(共21张PPT)
二次函数的对称性、增减性及最值
微专题
考情及趋势分析
考情分析 类型 年份 题号 题型 分值 考查的知识点 考查设问
对称性 2019 8 选择题 3 利用二次函数的对称性求b 确定纵坐标的值
2022 13 填空题 3 利用对称性求点坐标 顶点坐标
增减性 2023 12 填空题 3 利用增减性比较纵坐标大小 比较纵坐标大小
对称性＋增减性 2021 12 填空题 3 利用二次函数的对称性和增减性及过原点写出函数解析式 图象经过原点的函数，开放性设问
对称性＋增减性 2020 21 解答题 10 利用二次函数的对称性和增减性求点坐标 (1)求二次函数解析式和点坐标；(2)利用二次函数对称性和增减性确定点的纵坐标，涉及数形结合和分类讨论思想的考查
类型一 求对称轴
从解析式出发：
1. 抛物线y＝x2＋2x－2的对称轴是直线________．
2. 抛物线y＝－ax2＋4ax－c(a≠0)的对称轴是直线________．
3. 抛物线y＝a(x－2)(x－4)(a≠0)的对称轴是直线________．
x＝－1
x＝2
x＝3
角度一 对称性
从点坐标出发：
4. 抛物线过点A(－5，0)，B(－1，0)，则此抛物线的对称轴是直线______.
5. 若抛物线过点A(2，3)，B(－4，3)，则此抛物线的对称轴是直线______.
6. 若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过点A(1＋m，n)，B(1－m，n)，则此抛物线的对称轴是直线________．
x＝－3
x＝－1
x＝1
类型二 利用对称性求点坐标和字母的值
7. 若抛物线y＝x2＋mx过点(3，0)，则m＝________．
8. 抛物线y＝x2＋bx的对称轴是直线x＝1，则b＝________．
9. 若抛物线y＝a(x－5)2＋3(a≠0)与x轴的一个交点为(2，0)，求该抛物线与x轴的另一个交点坐标．
解：根据解析式可知抛物线的对称轴为直线x＝5，且与x轴的一个交点坐标为(2，0)，∴点(2，0)关于对称轴直线x＝5对称的点的坐标为(8，0)，即抛物线与x轴的另一个交点坐标为(8，0).
－3
－2
10. 若抛物线y＝ax2－2ax＋1(a≠0)与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线，交抛物线于点B，求点B的坐标．
解：令x＝0，则y＝1，∴A(0，1)，
∵ ＝ ＝1，
由题意得，点A与点B关于对称轴直线x＝1对称，
∴点B的坐标为(2，1).
11. 已知抛物线的对称轴为直线x＝1，点A与点B均在抛物线上，且两点的纵坐标相等(点A在点B的左侧)，若AB＝4，求点A与点B的横坐标．
解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，AB＝4，
点A，B在抛物线上且A，B两点纵坐标相等，点A在点B的左侧，
∴点A，B关于直线x＝1对称，
∴点A的横坐标为1－2＝－1，
点B的横坐标为1＋2＝3.
满分技法
(1)抛物线是轴对称图形，对称轴为y轴或平行于y轴的直线．
①y＝ax2(a≠0)图象关于y轴对称；
②y＝a(x－h)2＋k(a≠0)图象关于直线x＝h对称；
③y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象关于直线x＝ 对称；
④y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)图象关于直线x＝ 对称．
(2)抛物线上纵坐标相同的两点必关于抛物线的对称轴对称，可根据对称轴与其中一点坐标求出与之关于对称轴对称的另一点的坐标．
类型一 利用增减性比较大小
1. 已知抛物线y＝x2－2x－1.
(1)若抛物线经过(2，y1)和(3，y2)两点，则y1______y2(填“>”“<”或“＝”)；
(2)若抛物线经过(－3，y1)和(4，y2)两点，则y1______y2(填“>”“<”或“＝”)；
(3)若点(－2，y1)和(－1，y2)，(5，y3)都在该抛物线上，则y1，y2，y3的大小关系是___________．
＜
＞
y3＞y1＞y2
角度二 增减性
(2)若点A，B是抛物线上的两点(点A，B均在对称轴右侧)，且到对称轴的距离分别为2和3，则抛物线在A，B之间的部分(包含A，B两点)，y的取值范围为________；
2≤y≤7
类型二 利用增减性求取值范围
2. 已知抛物线y＝x2－2x－1.
(1)函数值y的取值范围是________，当－3≤x≤0时，函数值y的取值范围是____________；
y≥－2
－1≤y≤14
(3)若抛物线的函数值为2____________；
(4)若点M(－2，y1)和点N(n，y2)在该抛物线上，且y1＜y2，则n的取值范围是_____________．
n＜－2或n＞4
3＜x＜1＋
1－ ＜x＜－1或
满分技法
抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)任意一点到其对称轴的距离记为d，则有：d相等，y值相等；a>0时，d越大，y值越大，d越小，y值越小；a<0时，d越大，y值越小，d越小，y值越大．
角度三 最值
1. 已知抛物线y＝－x2＋2x＋3.
(1)如图①，当－2≤x≤0时，函数值y的最大值是________；
第1题图①
【解法提示】当－2≤x≤0时，抛物线在x＝0处取得最大值，y最大＝3.
3
(2)如图②，当－1≤x≤4时，函数值y的最小值是________；
(3)如图③，当2≤x≤3时，函数值y的最小值是________；
【解法提示】当－1≤x≤4时，抛物线在x＝4处取得最小值，y最小＝－5.
－5
【解法提示】当2≤x≤3时，抛物线在x＝3处取得最小值，y最小＝0.
0
第1题图②
第1题图③
(4)如图④，当－1≤x≤m时，若y的最大值与最小值之差为5，求m的值．
(4)如解图，抛物线的对称轴为直线x＝1，当x＝1时，y取得最大值4，
当x＝－1时，y＝0，∵当－1≤x≤m，y的最大值与最小值之差为5，
∴y的最小值为－1，∴－m2＋2m＋3＝－1，解得m＝1＋ 或m＝1－ (不符合题意，舍去)，
∴m＝1＋ .
第1题图④
第1题解图
解题关键点
根据m的取值范围可转化
到(1)(2)(3)中的类型求解．
满分技法
当自变量x的取值范围为一切实数时，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值可用公式 求解，也可将x＝ 代入解析式求解．
对接中考
1. (2022河南21题10分)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋c与x轴正半轴，y轴正半轴分别交于点A，B，且OA＝OB，点G为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式及点G的坐标；
解：(1)∵抛物线y＝－x2＋2x＋c与y轴正半轴交于点B，
∴点B的坐标为(0，c)，c>0.
∵OA＝OB，且点A在x轴正半轴上，
∴点A的坐标为(c，0).(2分)
第1题图
∵抛物线y＝－x2＋2x＋c经过点A，∴－c2＋2c＋c＝0.
解得c1＝0(舍去)，c2＝3，
∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3．(4分)
∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
∴抛物线顶点G的坐标为(1，4)；(5分)
第1题图
(2)点M，N为抛物线上两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，点Q为抛物线上点M，N之间(含点M，N)的一个动点，求点Q的纵坐标yQ的取值范围．
第1题图
(2)由(1)知抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝1.
∵点M，N是抛物线上的两点(点M在点N的左侧)，且到对称轴的距离分别为3个单位长度和5个单位长度，
∴点M的横坐标为－2或4，点N的横坐标为6，
第1题图
∴点M的纵坐标为－5，点N的纵坐标为－21.(8分)
∴当点M的坐标为(－2，－5)时，点N的坐标为(6，－21)，
∴－21≤yQ≤4；
当点M的坐标为(4，－5)时，点N的坐标为(6，－21)，
∴－21≤yQ≤－5.
综上所述，点Q的纵坐标yQ的取值范围是－21≤yQ≤4
或－21≤yQ≤－5.(10分)
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二次函数与直线、线段的交点问题
微专题
一阶 系数与“图象平移”之间的关系
例1 已知一次函数l1：y1＝－3x－2，
l2：y2＝－3x，l3：y3＝－3x＋1，l4：y4＝－3x＋5.
(1)请完成列表后在如图所示的平面直角坐标系中画出函数图象．
x －1 0 1
y1
y2
y3
y4
例1题图
1
－2
－5
3
0
－3
4
1
－2
8
5
2
解：(1)完成列表如右表，画出函数图象如解图；
例1题解图
【发现规律】①观察函数解析式特点，可以发现：一次函数L的解析式为y＝－3x＋m；②观察函数图象特点：可发现所作的函数图象都________；
【规律总结】一次函数y＝－3x＋m，当m取不同值时，函数图象为
y＝－3x平移后的一系列平行直线．
【方法应用】(2)已知y＝－3x＋2与y＝kx＋3平行，则k＝________．
例1题解图
平行
－3
【一般化结论】
两个一次函数解析式中：k1＝k2，b1≠b2 两直线平行．
满分技法
①直线y＝kx＋b(k≠0)可由直线y＝kx平移得到；
②直线上对应点的连线平行．
二阶 与直线、线段的交点问题
类型一 定抛物线与动直线
第1题图
1. 已知抛物线y＝－2x2＋x＋1.
(1)如图①，若直线y＝m与该抛物线有一个交点，则m＝________；
【解法提示】如解图①，
∵直线y＝m平行于x轴，
∴当且仅当直线y＝m经过抛物线的顶点时，
该直线与抛物线有一个交点，
即直线y＝ ，∴m＝ .
第1题解图①
(2)若直线y＝m与该抛物线没有交点，则m的取值范围是________；
【解法提示】如解图②，将直线y＝ 向上平移时，直线与抛物线没有交点，∴m＞ .
第1题图
m＞
第1题解图②
(3)若直线y＝m与该抛物线有两个交点，则m的取值范围是________；
【解法提示】如解图③，将直线y＝ 向下平移时，直线与抛物线有两个交点∴m＜
第1题解图③
m＜
第1题图
(4)如图②，若抛物线y＝－2x2＋x＋1与一次函数y＝5x＋b的图象有一个交点，且该交点坐标为(－1，－2)，则b的值为________；若该抛物线与一次函数图象没有交点，则b的取值范围是________；若该抛物线与一次函数图象有两个交点，则b的取值范围是________．
第1题图
【解法提示】∵直线y＝5x＋b过点(－1，－2)，
∴将点(－1，－2)代入，解得b＝3；如解图④，
将直线y＝5x＋3向左平移，则抛物线与直线无交点，
∴当抛物线与直线无交点时，b的取值范围为b＞3；
将直线y＝5x＋3向右平移，
则抛物线与直线有两个交点，
∴当抛物线与直线有两个交点时，b的取值范围为b＜3.
第1题解图④
3
b＞3
b＜3
满分技法
图解法判断抛物线与平行于x轴的直线y＝m的交点：
如第1题图①直线y＝m与抛物线有一个交点即直线y＝m过抛物线的顶点，沿y轴向上平移，直线y＝m与抛物线没有交点，沿y轴向下平移，直线
y＝m与抛物线有两个交点．
类型二 定抛物线与动线段
2. (线段在x轴上，位置不固定)已知抛物线y＝－x2－x＋2交x轴于点A和点B(点A在点B的左侧)，C(t，0)，D(t＋4，0)是x轴上的两点(点C在点D的
左侧)．
(1)情况一：如图①，若线段CD与抛物线无交点，则线段CD在点A左侧或线段CD在点B右侧，求t的取值范围；
第2题图①
【数形结合】
解：(1)由题意知，点A，B的坐标分别为(－2，0)，(1，0)，
∴AB＝3，
∵点C，D的坐标分别为(t，0)，(t＋4，0)，
∴CD＝4，
根据题图①可知，t满足的条件为t＞1或t＋4＜－2，
即t的取值范围为t＞1或t＜－6；
第2题图①
(2)情况二：如图②，若线段CD与抛物线有一个交点，则点D在AB之间(点D可以与点A重合，但不可以与点B重合)或________________________
__________________________，求t的取值范围；
点C在AB之间(点C可以与点B重合，但不可以与点A重合)
第2题图②
【数形结合】
根据题图②可知，t满足的条件为－2≤t＋4＜1或－2＜t≤1，即t的取值范围为－6≤t＜－3或－2＜t≤1；
(3)情况三：如图③，若线段CD与抛物线有两个交点，则_____________
_____________________________________________，求t的取值范围．
点C在点A左侧(可以与点A重合)且点D在点B右侧(可以与点B重合)
根据题图③可知，t满足的条件为t≤－2且t＋4≥1，即t的取值范围为
－3≤t≤－2.
第2题图③
【数形结合】
满分技法
图①
图②
1. “找界点”—交点
2. 线段在直线CD上，位置不固定，分三种情况：情况一：如图①，线段CD(CD≥AB)与抛物线无交点，则线段CD在点A所在与x轴平行的直线上方或线段CD在点B所在与x轴平行的直线下方；情况二：如图②，线段CD与抛物线有一个交点，则点C在AB之间(点C可以与点B重合)或点D在AB之间(点D可以与点A重合)；
图③
情况三：如图③，线段CD与抛物线有两个交点，点C在点A所在与x轴平行的直线上方(点C可以与点A重合)，点D在点B所在与x轴平行的直线下方(点D可以与点B重合)．
3. (线段在直线上，位置不固定)已知直线y＝－ x－4与抛物线y＝x2＋ x－4交x轴负半轴于点A，交y轴负半轴于点B，C，D是直线y＝－ x－4上的两点(点C在点D的左侧)，且CD＝10，若线段CD与抛物线有两个交点，求点C横坐标的取值范围．
解：由题意知，点A，B的坐标分别为(－3，0)，(0，－4)，∴AB＝5，∵CD＝10，|k|＝ ，
∴设点C的坐标为(t，－ t－4)，
点D的坐标为(t＋6，－ (t＋6)－4)，如解图①，当点A与点C重合时，线段CD与抛物线有两个交点，即t＝－3；
第3题解图①
如解图②，当点B与点D重合时，线段CD与抛物线仍有两个交点，
第3题解图
即t＋6＝0，解得t＝－6；
若t＜－6，如解图③，线段CD与抛物线只有一个交点，
∴当线段CD与抛物线有两个交点时，
点C横坐标的取值范围为－6≤t≤－3.
4. (线段一端点在直线上，位置不固定)(2023.22考法) 已知抛物线y＝－x2－x＋2交x轴的负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，点M是直线AB上的一个动点，将点M向左平移5个单位长度得到点N，若线段MN与该抛物线只有一个公共点，求点M的横坐标xM的取值范围．
解：当x＝0时，y＝2，当y＝0时，x＝－2或x＝1，
∴A(－2，0)，B(0，2)，设直线AB的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(－2，0)，B(0，2)代入，
得 解得 ∴直线AB的解析式为y＝x＋2，
如解图，当直线MN经过抛物线顶点时，线段MN与抛物线只有一个交点，令x＋2＝ ，解得x＝ ，
∴若线段MN与该抛物线只有一个公共点时，此时xM＝ ；
当点M与点B重合时，线段MN与该抛物线恰有两个交点，此时xM＝0；当点M与点A重合时，线段MN与该抛物线恰有一个交点，此时xM＝－2，
∴点M的横坐标xM的取值范围为－2≤xM＜0或xM＝ .
第4题解图
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平面直角坐标系中的线段、面积问题
微专题
方法解读
1. 当三角形的一边在坐标轴上或平行于坐标轴时：
通常将在坐标轴上的边或平行于坐标轴的边作为底边，再利用点的坐标求得底边上的高，最后使用三角形的面积公式直接求解．
S△ABC＝ (xB－xA)·(yC－yA) S△ABC＝ (yA－yB)·|xC|
2. 当三角形的三边均不与坐标轴平行时：
一般采用以下方法将其转化为一边与坐标轴平行的两个三角形面积的和或差．
分割法
解题思路 S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝ (xC－xD)(yB－yA) S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝
(yB－yD)(xC－xA)
补形法
解题思路 S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝ (yD－ yC)(xC－xA)－ (yD－yC)(xC－xB)＝ (yD－ yC)(xB－ xA) S△ABC＝S△ACD－S△ABD＝
(yD－yA)(xC－xA)－
(yD－yA)(xB－xA)＝
(yD－yA)(xC－xB)
【解法提示】
∵点A与点B都在x轴上，∴线段AB⊥y轴，∴AB＝xB－xA＝5－1＝4，
∵A(1，0)，C(2，3)，根据两点间距离公式可得
AC＝ ＝ ，
同理可得BC＝ ＝ ，
∴S△ABC＝ ·yC＝ ×4×3＝6.
例1 A，B，C为平面直角坐标系内三点．
(1)如图①，点A(1，0)，B(5，0)，C(2，3)，连接AB，AC，BC，则AB＝________，AC＝________，BC＝________，S△ABC＝________；
例1题图①
4
6
(2)如图②，若△ABC的顶点C的坐标为(4，3)，BC⊥x轴，点A在y轴上，
则BC＝________，OB＝________，S△ABC＝________；
例1题图②
【解法提示】
∵BC⊥x轴，∴BC＝yC－yB＝3－0＝3，OB在x轴上，
∴OB⊥y轴，∴OB＝xB＝4，
∵点A在y轴上，∴点A到BC的距离为4，
∴S△ABC＝ BC·4＝ ×3×4＝6.
3
4
6
求线段长：
1. 与y轴垂直的线段的长：交点的横坐标相减(右减左)
(如例1题图①，AB的长为xB－xA)；
2. 与x轴垂直的线段的长：交点的纵坐标相减(上减下)
(如例1题图②，BC的长为yC－yB)；
3. 斜线段的长：可过线段端点分别作x轴，y轴垂线构造直角三角形，利用勾股定理、特殊三角函数值或相似进行求解．
满分技法
例1题图①
例1题图②
∴S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，
即S△ABC＝ (xD－xA)·(yC－yA)＋ (xD－xA)·(yA－yB)＝ (xD－xA)·(yC－yB)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
∵该直线过点B，C，∴将B，C坐标代入，
(3) 如图③，若点A(0，3)，B(1，1)，C(3，4)，
求S△ABC；
一题多解法
例1题图③
(3) ①分割法：如图，
D
过点A作AD∥x轴交BC于点D，
一题多解
得 解得
∵AD∥x轴，且点A(0，3) ∴直线AD为y＝3，
∵直线BC交直线AD于点D，
当y＝3时，即3＝ x－ ，解得x＝ ，
∴点D的坐标为 ( ，3)，
∴S△ABC＝ ×( －0)×(4－1)＝ ；
D
∴直线BC的解析式为y＝ x－ ，
例1题图③
一题多解法
思路点拨：
例1(3)
解法：补形法
S△ABC＝S正方形CEFG－S△ACE－S△ABF－S△BCG；
②补形法：如图，
过点C作CE⊥y轴于点E，
E
过点B作BF⊥y轴于点F，
F
过点C作CG⊥FB交FB的延长线于点G，
G
∟
∟
∟
易得四边形CEFG为正方形，
∴S△ABC＝S正方形CEFG－S△ACE－S△ABF－S△BCG＝3×3－ ×1×3－ ×1×2－ ×2×3＝ ；
例1题图③
(4) 如图④，若点A(1，1)，B(－2，2)，C(2，－1)，求S△ABC.
一题多解法
例1题图④
解：补形法：如图，
过点B作BD⊥y轴，
D
过点C作CD⊥x轴交BD于点D，
连接AD，
则△BCD是直角三角形，∠BDC＝90°，
∵B(－2，2)，C(2，－1)，
∴BD＝4，CD＝3，
∵A(1，1)，
∴S△ABD＝ ×4×1＝2，S△ADC＝ ×3×1＝ ，
∵S△BCD＝ ×3×4＝6，
∴S△ABC＝S△BCD－S△ABD－S△ADC＝6－2－ ＝ .
例1题图④
一题多解法
思路点拨：
例1(4)
解法：分割法
S△ABC＝S△ACD＋S△ABD.
例1题图④
①分割法：如图，
过点A作AD∥y轴交BC于点D，
D
∴S△ABC＝S△ACD＋S△ABD，
即S△ABC＝ (yA－yD)·(xC－xA)＋
(yA－yD)·(xA－xB)＝ (yA－yD)(xC－xB)，
设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
D
∵该直线过点B(－2，2)，C(2，－1)， ∴将B(－2，2)，C(2，－1)代入，
得 解得
∴直线BC的解析式为y＝－ x＋ ，
∵AD∥y轴，且点A的坐标为(1，1)，∴直线AD为x＝1，
∵直线BC交直线AD于点D，当x＝1时，即y＝－ ＋ ，解得y＝－
∴点D的坐标为(1，－ )，
∴S△ABC＝ ×(1＋ )×(2＋2)＝ ；
例1题图④
易得点B(0，1)在一次函数图象上，
且该函数图象与x轴相交于点E(－2，0)，
∵t>0，∴需分三种情况讨论，
(5)如图⑤，若点A(2，0)，B(0，1)，C(t， t＋1)(t＞0)，求S△ABC.
例1题图⑤
连接AB，
在直角坐标系中作出一次函数y＝ x＋1的图象，
(5)解：根据题意，设点C在一次函数y＝ x＋1的图象上运动，
E
C
①当0过点C作CQ⊥x轴于点Q，交直线AB于点D，
E
C
Q
D
∵A，B，D三点共线，设过点A，B的一次函数解析式为y＝mx＋n(m≠0)，
代入A(2，0)，B(0，1)得，
∴
∴过点A，B的一次函数解析式为y＝－ x＋1，
∴D(t，－ t＋1)，∴CD＝t，
∴S△ABC＝S△CBD＋S△CAD＝ CD·xC＋ CD·AQ
＝ CD·xA＝t；
例1题图⑤
∟
②当t＝2时，C(2，2)，
E
C
如图，
E
C
过点B作BQ⊥CA于点Q，
Q
∴S△ABC＝ AC·BQ＝2；
③当t>2时，如图，
过点C作CQ⊥x轴于点Q，
Q
S△ABC＝S△AEC－S△ABE＝ AE·CQ－ AE·OB
＝ ×4×( t＋1－1)＝t；
综上，当t>0时，△ABC的面积为t或2.
例1题图⑤
例1题图⑤
∟
∟
解题关键点
①观察题干条件：可判断出点C在直线y＝ x＋1上，点C的位置需分0＜t＜2；t＝2；t＞2三种情况讨论．②本题主要是传递过动点作坐标轴垂线这个思路．
