(共20张PPT)
河南9年真题子母题
2
1
考点精讲
第四节 分 式
课标要求
命题点1 分式有意义的条件(2021.11 )
了解分式和最简分式的概念．
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 考查内容
2021 11 填空题 3 分式有意义的条件
课标要求
命题点2 分式的化简及求值(9年8考，仅2017年未考查)
1. 能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)；
2. 能利用分式的基本性质进行约分和通分；
3. 能进行简单的分式加、减、乘、除运算．
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 考查形式 化简结果 所代值 运算结果
2023 5 选择题 3 A＋B 1 / /
2022 16(2) 解答题 5 A÷(B－C) x＋1 / /
2021 16(2) 解答题 5 (A－B)÷C / /
2020 16 解答题 8 (A－B)÷C a－1 ＋1
2019 16 解答题 8 (A－B)÷C
2018 16 解答题 8 (A－B)÷C 1－x ＋1 －
2016 16 解答题 8 (A－B)÷C － 从不等式组的整数解中自选值代入 －2
考情分析 年份 题号 题型 分值 考查形式 化简结果 所代值 运算结果
2015 16 解答题 8 A÷(B－C) a＝ ＋1，b＝ －1 2
【考情总结】 1. 近3年不涉及求值； 2. 除2015年含有两个字母外，其余均含有一个字母； 3. 代入数值除2016年是从不等式组整数解中选取外，其余年份为给定值代入，均为无理数． 分式的运算
分式的有关
概念及性质
分 式
分式满足的条件
最简分式
基本性质
分式 有意义的条件
加减运算
乘除运算
考点精讲
分式的有关概念及性质
分式满足的条件（两个条件缺一不可）
1.形如 (A，B表示两个整式，B≠0)
2. 中含有字母
B
分式 有意义的条件：
B≠0
分式 值为0的条件：
A＝0且B≠0
最简分式：____________________________
分子和分母没有公因式的分式
基本性质：分式的分子与分母都乘(或除以)同一个 ，分式的值不变
不等于零的整式
＝ (C≠0) 通分
＝ (C≠0) 约分
分
式
的
运
算
加减运算
同分母：分母不变，把分子相加减，即 ± ＝________
异分母：先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算，即 ± (关键是通分)
±
通分 找最简公分母
1. 分母中能分解因式的，先分解因式
2. 取各分母所有因式的最高次幂的积(数字因式取它们的最小公倍数)作为公分母
知识关联
整式的加减实质上是合并同类型；整式的乘法实际上是幂的运算；整式的除法实际上就是分式.
乘除运算
分式的运算
乘法： ＝ (关键是约分)
除法： ÷ ________
约分 找公因式
1.分子、分母中能分解因式的，先分解因式
2.取分子、分母中的相同因式的最低次幂的积(数字因式取它们的最大公约数)作为公因式
河南9年真题子母题
1
命题点
分式有意义的条件 2021.11
1. (2021河南11题3分)若代数式 有意义，则实数x的取值范围是________．
x≠1
2
命题点
分式的化简及求值 9年8考，仅2017年未考查
基础点补练
2. 化简：1－ .
解：原式＝ －
＝ .
解：原式＝ ＋
＝ .
3. 化简： ＋ .
解：原式＝1－a.
解：原式＝ ·
＝－a.
4. 化简： · .
5. 化简： ÷ .
类型一 分式的化简 (9年3考)
6. (2023河南5题3分)化简 ＋ 的结果是( )
A. 0 B. 1 C. a D. a－2
7. [2022河南16(2)题5分]化简： ÷(1－ )．
B
解：原式＝ ÷( － )
＝ ÷ (3分)
＝ ·
＝ · ＝x＋1.(5分)
8. [2021河南16(2)题5分]化简：(1－ )÷ .
解：原式＝( － )·
＝ · (3分)
＝ .(5分)
类型二 分式的化简求值—确定值代入 (9年4考)
9. (2023河南16题8分)先化简，再求值：(1－ ) ÷ ，
其中a＝ ＋1.
解：原式＝ ÷
＝ · (4分)
＝a－1.(6分)
当a＝ ＋1时，原式＝ ＋1－1＝ .(8分)
类型三 分式的化简求值—自选值代入
10. (2022河南16题8分)先化简，再求值：( －1)÷ ，其中x的值从不等式组 的整数解中选取.
解：原式＝ ÷ (3分)
＝ ·
＝ .(5分)
解不等式组 ，得－1≤x＜ ，
∴不等式组的整数解有－1，0，1，2(7分) ，
要使分式有意义，x只能取2，
∴原式＝ ＝－2.(8分)
满分技法
分式化简求值的一般步骤有：
①通分； ②同分母分式加减；
③分解因式； ④除法变乘法；
⑤约分； ⑥代值求解．
易错警示
1.化简求值类题一定要做到先“化简”，再“求值”，自身能约分的先自身约分；
2.通分时，若有常数项，要记得把常数项化成分母为最简公分母的分式，再进行加减运算；
3.分式化简求值时，要注意符号的变化，分式的分子要作为一个整体，在添括号或去括号时，若括号前为负号则去括号后括号内每一项都要变号；
4.注意化简结果应为最简分式或整式
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河南9年真题子母题
2
1
考点精讲
第二节 实数的运算及
大小比较
加减
乘除
实数的
大小比较
二次根式
的估值
实数的运算
二次根式的性质
数轴比较法
类别比较法
差值比较法
平方比较法
零次幂
乘方
特殊角的三角函数值
去绝对值符号
负整数指数幂
常见的开方
-1 的奇偶次幂
二次根式的运算
实数的运算
及大小比较
考点精讲
实数的大小比较
数轴比较法：数轴上两个点表示的数，右边的点表示的数总比左边的点表示的数
类别比较法：正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小
差值比较法：a－b＞0 a＞b；a－b＝0 a＝b；a－b＜0 a＜b
平方比较法：a＞ a2 b(b＞0)
二次根式的估值
1.先对二次根式平方
2.找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数
3.对以上两个整数开方
4.确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间
大
＞
实
数
的
运
算
零次幂：a0＝ (a≠0)
乘方：an＝ ，如(－ )2＝ ，(－3)2＝ ， ( )2＝ ，
(－3)3＝ ，(－ )3＝－ ， ( )3＝
1
－27
负整数指数幂：a－p＝ (a≠0，p为正整数)，特别地，a－1＝ (a≠0)，
如：(－ )－1＝ ，(－ )－2＝ (口诀：倒底数，反指数)
－3
4
常见的开方：
＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝_____
2
3
2
3
9
实数的运算
特殊角的三角函数值
sin 30°＝cos 60°＝ ，cos 30°＝sin 60°＝ ,
sin 45°＝cos 45°＝ ，tan 30°＝ ,
tan 60°＝ ，tan 45°＝
1
去绝对值符号：|a－b|＝
(a＞b)
0 (a＝b)
(a＜b)
a－b
b－a
【满分技法】
先比较绝对值符号内两数的大小，再根据绝对值的非负性去绝对值符号，
如| －1|＝ －1，|1－ |＝ －1.
实数的运算
－1的奇偶次幂：
(－1)n＝
(n为偶数)，如(－1)2 024＝1
－1 (n为奇数)，如(－1)2 023＝－1
1
二次根式的性质
1. ( )2＝ (a≥0)
2. ＝|a|＝
a (a≥0)
(a＜0)
a
－a
3. ＝ (a 0，b 0)
≥
≥
4. ＝ (a 0，b 0)
≥
>
二次根式的性质
5. 双重非负性：二次根式
被开方数a≥0
≥0
二次根式的运算
加减：一般地，二次根式加减时，可以先将各二次根式分别化成 _____________，再将被开方数 的二次根式进行合并
乘法： ＝ (a≥0，b≥0)
除法： ＝ (a≥0，b＞0)
最简二次根式
相同
河南9年真题子母题
1
命题点
实数的运算 9年8考，仅2020年未考查
类型一 基本运算
1. (2022河南11题3分)计算：|－5|－ ＝____．
2. (2021河南11题改编)计算23＋ ＝____．
3. (2023河南9题3分)计算：(－2)0－ ＝____．
2
10
－1
基础点补练
4. 计算下列各式的结果．
(1)(－3)－2＝________； (2)|－ |＝________；
(3)30＝________； (4)－3－2＝________；
(5)( )－1＝________； (6) ＝________．
1
4
－4
类型二 混合运算
5. [2023河南16(1)题5分]计算：|－3|－ ＋5－1.
解：原式＝3－3＋ (3分)
＝ .(5分)
6. [2022河南16(1)题5分]计算： －( )0＋2－1.
解：原式＝3－1＋ (3分)
＝ .(5分)
2
命题点
实数的大小比较 9年3考
7. (2022河南1题3分)下列各数中比1大的数是( )
A. 2 B. 0 C. －1 D. －3
A
8. (2023河南1题3分)下列各数中最小的数是( )
A. －1 B. 0 C. 1 D.
基础点补练
9. 比较大小： ______3.
A
>
3
命题点
二次根式的运算 9年8考，常在整式运算和分式化简或整式化简求值的最后一步代数求值时涉及
10. 下列运算正确的是___________．(填序号)
①(2022河南4A题)2 － ＝2； ②(2019河南4D题)3 － ＝2 ；
③(2023河南4A题) － ＝ ； ④ × ＝2 ；
⑤ × ＝3； ⑥ ÷ ＝2.
②③④⑤
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河南9年真题子母题
2
1
考点精讲
第三节 整 式
代数式
整式相
关概念
整 式
整式的运算
因式分解
目的
基本方法
单项式
多项式
整式
同类项
列代数式
代数式求值
加减运算
乘法运算
幂的运算
考点精讲
代数式
列代数式
1.原价a的8.5折表示为0.85a；原价a提高20%后再打8折表示为 _
2.原量a的2倍多(或少)3表示为 ，原量a增加(或减少)10%表示为a(1＋10%) (或a(1－10%))
3.3个单价为a元的商品与2个单价为b元的商品总价为 元
4.每天完成的工作量为a，则完成m的工作量所需时间为 天
0.8(1＋20%)a
2a＋3(或2a－3)
(3a＋2b)
【易错警示】
列出的代数式化为最简后，若最后一步是加、减时，有单位必须将代数式用括号括起来再加单位
代数式求值
(1)直接代入法：把已知字母的值代入代数式，并按原来的运算顺序计算求值
(2)整体代入法：①观察已知条件和所求代数式的关系
②将所求代数式变形后与已知代数式成倍分关系，一般会用到提公因式法、平方差公式、完全平方公式
(整体思想)
整式相关概念
代数式
定义：
由数或字母的 表示的式子
单独的一个数或一个字母也是单项式
乘积
系数：
单项式中的 因数
数字
次数：一个单项式中，所有字母的指数的
和
单项式
整式相关概念
多项式
定义：几个单项式的
和
项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做
常数项
次数：多项式中次数最高项的次数，如2xy3＋ x2y的次数为4
整式：单项式和多项式统称为整式
同类项： ，所有的常数项都是同类项
所有字母相同，并且相同字母的指数也相同的项
整式的运算
加减运算
(实质：合并同类项)
合并同类项
1.字母和字母的 不变
2.系数相加减作为新的系数，如2xy2＋3xy2＝
5xy2
指数
去括号法则
括号前是“＋”号，去括号时，括号内各项不变号：
a＋(b＋c)＝a b c
括号前是“－”号，去括号时，括号内每一项都变号：a－(b＋c)＝a b c
幂的运算(m，n为正整数)
同底数幂相乘：底数不变，指数相加，即am·an＝ ,
同底数幂相除： ，即am÷an＝__________ (a≠0，且m＞n)
＋
＋
－
－
am＋n
底数不变，指数相减
am－n
整式的运算
幂的运算(m，n为正整数)
幂的乘方： ，即(am)n＝_______
底数不变，指数相乘
amn
积的乘方：___________________________________________，
即(ab)n＝_______
积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘
anbn
乘法运算
单项式乘单项式：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的 不变，作为积的因式，如2a2·2a3b＝(2×2)·a2＋3b＝4a5b
单项式乘多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.如a(b＋c)＝ab＋ac
多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 如(a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd
指数
整式的运算
乘法运算
乘法公式
平方差公式： ,
完全平方公式：
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a±b)2＝a2±2ab＋b2
因式分解
目的
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式
2.必须分解到每一个多项式都不能再分解为止
因式分解
基本方法
提公因式法
公式：ma＋mb＋mc＝ ,
公因式的确定
系数：取各项系数的最大公约数
字母：取各项相同的字母或因式
指数：取各项相同字母的最低次数
公式法
a2－b2 ___________________
a2±2ab＋b2 _______________
m(a＋b＋c)
(a＋b)(a－b)
(a±b)2
一般步骤：
【易错警示】因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式，二者不可混淆
河南9年真题子母题
1
命题点
列代数式 2023.11
1. (2023河南11题3分)某校计划给每个年级配发n套劳动工具，则3个年级共需配发________套劳动工具．
3n
2
命题点
整式运算 9年5考
2. 下列运算正确的有________．(填序号)
①(2021河南4B题)2a2－a2＝2； ②(2022河南4C题)(a2)3＝a5；
③(2021河南4C题)a2·a＝a3； ④a6÷a2＝a3；
⑤(2023河南4B题)(－3a)2＝6a2； ⑥(2022河南4B题)(a＋1)2＝a2＋1；
⑦a2 －1＝(a－1)(a＋1)．
③⑦
3
命题点
数字指数幂的运算 9年2考
3. (2022河南8题3分)《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万， 1兆＝1万×1万 ×1亿．则1兆等于( )
A. 108 B. 1012 C. 1016 D. 1024
C
4
命题点
整式的化简及求值 9年2考
4. [2023河南16(2)题5分]化简：(x－2y)2－x(x－4y)．
解：原式＝x2－4xy＋4y2－x2＋4xy
＝4y2.
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