(共57张PPT)
统计与概率
统计
概率
数据的收集
数据代表
数据分析图(表)
调查方式：全面调查、抽样调查
平均数、中位数、众数、方差
特点
应用
相关概念：总体、个体、样本、样本容量
事件的分类
概率的计算
确定事件
随机事件
频数与频率
常见统计图的特点
统计的一般过程
河南9年真题子母题
2
1
考点精讲
第一节 统 计
课标要求
考情及趋势分析
命题点2 样本估计总体(2023.13)
体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差．(2022年版课标表述调整)
考情分析 年份 题号 题型 分值 涉及知识点 设问
2023 13 填空题 3 扇形统计图的分析 估计不低于300 cm的“无絮柳”品种苗有多少棵
课标要求
1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述；(2022年版课标将“了解”调整为“知道”)
2. 会计算一组数据的离差平方和．(2022年版课标新增)
命题点3 平均数、中位数和众数的计算(9年11考)
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 数据个数 背景 考查形式 考查知识点 设问
2023 17(1) 解答题 2 10 从甲、乙两家快递公司选一家合作配送樱桃 一组数据 中位数 表格中的中位数是
2022 7 选择题 3 5 课后延时服务打分 与扇形统计图结合 众数 所打分数的众数
2022 17(1) 解答题 2 50 航空航天知识掌握情况 一组数据 中位数 测试成绩的中位数是
考情分析 年份 题号 题型 分值 数据个数 背景 考查形式 考查知识点 设问
2021 17(1) 解答题 2 500 了解学生睡眠时间情况 条形统计图＋扇形统计图 中位数 平均每天睡眠时间的中位数落在第几组
2020 17(1) 解答题 2 20 山药粉加工厂对甲、乙两台不同品牌的分装机的选择 一组数据 中位数 表格中的中位数是
2019 7 选择题 3 4 销售矿泉水 与扇形统计图结合 加权平均数 销售矿泉水的平均单价
考情分析 年份 题号 题型 分值 数据个数 背景 考查形式 考查知识点 设问
2019 18(2) 解答题 2 50 了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况 频数分布直方图＋一组数据 中位数 表格中的中位数是
2018 5 选择题 3 5 河南省2013～2017年旅游收入同比增速 一组数据 中位数、众数、平均数、方差的计算 下列说法正确的是
2017 5 选择题 3 6 6次数学小测验的成绩 一组数据 众数、中位数的计算 6次成绩的众数和中位数分别是
考情分析 年份 题号 题型 分值 数据个数 背景 考查形式 考查知识点 设问
2016 17(3) 解答题 2 20 “健步走运动”成员一天行走的步数 频数分布直方图＋一组数据 中位数 行走步数的中位数落在哪一组
2015 6 选择题 3 3 招聘测试笔试、面试、技能操作得分 一组数据 加权平均数 小王的成绩是
【考情总结】解答题涉及考查的知识点均为中位数．
课标要求
1. 理解平均数的意义，能计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述；(2022年版课标将“了解”调整为“知道”)
2. 理解中位数、众数的意义；(2022年版课标新增)
3. 体会刻画数据离散程度的意义，会计算简单数据的方差．
命题点4 方差的应用(9年3考)
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 考查形式 考查知识点 设问
2023 17(1) 解答题 2 从甲、乙两家快递公司选一家合作配送樱桃 一组数据 方差的大小比较 甲、乙方差的大小比较
2021 13 填空题 3 甲、乙两个厂家提供货源 与折线统计图结合 方差的意义 更符合规格要求的厂家
2016 7 选择题 3 四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差 与表格结合 平均数和方差的意义 选择成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛
课标要求
1. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据；
2. 会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据；
3. 通过实例，了解频数和频数分布的意义，能画频数直方图，能利用频数直方图解释数据中蕴涵的信息；
4. 通过表格、折线图、趋势图等，感受随机现象的变化趋势；
5. 经历收集、整理、描述和分析数据的活动，了解数据处理的过程；能用计算器处理较为复杂的数据；
命题点5 统计图(表)的分析(9年9考)
6. 体会样本与总体关系，知道可以通过样本平均数、样本方差推断总体平均数和总体方差；(2022年版课标表述调整)
7. 能解释统计结果，根据结果作出简单的判断和预测，并能进行交流；
8. 会计算四分位数，了解四分位数与箱线图的关系，感悟百分位数的意义；(2022年版课标新增)
9. 经历数据分类的活动，知道按照组内离差平方和最小的原则对数据进行分类的方法．(2022年版课标新增)
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 统计图形式 设问及考查知识点
2023 17 解答题 9 从甲、乙两家快递公司选一家合作配送樱桃 两组数据＋折线统计图 (1)填空：中位数的计算、方差的大小比较；(2)(3)开放性设问
2022 17 解答题 9 航空航天知识掌握情况 频数分布表＋一组数据 (1)填空：中位数的计算、百分比；(2)考查中位数的意义；(3)开放性设问
2021 17 解答题 9 了解学生睡眠时间情况 频数分布直方图＋扇形统计图 (1)填空：中位数的计算、百分比；(2)开放性设问
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 统计图形式 设问及考查知识点
2020 17 解答题 9 山药粉加工厂对甲、乙两台不同品牌的分装机的选择 数据记录＋频数分布表＋统计量表格 (1)填空：中位数的计算、不合格率；(2)方差的意义
2019 18 解答题 9 了解七、八年级学生对“防溺水”安全知识的掌握情况 数据记录＋频数分布直方图＋统计量表格 (1)填空：频数；(2)中位数的计算；(3)中位数的意义；(4)样本估计总体
2018 17 解答题 9 了解市民对治理杨絮方法的赞同情况 扇形统计图＋条形统计图 (1)填空：样本容量；(2)填空：圆心角度数；(3)补全条形统计图；(4)样本估计总体
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 统计图形式 设问及考查知识点
2017 17 解答题 9 了解同学们每月零花钱的数额 统计表＋扇形统计图 (1)填空：样本容量、频数、扇形统计图中百分比；(2) 圆心角度数；(3)样本估计总体
2016 17 解答题 9 “健步走运动”成员一天行走的步数 一组数据＋频数分布表＋频数分布直方图 (1)填空：频数的计算，考查数据的整理；(2)补全频数分布直方图；(3)中位数的计算；(4)样本估计总体
2015 18 解答题 9 了解市民获取新闻的最主要途径 扇形统计图＋条形统计图 (1)填空：计算样本容量；(2)填空：计算圆心角度数；(3)补全条形统计图；(4)样本估计总体
【考情总结】
1. 题型均为解答题，从2019年开始考查数据的收集分析与整理，数据代表的应用；
2. 2023年涉及2个开放性设问．
命题趋势·新考法分析
相较封闭性试题，开放性试题更能给考生提供在问题解决中主动创造的机会，更强调考生的建构性反应，更能够为考查高层次思维创造条件…开放性试题更有利于对核心素养的考查，更加符合新课程的评价理念，其中提出合理化的建议、给出合理化的评价、制定合理化的标准近两年常在统计题中考查，结论必须是合理化的，例如：2023 台州第22题，2023甘肃省卷第23题等.
数据的收集
数据的分析
统 计
常见统计图
(表)的特点
频数与频率
调查方式
全面调查
抽样调查
频数
频率
扇形统计图
条形统计图
频数分布直方图
频数分布表
折线统计图
数据的代表
数据的波动:方差
相关概念
平均数
中位数
众数
考点精讲
数据的收集
调查方式
类别 定义 适用范围
全面调查 考察全体对象的调查叫做全面调查 当调查的范围小、调查不具有破坏性、数据要求准确、全面时，如乘飞机安检
抽样调查 抽取一部分对象进行调查，然后根据调查数据推断全体对象的情况，这种方法称为抽样调查 当所调查对象涉及面大、范围广或受条件限制或具有破坏性等时，如调查中学生对数学传统文化的了解情况
数据的分析
数据的代表
相关概念：总体、个体、样本、样本容量
某中学读书社为了解全校学生阅读名著的数量，随机抽查学校300名学生阅读名著的数量，本次调查活动的总体是________________________，个体是___________________________，样本是________________________，样本容量是_________
平均数
算术平均数： ＝___________________
加权平均数： ＝_____________________，其中f1， f2，…， fk分别
表示x1，x2，···，xk出现的次数，n＝f1＋f2＋···＋fk
特点：唯一能反映一组数据的平均水平的值，与数据的排列位置__________，容易受极大值或极小值的影响
应用：根据两组数据的平均值评价哪组数据的整体水平好
全校学生阅读名著的数量
全校每名学生阅读名著的数量
300名学生阅读名著的数量
300
(x1＋x2＋…＋xn)
(x1f1＋x2f2＋…＋xkfk)
无关
数据的分析
数据的代表
中位数
1.排列：将一组数据按照大小顺序排列
2.数个数：如果数据的个数是奇数，则中位数是 的数；如
果数据的个数是偶数，则中位数是中间两个数据的______
特点：同时去掉一组数据的一个最大值和一个最小值，中位数_______
应用：判断某个数据在某组数据中所处的位置，比中位数大，位于前50%；比中位数小，位于后50%
众数
一组数据中出现次数 的数据，一组数据中，众数可能不止一个，也可能没有，众数一定是原数据
特点：表示一组数据中出现次数 的数据，能够反映一组数据
的集中程度
应用：“最受欢迎”“最满意”“最受关注”等都与众数有关
最中间位置
平均数
不变
最多
最多
数据的分析
数据的波动：方差
公式：s2＝ [(x1－ )2＋(x2－ )2＋…＋(xn－ )2]
意义：方差越大，数据的波动越 ，反之也成立
应用：在平均数相同的情况下，比较两组数据的稳定性(被调查的每
个数据增加同一个数值，该组数据的方差 )
频数与频率
频数：数据分组后落在各小组内数据的个数，频数之和等于数据总数频率：每一组数据频数与数据总数的比，频率之和等于___________
大
不变
1
常见统计图(表)的特点
名称 图(表)中所含信息 优点
扇形 统计图 1. 各百分比之和等于____________ 2. 圆心角的度数＝百分比×_______ 能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比
条形 统计图 各组数量之和等于抽样数据总数 (样本容量) 能清楚地表示出每个项目的具体数目，反映事物某一阶段属性的大小变化
1
360°
常见统计图(表)的特点
名称 图(表)中所含信息 优点
频数分布直方图 1. 各组频数之和等于抽样数据总数(样本容量) 2. 各组频率之和等于___________ 3. 数据总数×各组的频率＝相应组的___________ 能清楚地表示出收集或调查到的数据，能显示出各频数分布情况以及各组频数之间的差异
频数 分布表 各组频率之和等于______________
折线 统计图 各组数据之和等于抽样数据总数(样本容量) 能清楚地反映事物的变化趋势
1
频数
1
河南9年真题子母题
1
命题点
调查方式的判断
1.要调查下列问题，适合采用全面调查(普查)的是( )
A. 中央电视台《开学第一课》的收视率
B. 某城市居民6月份人均网上购物的次数
C. 即将发射的气象卫星的零部件质量
D. 某品牌新能源汽车的最大续航里程
C
2
命题点
样本估计总体2023.13
2. (2023河南13题3分)某林木良种繁育试验基地为全面掌握“无絮杨”品种苗的生长规律，定期对培育的1 000棵该品种苗进行抽测．如图是某次随机抽测该品种苗的高度x(cm)的统计图，则此时该基地高度不低于300 cm的“无絮杨”品种苗约有________棵．
第2题图
280
3
命题点
平均数、中位数和众数的计算9年5考
3. (2022河南7题3分)如图所示的扇形统计图描述了某校学生对课后延时服务的打分情况(满分5分)，则所打分数的众数为( )
A. 5分 B. 4分 C. 3分 D. 45%
第3题图
B
4. (2021河南7题3分)某超市销售A，B，C，D四种矿泉水，它们的单价依次是5元、3元、2元、1元．某天的销售情况如图所示，则这天销售的矿泉水的平均单价是( )
A. 1.95元 B. 2.15元
C. 2.25元 D. 2.75元
C
第4题图
5. (2022河南5题3分)八年级某同学6次数学小测验的成绩分别为：80分，85分，95分，95分，95分，100分，则该同学这6次成绩的众数和中位数分别是( )
A. 95分，95分
B. 95分，90分
C. 90分，95分
D. 95分，85分
A
6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试、面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2∶3∶5的比例确定成绩，则小王的成绩是( )
A. 255分 B. 84分
C. 84.5分 D. 86分
D
7. 河南省旅游资源丰富，2013～2017年旅游收入不断增长，同比增速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%.关于这组数据，下列说法正确的是( )
A. 中位数是12.7%
B. 众数是15.3%
C. 平均数是15.98%
D. 方差是0
B
4
命题点
方差的应用9年2考
8.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：
甲 乙 丙 丁
平均数(cm) 185 180 185 180
方差 3.6 3.6 7.4 8.1
根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
A
9. (2021河南13题3分)某外贸公司要出口一批规格为200克/盒的红枣，现有甲、乙两个厂家提供货源，它们的价格相同，品质也相近．质检员从两厂的产品中各随机抽取15盒进行检测，测得它们的平均质量均为200克，每盒红枣的质量如图所示．则产品更符合规格要求的厂家是________(填“甲”或“乙”)．
第9题图
甲
5
命题点
统计图(表)的分析9年9考
10. (2023河南17题9分)蓬勃发展的快递业，为全国各地的新鲜水果及时走进千家万户提供了极大便利．不同的快递公司在配送、服务、收费和投递范围等方面各具优势．樱桃种植户小丽经过初步了解，打算从甲、乙两家快递公司中选择一家合作，为此，小丽收集了10家樱桃种植户对两家公司的相关评价，并整理、描述、分析如下：
a. 配送速度得分(满分10分)：
甲：6 6 7 7 7 8 9 9 9 10
乙：6 7 7 8 8 8 8 9 9 10
b．服务质量得分统计图(满分10分)：
第10题图
c．配送速度和服务质量得分统计表：
项目 统计量 快递 公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的m＝________； ________ (填“>”“＝”或“<”)；
【解法提示】根据甲配送速度的得分正中间的是7和8，
故中位数m＝ ＝7.5，
由题图可知，甲服务质量得分波动比乙服务质量波动的小，
故 ＜ .
解：(1)7.5，＜；(4分)
第10题图
(2)综合上表中的统计量，你认为小丽应选择哪家公司？请说明理由；
(2)我认为小丽应该选择甲公司，理由如下：∵甲公司的服务质量得分的方差小于乙公司，∴甲公司的服务质量比较稳定；(答案不唯一，合理即可)(7分)
项目 统计量 快递 公司 配送速度得分 服务质量得分 平均数 中位数 平均数 方差
甲 7.8 m 7
乙 8 8 7
(3)为了从甲、乙两家公司中选出更合适的公司，你认为还应收集什么信息(列出一条即可)
(3)还应该收集两个公司的收费标准．(答案不唯一，合理即可)(9分)
11. (2022河南17题9分)2022年3月23日下午，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号乘组航天员翟志刚、王亚平、叶光富相互配合进行授课，这是中国空间站的第二次太空授课，被许多中小学生称为“最牛网课”．某中学为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，随机抽取 50名学生进行测试，并对成绩(百分制)进行整理，信息如下：
a.成绩频数分布表：
成绩x(分) 50≤x＜60 60≤x＜70 70≤x＜80 80≤x＜90 90≤x≤100
频数 7 9 12 16 6
b.成绩在70≤x＜80这一组的是(单位：分)：
70 71 72 72 74 77 78 78 78 79 79 79
根据以上信息，回答下列问题：
(1)在这次测试中，成绩的中位数是________分，成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为________；
【解法提示】根据信息可知：将50名学生的成绩按从小到大的顺序排列，第25个，第26个数分别为78，79，
∴这次测试的成绩的中位数为 ×(78＋79)＝78.5(分)；
成绩不低于80分的人数占测试人数的百分比为 ×100%＝44%.
78.5
44%
(2)这次测试成绩的平均数是76.4分，甲的测试成绩是77分. 乙说：“甲的成绩高于平均数，所以甲的成绩高于一半学生的成绩．”你认为乙的说法正确吗？请说明理由；
(2)不正确．
∵甲的成绩77分低于中位数78.5分，
∴甲的成绩不可能高于一半学生的成绩；(7分)
(3)请对该校学生“航空航天知识”的掌握情况作出合理的评价．
(3)测试成绩不低于80分的人数占测试人数的44%，说明该校学生对“航空航天知识”的掌握情况较好．(注：答案不唯一，合理即可)(9分)
12. (2021河南17题9分)2021年4月，教育部印发《关于进一步加强中小学生睡眠管理工作的通知》，明确要求初中生每天睡眠时间应达到9小时，某初级中学为了解学生睡眠时间的情况，从本校学生中随机抽取500名进行问卷调查，并将调查结果用统计图描述如下．
调查问卷
1. 近两周你平均每天睡眠时间大约是______小时．
如果你平均每天睡眠时间不足9小时，请回答第2个问题
2. 影响你睡眠时间的主要原因是______(单选)
A. 校内课业负担量
B. 校外学习任务重
C. 学习效率低
D. 其他
平均每天睡眠时间统计图
第12题图①
影响学生睡眠时间的主要原因统计图
第12题图②
平均每天睡眠时间x(时)分为5组：①5≤x<6；②6≤x＜7；③7≤x<8；④8≤x＜9；⑤9≤x＜10.
根据以上信息，解答下列问题：
【解法提示】根据统计数据，将500名学生平均每天睡眠时间按照大小顺序排列，中位数是第250位、第251位数的平均数，因为两个数均在第③组，所以中位数落在第③组；达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为
×100%＝17%.
③
17%
(1)本次调查中，平均每天睡眠时间的中位数落在第________(填序号)组，达到9小时的学生人数占被调查人数的百分比为________；
第12题图①
(2)请对该校学生睡眠时间的情况作出评价，并提出两条合理化建议．
(2)该校大部分学生睡眠时间没有达到通知要求；
建议①：该校各学科授课老师精简家庭作业内容，师生一起提高在校学习效率；
建议②：建议学生减少参加校外培训班，校外辅导机构严禁布置课后作业．(答案不唯一)(9分)
第12题图②
13. 在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：
5 640 6 430 6 520 6 798 7 325
8 430 8 215 7 453 7 446 6 754
7 638 6 834 7 326 6 830 8 648
8 753 9 450 9 865 7 290 7 850
对这20个数据按组距1 000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：
步数分组统计表
组别 步数分组 频数
A 5 500≤x<6 500 2
B 6 500≤x<7 500 10
C 7 500≤x<8 500 m
D 8 500≤x<9 500 3
E 9 500≤x<10 500 n
频数分布直方图
第13题图
请根据以上信息解答下列问题：
(1)小华整理了一部分数据之后因为有事，所以让小明接着整理，请你帮助小明将统计表中的频数整理出来；
【解法提示】∵在7 500≤x＜8 500中，
有8430，8215，7638，7850，共4个数据，
∴m＝4；
∵在9 500≤x＜10 500中，
有9 865，共1个数据，∴n＝1.
解：(1)m＝4，n＝1；(2分)
步数分组统计表
组别 步数分组 频数
A 5 500≤x<6 500 2
B 6 500≤x<7 500 10
C 7 500≤x<8 500 m
D 8 500≤x<9 500 3
E 9 500≤x<10 500 n
(2)补全频数分布直方图；
第13题图
(2)补全频数分布直方图如图所示；
(3)这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在________组；
【解法提示】∵有20名“健步走运动”团队成员，
∴将数据按大小顺序排列后，中位数是第十名和第十一名成员步数的平均数.
∵这两名成员一天行走的步数均在B组，
∴这20名“健步走运动”团队成员一天行
走步数的中位数落在B组(6 500≤x＜7 500)．
B
第13题图
(4)若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7 500步的人数.
【温馨提示】如果所给数据不是从小到大排列，一定要先排列数据，再分组数数据，再找中位数
(4)120× ＝48(人)．
答：该团队一天行走步数不少
于7 500步的人数约为48人．(9分)
第13题图
14. 为发展乡村经济，某村根据本地特色，创办了山药粉加工厂．该厂需购置一台分装机，计划从商家推荐试用的甲、乙两台不同品牌的分装机中选择．试用时，设定分装的标准质量为每袋500 g，与之相差大于10 g为不合格．为检验分装效果，工厂对这两台机器分装的成品进行了抽样和分析，过程如下：
【收集数据】从甲、乙两台机器分装的成品中各随机抽取20袋，测得实验质量(单位：g)如下：
甲：501 497 498 502 513 489 506 490 505 486 502 503
498 497 491 500 505 502 504 505
乙：505 499 502 491 487 506 493 505 499 498 502 503
501 490 501 502 511 499 499 501
【整理数据】整理以上数据，得到每袋质量x(g)的频数分布表．
质量 频数 机器 485≤x ＜490 490≤x ＜495 495≤x ＜500 500≤x ＜505 505≤x ＜510 510≤x
＜515
甲 2 2 4 7 4 1
乙 1 3 5 7 3 1
【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量.
统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率
甲 499.7 501.5 42.01 b
乙 499.7 a 31.81 10%
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表格中的a＝________，b＝________；
501
15%
(2)综合上表中的统计量，判断工厂应选购哪一台分装机，并说明理由．
(2)工厂应选购乙分装机．(7分)
理由如下：比较甲、乙两台机器的统计量可知，甲与乙的平均数相同，中位数相差不大，乙的方差较小，且不合格率更低，以上分析说明，乙机器的分装合格率更高，且稳定性更好，
∴工厂应选购乙
分装机．(9分)
统计量 机器 平均数 中位数 方差 不合格率
甲 499.7 501.5 42.01 b
乙 499.7 a 31.81 10%
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河南9年真题子母题
2
1
考点精讲
第二节 概 率
课标要求
1. 能通过列表、画树状图等方法列出简单随机事件所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件的概率；
2. 知道通过大量重复试验，可以用频率估计概率．
命题点 概率的计算(9年9考)
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问 抽取类型 共计情况数 符合情况数
2023 8 选择题 3 实际问题(七、八年级选取电影观看) 影片相同 一组内先取一个，放回再取一个 3×3 3
2022 13 填空题 3 实际问题(选取两名宣讲员) 选中甲和丙 一组一次性取两个 4×3 2
2021 8 选择题 3 卡片(北斗、天问、高铁、九章) 天问和九章 一组一次性取两个 4×3 2
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问 抽取类型 共计情况数 符合情况数
2020 13 填空题 3 转盘(红、绿、黄、蓝) 颜色相同 一组内先取一个，放回，再取一个 4×4 4
2019 13 填空题 3 摸球(两个袋子) 颜色相同 两组内各取一个 3×3 4
2018 8 选择题 3 卡片(图案) 图案相同 一组一次性取两个 4×3 6
2017 8 选择题 3 转盘(0，1，2，－1) 数字是正数 一组内先取一个放回，再取一个 4×4 4
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问 抽取类型 共计情况数 符合情况数
2016 12 填空题 3 实际问题(分组) 小明和小亮分在同一组 一组内先取一个，放回，再取一个 4×4 4
2015 13 填空题 3 卡片(1，2，2，3) 所标数字不同 一组内先取一个，放回，再取一个 4×4 10
【考情总结】 在选择和填空题中考查两步概率的计算，每年涉及的等可能情况不超过16种． 概率的应用———
判断游戏公平性
事件的分类
概 率
概率的计算
确定事件
随机事件
必然事件
不可能事件
直接公式法
列表法
画树状图法
几何概型的概率公式
频率估计概率
考点精讲
事件的分类
事件类型 定义 概率
确定事件 必然事件 在一定条件下，必然会发生的事件 ______________
不可能事件 在一定条件下，必然不会发生的事件 ______________
随机事件 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件 0～1之间
1
0
概率的计算
1.直接公式法：如果一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都
相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝__________
2.列表法：当一次试验涉及两步计算，并且可能出现的结果数目较多时，可采用
列表法不重不漏地列出所有可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率
3.画树状图法：当一次试验要涉及两步或两步以上的计算时，通常采用画树状图法来表示所有可能的结果，再根据P(A)＝ 计算概率
4.几何概型的概率公式：
P(A)＝
概率的计算
5.频率估计概率：一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率 稳
定于某个常数p，那么事件A发生的概率P(A)＝__________
概率的应用——判断游戏公平性：判断公平性时需要先计算每个事件的概率，然后比
较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平
p
河南9年真题子母题
命题点
概率的计算9年9考
1. (2023河南8题3分)为落实教育部办公厅、中共中央宣传部办公厅关于《第41批向全国中小学生推荐优秀影片片目》的通知精神，某校七、八年级分别从如图所示的三部影片中随机选择一部组织本年级学生观看，则这两个年级选择的影片相同的概率为( )
A. B. C. D.
第1题图
B
2. (2021河南8题3分)现有4张卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同，把这4张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案恰好是“天问”和“九章”的概率是( )
A. B. C. D.
第2题图
A
3. (2022河南13题3分)为开展“喜迎二十大、永远跟党走、奋进新征程”主题教育宣讲活动，某单位从甲、乙、丙、丁四名宣讲员中随机选取两名进行宣讲，则恰好选中甲和丙的概率为________．
4.现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个球，摸出的两个球颜色相同的概率是________．
4.1 变设问——将摸出的两个球颜色相同的概率变为摸出的两个球颜色不同的概率
现有两个不透明的袋子，一个装有2个红球、1个白球，另一个装有1个黄球、2个红球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出1个小球，摸出的两个球颜色不同的概率是_____．
5. (2022河南12题改编)在“阳光体育”活动时间，为了增加学生之间的团队协作能力，班主任将全班同学随机分成了4组进行集体性活动，该班小明和小亮同学被分在同一组的概率是____．
6. (2023河南13题3分)现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中随机抽出一张，则两次抽出的卡片所标数字不同的
概率是_____．
6.1 变设问——将两次抽出的卡片所标数字不同的概率变为两次抽出的卡片所标数字均为奇数的概率
现有四张分别标有数字1，2，2，3的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽出一张后放回，再背面朝上洗匀，从中
随机抽出一张，两次抽出的卡片所标数字均为奇数的概率是________．
7. (2021河南13题3分)如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，忽略不计)的颜色，
则两次颜色相同的概率是______．
第7题图
7.1 变已知——将转盘的蓝色改为红色
如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形．分别涂有红、黄、红、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后．记下指针所指区域(指针指向区域分界线时，则重新转动转盘)的颜色，则两次颜色相
同的概率是________．
子题7.1图
7.2 变扇形分布——将均匀分布变为不均匀分布
如图，可以自由转动的转盘被它的两条直径分成了四个分别标有数字的扇形区域，其中标有数字“1”的扇形圆心角为120°，转动转盘，待转盘自动停止后，指针指向一个扇形的内部，则该扇形内的数字即为转出的数字，此时称为转动转盘一次(若指针指向两个扇形的交线，则不计转动的次数，重新转动转盘，直到指针指向一个扇形的内部
为止)．转动转盘两次，则这两次转出的数字之积为负数
的概率为________．
子题7.2图
8. [结合分式方程考查]一个不透明袋子中装有1个白球，2个黑球，若又往袋中放入若干个白球，此时从中随机摸出一个球是白球的概率为 ，则放入的白球的个数为( )
A. 2个 B. 3个
C. 4个 D. 6个
B
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