D．-5
4、已知,则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
5、已知，则（ ）
A． B． C． D．
6、不等式的解集是（ ）.
A． B．
C． D．
7、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）
A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13
8、若，则有（ ）.
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
9、下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10、已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
11、下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
12、若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13、若a＞1，则a＋的最小值是 ．
14、命题“”的否定是__________.
15、已知复数z满足，则z＝__________.
16、已知向量、，满足，且，则______.
17、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
18、已知样本数据x1，x2，…，xn的均值 ＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
19、设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos B＝3，bsin A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．
20、某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，
求：分数在的学生人数；
这50名学生成绩的中位数精确到；
若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．
21、在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
22、如图，长方体中，，E为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：.
2024年1月广东高中学业水平考试模拟试卷02
一．选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合则=（ ）
A. B. C. D.
答案：A.
2、函数的定义域是（ ）.
A. B.（-∞，] C.（，0) D.
答案：D.
3、若复数，则复数z的虚部为（ ）.
A．5 B．-5 C．5 D．-5
答案：B
4、已知,则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
5、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先将根据二倍角公式化简即可求值.
详解：由题可得：=3.故选D.
点睛：考查三角函数的二倍角公式的运用，属于基础题.
6、不等式的解集是（ ）.
A． B．
C． D．
答案：C.
7、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）
A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13
【答案】D
【解析】根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.
详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，
所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，
第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，
所以中位数是，故选D.
点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
8、若，则有（ ）.
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
【答案】A
【详解】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值6.故选：A.
9、下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根式化简及零指数意义.
【详解】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确.故选：D.
【点睛】根式化简注意根指数的奇偶性.
10、已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用诱导公式可得，再利用三角函数的定义求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
所以.故选D.
【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.
11、下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
12、若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】分类讨论、分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求m的值；
【详解】函数在上：
当时，单调递减：最大值为，最小值，即有；
当时，单调递增：最大值为，最小值，即有；
综上，有或；故选：D
【点睛】本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值.
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13、若a＞1，则a＋的最小值是 ．
【答案】3
【解析】原式＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
14、命题“”的否定是__________.
【答案】“”
【详解】命题“”的否定是“”。
故答案为：
15、已知复数z满足，则z＝__________.
【答案】2-i
16．已知向量、，满足，且，则______.
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】由平面向量数量积的运算性质可得.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力.
17．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【答案】
【解析】 4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝.
18、已知样本数据x1，x2，…，xn的均值 ＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
【答案】 11
【解析】 因为样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，
则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1)＝[2(x1＋x2＋…＋xn)＋n]＝2×(x1＋x2＋…＋xn)＋1＝2＋1＝11.
三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
19.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos B＝3，bsin A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．
【解析】(1)由已知：acos B＝3，bsin A＝4，∴＝，即·＝.①
由正弦定理知＝代入①式得：·＝，∴sin B＝cosB．
由acos B＝3＞0知：B为锐角．
根据sin2B＋cos2B＝1，得＋cos2B＝1，∴cos B＝，∴sin B＝，∴a＝＝5.
(2)设△ABC底边BC上的高为h，则h＝csin B，∴△ABC面积：S＝·BC·h＝·a·csin B，
∴acsin B＝10，∴c＝＝5.
根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝52＋52－2×5×5×＝20，
∴b＝2，∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝10＋2.
20．某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，
求：分数在的学生人数；
这50名学生成绩的中位数精确到；
若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．
【答案】（1）3人； （2）76.7； （3）.
【解析】
由所有的矩形面积和为1可得：分数在的频率为，
故分数在的人数是50×0.06=3人，
，故中位数落在第四组，
则中位数为70+=76.7;
分数在的有2人，记为a，b，在共有3人，记为c，d，e，
从分数在的5名学生任选2人的方法有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，
两人来自不同组的有ac、ad、ae、bc、bd、be共6种，
两人来自不同组的概率
21、在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
21．
【分析】由即可解出．
【详解】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍．
22．如图，长方体中，，E为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：.
【详解】（Ⅰ）证明：连接交于，连接.
在长方体中，，
∴底面是正方形，∴.∵，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（Ⅱ）证明：在长方体中，平面，
又平面∴.由（Ⅰ）知，是正方形，∴.
又，∴平面.∵平面，∴.
一、选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合则=（ ）
A. B. C. D.
2、函数的定义域是（ ）.
A. B.（-∞，] C.（，0) D.
3、若复数，则复数z的虚部为（ ）.
A．5 B．-5 C．5 D．-5
4、已知,则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
5、已知，则（ ）
A． B． C． D．
6、不等式的解集是（ ）.
A． B．
C． D．
7、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）
A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13
8、若，则有（ ）.
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
9、下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10、已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
11、下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
12、若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13、若a＞1，则a＋的最小值是 ．
14、命题“”的否定是__________.
15、已知复数z满足，则z＝__________.
16、已知向量、，满足，且，则______.
17、袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
18、已知样本数据x1，x2，…，xn的均值 ＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
19、设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos B＝3，bsin A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．
20、某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，
求：分数在的学生人数；
这50名学生成绩的中位数精确到；
若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．
21、在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
22、如图，长方体中，，E为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：.
2024年1月广东高中学业水平考试模拟试卷02
一．选择题:（本大题共12小题，每小题6分，共72分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知集合则=（ ）
A. B. C. D.
答案：A.
2、函数的定义域是（ ）.
A. B.（-∞，] C.（，0) D.
答案：D.
3、若复数，则复数z的虚部为（ ）.
A．5 B．-5 C．5 D．-5
答案：B
4、已知,则的最大值为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
5、已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】先将根据二倍角公式化简即可求值.
详解：由题可得：=3.故选D.
点睛：考查三角函数的二倍角公式的运用，属于基础题.
6、不等式的解集是（ ）.
A． B．
C． D．
答案：C.
7、如图所示是一样本的频率分布直方图，则由图形中的数据，可以估计众数与中位数分别是（ ）
A．12.5；12.5 B．13；13 C．13；12.5 D．12.5；13
【答案】D
【解析】根据频率分布直方图中众数与中位数的定义和计算方法，即可求解频率分布直方图的众数与中位数的值.
详解：由题意，频率分布直方图中最高矩形的底边的中点的横坐标为数据的众数，
所以中间一个矩形最该，故数据的众数为，
而中位数是把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于轴的直线横坐标，
第一个矩形的面积为，第二个矩形的面积为，故将第二个矩形分成即可，
所以中位数是，故选D.
点睛：本题主要考查了频率分布直方图的中位数与众数的求解，其中频率分布直方图中小矩形的面积等于对应的概率，且各个小矩形的面积之和为1是解答的关键，着重考查了推理与计算能力.
8、若，则有（ ）.
A．最小值 B．最小值
C．最大值 D．最大值
【答案】A
【详解】因为，由基本不等式可得，
当且仅当时，等号成立，所以，当时，则有最小值6.故选：A.
9、下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】根式化简及零指数意义.
【详解】对于A，，当为负数时等式不成立，故A不正确；
对于B，，当时无意义，故B不正确；
对于C，，左边为正，右边为负，故C不正确；
对于D，，故D正确.故选：D.
【点睛】根式化简注意根指数的奇偶性.
10、已知角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】利用诱导公式可得，再利用三角函数的定义求解即可.
【详解】因为角的终边经过点，所以.
所以.故选D.
【点睛】本题考查三角函数的定义和诱导公式，是一道基础题，解题时要注意符号.
11、下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】依次判断函数的值域和奇偶性得到答案.
【详解】A. ，值域为，非奇非偶函数，排除；
B. ，值域为，奇函数，排除；C. ，值域为，奇函数，满足；
D. ，值域为，非奇非偶函数，排除；故选：.
【点睛】本题考查了函数的值域和奇偶性，意在考查学生对于函数知识的综合应用.
12、若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m ，实数m的值为（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【解析】分类讨论、分别对应单调减函数、单调增函数，结合已知最值情况即可求m的值；
【详解】函数在上：
当时，单调递减：最大值为，最小值，即有；
当时，单调递增：最大值为，最小值，即有；
综上，有或；故选：D
【点睛】本题考查了指数函数的性质，根据指数函数的单调性，结合已知最值求参数值.
填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分）
13、若a＞1，则a＋的最小值是 ．
【答案】3
【解析】原式＝a－1＋＋1≥2＋1＝3.
14、命题“”的否定是__________.
【答案】“”
【详解】命题“”的否定是“”。
故答案为：
15、已知复数z满足，则z＝__________.
【答案】2-i
16．已知向量、，满足，且，则______.
【答案】
【分析】利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】由平面向量数量积的运算性质可得.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积的运算性质计算平面向量的数量积，考查计算能力.
17．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．
【答案】
【解析】 4只球分别记为白、红、黄1、黄2，则从中一次摸出2只球所有可能的情况有：白红、白黄1、白黄2、红黄1、红黄2、黄1黄2，共6种情况，其中2只球颜色不同的有5种，故P＝.
18、已知样本数据x1，x2，…，xn的均值 ＝5，则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
【答案】 11
【解析】 因为样本数据x1，x2，…，xn的均值＝5，
则样本数据2x1＋1，2x2＋1，…，2xn＋1的均值为(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1)＝[2(x1＋x2＋…＋xn)＋n]＝2×(x1＋x2＋…＋xn)＋1＝2＋1＝11.
三、解答题（本大题共4个大题，第19－21题各10分，第22题12分，共42分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
19.设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acos B＝3，bsin A＝4.
(1)求边长a；
(2)若△ABC的面积S＝10，求△ABC的周长．
【解析】(1)由已知：acos B＝3，bsin A＝4，∴＝，即·＝.①
由正弦定理知＝代入①式得：·＝，∴sin B＝cosB．
由acos B＝3＞0知：B为锐角．
根据sin2B＋cos2B＝1，得＋cos2B＝1，∴cos B＝，∴sin B＝，∴a＝＝5.
(2)设△ABC底边BC上的高为h，则h＝csin B，∴△ABC面积：S＝·BC·h＝·a·csin B，
∴acsin B＝10，∴c＝＝5.
根据余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B＝52＋52－2×5×5×＝20，
∴b＝2，∴△ABC的周长l＝a＋b＋c＝10＋2.
20．某校高三年级50名学生参加数学竞赛，根据他们的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图，已知分数在的矩形面积为，
求：分数在的学生人数；
这50名学生成绩的中位数精确到；
若分数高于60分就能进入复赛，从不能进入复赛的学生中随机抽取两名，求两人来自不同组的概率．
【答案】（1）3人； （2）76.7； （3）.
【解析】
由所有的矩形面积和为1可得：分数在的频率为，
故分数在的人数是50×0.06=3人，
，故中位数落在第四组，
则中位数为70+=76.7;
分数在的有2人，记为a，b，在共有3人，记为c，d，e，
从分数在的5名学生任选2人的方法有：ab、ac、ad、ae、bc、bd、be、cd、ce、de，共10种，
两人来自不同组的有ac、ad、ae、bc、bd、be共6种，
两人来自不同组的概率
21、在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系表达式为.当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可以达到12？
21．
【分析】由即可解出．
【详解】令，所以，即燃料质量是火箭质量的倍．
22．如图，长方体中，，E为的中点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：.
【详解】（Ⅰ）证明：连接交于，连接.
在长方体中，，
∴底面是正方形，∴.∵，∴.
又∵平面，平面，∴平面.
（Ⅱ）证明：在长方体中，平面，
又平面∴.由（Ⅰ）知，是正方形，∴.
又，∴平面.∵平面，∴.
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