(共28张PPT)
四边形
多边形
特殊四边形的性质与判定
多边形
正多边形
平行四边形
矩形
菱形
正方形
性质
判定
边
角
对角线
对称性
定义、性质
一题串讲重难点
2
河南9年真题子母题
3
1
考点精讲
第一节 (特殊)平行四边形的性质(含多边形)
课标要求
1. 了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、外角、对角线；探索并掌握多边形内角和与外角和公式；
2. 理解平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形(2022年版课标新增)的概念，以及它们之间的关系；了解四边形的不稳定性；
3. 探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分；
4. 探索并证明矩形、菱形的性质定理：矩形的四个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线互相垂直；
5. 正方形具有矩形和菱形的一切性质．(2022年版课标细化)
命题点 特殊四边形的性质(9年18考)
考情及趋势分析
类型一 平行四边形的性质(9年5考)
考情分析 年份 题号 题型 背景 涉及到平行四边形的性质 设问 结合知识点
2021 9 选择题 平行四边形 对边平行 求点坐标 图形的旋转，相似，勾股定理
2018 9 选择题 涉及平行四边形 对边平行 求点坐标 平行线的性质，勾股定理
2017 9 选择题 涉及正方形和平行四边形 两组对角分别相等 求点坐标 锐角三角函数
2016 10 填空题 平行四边形 对边平行 求角的度数 三角形内外角关系
考情分析 年份 题号 题型 背景 涉及到平行四边形的性质 设问 结合知识点
2015 7 选择题 平行四边形 对边平行 求线段长 尺规作图，平行线的性质，勾股定理
【考情总结】 主要考查平行四边形的性质为对边平行和两组对角分别相等．
考情及趋势分析
类型二 矩形的性质(9年4考)
考情分析 年份 题号 题型 背景 涉及到矩形的性质 设问 结合知识点
2023 15 填空题 矩形 四个角都是直角 求线段长 勾股定理，中位线的性质
2022 23 解答题 矩形、正方形 对边平行 (1)写出 30°角；(2)①求角度，②判断角关系；(3)求线段长 全等，勾股定理
2021 10 选择题 矩形 四个角都是直角 求线段长 分析函数图象，勾股定理
2019 15 填空题 矩形 四个角都是直角 求线段长 相似，勾股定理
【考情总结】主要考查矩形的性质为对边平行和四个角都是直角．
考情及趋势分析
类型三 菱形的性质(9年4考)
考情分析 年份 题号 题型 背景 涉及到菱形的性质 设问 结合知识点
2022 5 选择题 菱形 四条边相等，对角线互相垂直平分 求菱形的周长 中位线
2021 6 选择题 菱形 四条边相等，轴对称图形，对角线互相垂直平分 菱形的性质 /
2018 10 选择题 涉及菱形 四条边相等 求字母的值 勾股定理，解一元一次方程
2016 8 选择题 涉及菱形 对角线互相垂直平分 求点坐标 /
【考情总结】主要考查菱形的性质为四条边相等，对角线互相垂直平分，轴对称图形．
考情及趋势分析
类型四 正方形的性质(9年5考)
考情分析 年份 题号 题型 背景 涉及到正方形的性质 设问 结合知识点
2023 20 解答题 涉及正方形 四个角都是直角 用自制的测高仪测树高 相似或锐角三角函数
2022 23 解答题 矩形、正方形 四个角都是直角，四条边相等 (1)写出 30°角；(2)①求角度，②判断角关系；(3)求线段长 全等，勾股定理
2020 14 填空题 正方形 对边平行，四个角都是直角 求线段长 中位线，勾股定理
考情分析 年份 题号 题型 背景 涉及到正方形的性质 设问 结合知识点
2020 23 解答题 正方形 四条边相等，四个角都是直角 (1)判断三角形形状，求线段比值；(2)①变条件后证明(1)中的结论；②平行四边形存在时求线段比值 相似
2017 9 选择题 涉及正方形和平行四边形 四条边相等 求点坐标 锐角三角函数
【考情总结】主要考查正方形的性质为四个角都是直角、四条边相等、对边平行． (特殊)平行
四边形
多边形
(特殊)平行四边形
的性质(含多边形)
对角线
正多边形边、角
正n边形的对称性
正n边形的外接圆和内切圆
正n边形内角、外角
正n边形对称轴
外角和定理
内角和定理
角
对角线
面积
对称性
周长
边
图形
考点精讲
(特殊)平行四边形
图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
边 对边平行 且相等 ______________ ____________________________ ____________________________
角 两组对角分别相等 ______________ ____________________________ ______________
对边平行且相等
对边平行，四条边都相等
对边平行，四条边都相等
四个角都是直角
两组对角分别相等
四个角都是直角
(特殊)平行四边形
图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
对角线 互相平分 ______________ 互相垂直平分，平分一组对角(使用时需证明) __________________________________________
对称性 中心对称图形，O为对称中心 ___________________________，有____条对称轴 __________________________，有____条对称轴 __________________________，有____条对称轴
互相平分且相等
互相垂直平分且相等，平分一组对角
中心对称图形，轴对称图形
2
中心对称图形，轴对称图形
2
中心对称图形，轴对称图形
4
(特殊)平行四边形
图形 平行四边形 矩形 菱形 正方形
周长 C＝2(a＋b) C＝2(a＋b) C＝4a C＝4a
面积 S＝ah S＝ab S＝ah＝ mn S＝a2＝ l2
多边形
内角和定理：n(n≥3)边形的内角和等于____________
外角和定理：多边形的外角和都等于____________
对角线：过n(n≥3)边形的一个顶点可以引____________条对角线，n边形共有____________条对角线
正多边形的各边相等，各角相等
正n边形的每一内角都等于____________________________，每一个外角都等于____________
(n－2)·180°
360°
n－3
(或180°－ )
多边形
正n边形有____________条对称轴
对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形
正n边形有一个外接圆和一个内切圆，它们是同心圆
n
一题串讲重难点
基础知识巩固
例1 已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O.
(1)如图①，若四边形ABCD为平行四边形，下列结论一定成立的是____________；(填序号)
①AB＝CD；②AD∥BC；③AB∥CD；④∠ABC＝∠BCD；
⑤∠BAD＝∠BCD；⑥AC＝BD；⑦AD＝CD；
⑧∠AOB＝90°；⑨∠ABO＝∠CBO；⑩AO＝OC.
例1题图
①②③⑤⑩
【涉及平行四边形的知识】
①对边平行且相等
②对角相等
③对角线互相平分
(2)如图②，若四边形ABCD为矩形．
①若BD＝10，AC＝______，OD＝________；
②若∠AOB＝60°，则∠CAD的度数为________；
③若△BCD的周长与 △AOD的周长之差为6，则CD的长为______；
例1题图
10
5
30°
6
【涉及矩形的知识】
①对角线互相平分且相等
②四个角都是直角
③对边相等
(3)如图③，若四边形ABCD为菱形，周长为8，则∠BAD＝120°，则∠CBD＝______；BD＝______；AC＝________；四边形ABCD的面积为______；点A到BC边的距离为________；
例1题图
30°
2
【涉及菱形的知识】
①四条边都相等
②对角线互相垂直平分，且平分一组对角(使用时需证明)
(4)如图④，若四边形ABCD为正方形，则∠BAC的度数为________；共有________个等腰直角三角形．
例1题图
45°
8
【涉及正方形的知识】
①四个角都是直角
②对角线平分一组对角
重难考法突破
特殊四边形中三角形基本性质的应用(9年14考)
【涉及三角形的知识】
三角形三边关系
例2 (1)在四边形ABCD中，连接BD，AB＝2，AD＝3，则BD的长可能为( )
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
B
【涉及三角形的知识】
中位线
(2)如图①，在 ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BC边的中点，AB＝2，则OE＝________；
例2题图
1
【涉及三角形的知识点】
①中位线
②锐角三角函数
③勾股定理
(3)如图②，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2，连接AC，BD交于O点，点E为BC边上一点，连接OE.
①若OE⊥BC，则OE＝________；
②若OE平分∠BOC，则OE＝________．
例2题图
【涉及三角形的知识点】
①角平分线的性质
②锐角三角函数
③等角对等边
(4)如图③，在矩形ABCD中，AB＝6，连接AC，BD交于点O，以点D为圆心，以适当长为半径作弧分别交CD，BD于点M，N，再分别以点M，N为圆心，以大于 MN的长为半径作弧，两弧在矩形ABCD内交于点P，作射线DP交BC于点E，若∠ABD＝60°，
则∠CDE＝________，BE＝________．
图③
例2题图
30°
【涉及三角形的知识点】
①勾股定理
②等腰直角三角形的判定
(5)(2023.15考法)如图④，若四边形ABCD为矩形，连接BD，E，F分别为BC，BD边上的点，将△BEF沿EF折叠，使得点B与点D重合，若EC＝AB＝1，则AD的长为________．
图④
例2题图
河南9年真题子母题
命题点
特殊四边形的性质9年11考
第1题图
1. (2022河南5题3分)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝3，则菱形ABCD的周长为( )
A. 6 B. 12
C. 24 D. 48
C
第3题图
2. (2021河南6题3分)关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A. 四条边相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直 D. 是轴对称图形
3. (2023河南10题3分)如图，在 ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为________．
B
110°
请完成精练本习题(共17张PPT)
一题串讲重难点
2
河南9年真题子母题
3
1
考点精讲
第二节 (特殊)平行四边形的判定
判定
中点
四边形
原图形
中点四边形形状
(特殊)平行
四边形的判定
边
角
对角线
考点精讲
判定
中点四边形
原图形 任意四边形 对角线相等的四边形(如矩形) 对角线垂直的四边形(如菱形) 对角线垂直且相等的四边形(如正方形)
中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形
一题串讲重难点
例1 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O.有以下条件：
边关系：①AB＝CD，②AB＝AD，③AD∥BC；
角关系：④∠BAC＝∠ACD，⑤∠ABC＝90°，⑥∠AOB＝90°；
对角线关系：⑦AC＝BD，⑧AO＝OC.
一题多解法
例1题图
(1)请选择两个条件___________________________，使得四边形ABCD为平行四边形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
(1)【方法一】证明：∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
在△AOD和△COB中，
，
例1题图
③AD∥BC，⑧AO＝OC
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
∴△AOD≌△COB(AAS)，
∴AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．(答案不唯一)
例1题图
(1)请选择两个条件________________________________，使得四边形ABCD为平行四边形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
例1题图
④∠BAC＝∠ACD，⑧AO＝OC
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【方法二】证明：在△AOB和△COD中，
，
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．(答案不唯一)
例1题图
(2)若四边形ABCD为平行四边形，添加条件__________________，使得四边形ABCD为矩形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
例1题图
(2)【方法一】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为矩形．(答案不唯一)
⑤∠ABC＝90°
一个角是直角的平行四边形是矩形．
例1题图
【方法二】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AC＝BD，
∴四边形ABCD为矩形．(答案不唯一)
(2)若四边形ABCD为平行四边形，添加条件__________________，使得四边形ABCD为矩形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
⑦AC＝BD
对角线相等的平行四边形是矩形．
(3)若四边形ABCD为平行四边形，添加条件______________，使得四边形ABCD为菱形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
例1题图
(3)【方法一】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∠AOB＝90°，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD为菱形．(答案不唯一)
⑥∠AOB＝90°
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
例1题图
【方法二】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝AD，
∴四边形ABCD为菱形．(答案不唯一)
(3)若四边形ABCD为平行四边形，添加条件______________，使得四边形ABCD为菱形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
②AB＝AD
一组邻边相等的平行四边形是菱形．
(4)若四边形ABCD为矩形，添加条件______________，使得四边形ABCD为正方形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
例1题图
(4)证明：∵四边形ABCD为矩形，AB＝AD，
∴四边形ABCD为正方形．(答案不唯一)
②AB＝AD
一组邻边相等的矩形是正方形．
(5)若四边形ABCD为菱形，添加条件______________，使得四边形ABCD为正方形，并证明；
【判定依据】___________________________________________________
(5)证明：∵四边形ABCD为菱形，∠ABC＝90°，
∴四边形ABCD为正方形．(答案不唯一)
例1题图
⑤∠ABC＝90°
有一个角是90°的菱形是正方形．
河南9年真题子母题
特殊四边形的判定9年3考
命题点
1. (2023河南7题3分)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件不能判定 ABCD是菱形的只有( )
第1题图
A. AC⊥BD B. AB＝BC
C. AC＝BD D. ∠1＝∠2
C
请完成精练本习题(共23张PPT)
四边形中的
三角形问题
第三节
考情及趋势分析
命题点 借助三角形解决特殊四边形问题(9年14考)
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问 涉及三角形的知识点
2023 23(3) 解答题 2 平行四边形 求线段长 三角形的中位线
2022 5 选择题 3 菱形 求菱形的周长 中位线
2022 23 解答题 10 矩形、正方形 (1)求角度；(2)求角度，判断角度之间的数量关系；(3)求线段长 锐角三角函数，全等，勾股定理
2021 9 选择题 3 平行四边形结合平面直角坐标系 求点坐标 相似，勾股定理
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问 涉及三角形的知识点
2021 10 选择题 3 矩形 求线段长 勾股定理
2020 14 填空题 3 正方形 求线段长 全等，中位线，勾股定理
2020 23 解答题 11 正方形 判断三角形的形状、求线段的比值 相似，勾股定理
2019 15 填空题 3 矩形 求字母的值 相似，勾股定理
2018 9 选择题 3 平行四边形 求点坐标 勾股定理
2018 10 选择题 3 菱形 求字母的值 勾股定理
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 设问 涉及三角形的知识点
2017 9 选择题 3 正方形、平行四边形 求点坐标 锐角三角函数
2016 10 选择题 3 平行四边形 求角度 三角形的边角关系
2015 7 选择题 3 平行四边形结合尺规作图 求线段长 勾股定理
2015 15 填空题 3 正方形(折叠) 求线段长 勾股定理
一题串讲重难点
例1 已知四边形ABCD.
(1)如图①，若四边形ABCD为正方形，点E，F分别为AB，AD的中点，连接CE，CF，点G，H分别为CE，CF的中点，若AB＝2 ，求GH的长；
例1题图①
(1)解：如图，连接EF，
∵点E，F分别为AB，AD的中点，四边形ABCD为正方形，
∴AE＝AF＝ AB＝ ，∠A＝90°，
例1题图①
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，EF＝ ＝2，
在△CEF中，∵点G，H分别为CE，CF的中点，
∴GH＝ EF＝1；
【涉及三角形的知识点】
①中位线
②勾股定理
(2)如图②，在四边形ABCD中，AD∥BC，连接AC，点O为AC的中点，连接BO并延长交AD于点E，连接CE，且BE⊥AC.
①求证：四边形ABCE为菱形；
例1题图②
①证明：∵点O为AC的中点，
∴AO＝CO，
∵AD∥BC，EO的延长线恰好过点B，
∴∠AEO＝∠CBO，
在△AEO和△CBO中，
例1题图②
∴△AEO≌△CBO(AAS)，∴AE＝CB，
又∵AD∥BC，∴四边形ABCE为平行四边形，
∵BE⊥AC，
∴OE为AC的垂直平分线，∴AE＝CE，
∴ ABCE为菱形；
②过点E作EF⊥AD交AC于点F，若∠BAC＝30°，求∠CFE的度数；
例1题图②
②解：由①知，四边形ABCE为菱形，
∴AB＝BC，AD∥BC，
∴∠BCA＝∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝∠BCA＝30°.
∵EF⊥AD，
∴∠AEF＝90°，
∴∠CFE＝∠AEF＋∠DAC＝120°；
【涉及三角形的知识点】
①全等三角形
②垂直平分线
③三角形的内外角关系
(3)(2023.10考法)如图③，已知AB＝BC，AD＝CD，连接AC，BD，E为BD的中点，连接CE，过点E作EF∥AB交BC于点F.
①求证：BD垂直平分AC；
例1题图③
①证明：在△ABD和△CBD中， ，
∴△ABD≌△CBD(SSS)，
∴∠ADB＝∠CDB，
∴BD为∠ADC的平分线，
∵AD＝CD，∴BD垂直平分AC；
②(2021.15考法)若∠DAB＝∠BCD＝∠CEF＝90°，AD＝4，求AB的长；
例1题图③
②解：如图，延长CE交AB于点G，
∵EF∥AB，∴∠EGB＝∠CEF＝90°，
∵∠DAB＝90°，∴EG∥AD，
∵点E为BD的中点，
∴EG为△ABD的中位线，
∴EG＝ AD＝2，点G为AB的中点，
在Rt△CBG中，BG＝ AB＝ BC，
∴∠BCG＝30°，
G
在Rt△BCD中，
∵点E为BD的中点，
∴CE＝BE，
∴∠CBE＝∠BCG＝30°，
∴∠BEG＝∠CBE＋∠BCG＝60°，
在Rt△EGB中，BG＝EG·tan ∠BEG＝2 ，
∴AB＝2BG＝4 ；
例1题图③
G
【涉及三角形的知识点】
①等腰三角形“三线合一”
②中位线
③直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半
④锐角三角函数
⑤斜边上的中线等于斜边的一半
(4)如图④，四边形ABCD 为矩形，E为BC边上的一点，P为BC边一动点，AB＝4，BC＝6.
①(2021.10考法)若E为BC边的中点，点P沿BC从点B运动到点C，连接AP，求PA－PE的最大值；
例1题图④
①解：如图，连接AE，
在△APE中，
根据三角形三边关系可知PA－PE＜AE，
∴当点P与点E重合时，PA－PE＝AE，此时
PA－PE取得最大值，最大值为AE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B＝90°，
∵AB＝4，BE＝ BC＝3，在Rt△ABE中，
根据勾股定理得，AE＝ ＝5，
∴PA－PE的最大值为5；
例1题图④
②(2022.15考法)若EF⊥BC交AD于点F，BP＝ BE，点B关于AP的对称点B′落在EF上，求BE的长．
②解：如解图，连接AB′，由对称的性质得，∠AB′P＝∠B＝90°，
B′P＝BP＝ BE，AB′＝AB＝4，
∴∠PB′E＋∠AB′F＝90°，
∵∠B′AF＋∠AB′F＝90°，∴∠PB′E＝∠B′AF，
∵EF⊥BC，∠FAB＝∠B＝90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF＝BE，∠PEB′＝∠AFB′＝90°，
例1题解图
例1题图④
∴△PB′E∽△B′AF，
∴ ＝ ，设BE＝x，则BP＝ BE＝ x，
∴PE＝BE－BP＝x－ x＝ x，B′P＝BP＝ x，
在Rt△PEB′中，B′E＝ ＝ x，
由 ＝ ，得 .
解得x＝0(舍去)或x＝ ，
∴BE＝ .
例1题解图
解题关键点
连接AB′，PB′，证得△PB′E∽△B′AF，结合勾股定理求解．
【涉及三角形的知识点】
①三角形三边关系
②相似三角形
③勾股定理
解题有策略
四边形中的三角形问题[9年14考]
考情特点：以特殊四边形为背景，核心解题方法涉及三角形全等、相似、锐角三角函数、勾股定理等．
解题策略：1.勾股定理：当题干中给出线段长和线段垂直(90°)或隐含的直角时，考虑利用勾股定理求解；
注：隐含的垂直有：(1)矩形、正方形中的四个角均为90°；(2)菱形、正方形的对角线互相垂直；(3)直径对直角．
2．锐角三角函数：(1)已知特殊角(30°，45°，60°)或三角函数值，构造直角三角形，利用锐角三角函数求解；(2)隐含特殊角，特殊四边形的对角线平分一组对角，如正方形的对角线将一组对角分别平分成两个45°角；
3．全等三角形：(1)由特殊四边形的对边平行，可得角相等；(2)特殊四边形的对边相等；(3)根据题干中的已知条件再找一组等边(或一对等角)可得三角形全等，如对顶角、中点、角平分线、垂直平分线等，可得两个三角形全等．
请完成精练本习题
