(共26张PPT)
微专题12
构造直角三角形解决
、 倍的线段数量关系
一、解决 倍的线段数量关系
一阶 方法训练
1. 已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是45°.
(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得AC＝ ；
第1题图①
解：(1)作图如图，过点B作AB的垂线，
交射线AM于点C，此时AC＝ ；
C
∟
(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得AD＝ .
第1题图②
D
(2)作图如图， 过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点D，
此时AD＝ .
∟
辅助线作法：
①不含分式时， 在谁那里，谁就是直角边；
②含分式时，分式在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点．
满分技法
2. 已知线段AB与射线AM交于点A，且夹角是30°.
(1)如图①，请在射线AM上找到一点C，使得BC＝ ；
第2题图①
解：(1)作图如图，过点B作射线AM的垂线，交射线AM于点C，此时BC＝ ；
C
二、解决 、 倍的线段数量关系
∟
(2)如图②，请在射线AM上找到一点D，使得BD＝ .
第2题图②
D
(2)作图如图，过点B作AB的垂线，交射线AM于点D，
此时BD＝ .
∟
辅助线作法：
① 在谁那里，谁就是斜边，要找的点就是直角顶点；
② 在谁那里，谁就是长直角边，等号两边相同的字母就是直角顶点．
满分技法
∵AB＝BC，∠A＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，
∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠BDE＝90°，∴∠FEG＝∠BDE，
二阶 方法拓展
1. 如图，在△ABC中，AB＝BC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝∠B，若∠A＝45°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．
一题多解法
第1题图
解法一：解：CF＝ .
理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G，
G
∟
在△FEG和△EDB中，
∠FGE＝∠B
∠FEG＝∠EDB,
EF＝DE
∴△FEG≌△EDB(AAS)，∴FG＝EB，
在Rt△FGC中，∠FGC＝90°，∠C＝45°，
∴CF＝ FG，
∴CF＝ BE.
第1题图
G
∟
解法二：解：CF＝ .
理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作等腰Rt△BEG.
G
第1题图
∵AB＝BC，∠A＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，∠C＝∠A＝45°，
∴∠DEB＋∠FEC＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，
∴∠FEC＝∠EDG.
∵△BEG是等腰直角三角形，
∴∠G＝45°＝∠C，GE＝ ，∠EBG＝∠ABC＝90°，
∴D、B、G三点共线．
在△DEG和△EFC中，
∠EDG＝∠FEC
∠G＝∠C,
DE＝EF
∴△DEG≌△EFC(AAS)，
∴CF＝GE＝ .
G
第1题图
解法三：解：CF＝ .理由如下：
如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作等腰Rt△BEG，同时以点F为直角顶点，FC为直角边向下作等腰Rt△CFH.
第1题图
G
H
∵AB＝BC，∠A＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠DEF＝∠B＝90°，∠C＝∠A＝45°，
∴∠DEB＋∠FEH＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，
∴∠FEH＝∠EDG.
∵△BEG和△CFH都是等腰直角三角形，
∴∠BGE＝∠CHF＝45°，EG＝ ，FH＝CF，
∴∠DGE＝∠EHF＝135°.
在△DEG和△EFH中，
∠DGE＝∠EHF
∠EDG＝∠FEH,
DE＝EF
∴△DEG≌△EFH(AAS)，
∴EG＝FH，∴CF＝EG＝ .
G
H
第1题图
变式题 将等腰直角三角形变为含30°的直角三角形
如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且DE＝EF，∠DEF＝90°，若∠A＝30°，试猜想CF与BE之间的数量关系，并说明理由．
一题多解法
变式题图
解法一：解：BE＝ .
理由如下：如图，过点F作FG⊥BC于点G，
∵∠A＝30°，
∴∠C＝90°－∠A＝60°，
∴在Rt△FGC中，FG＝ .
∟
G
∵∠DEF＝∠B＝90°＝∠FGE，
∴∠DEB＋∠FEG＝90°，∠DEB＋∠EDB＝90°，
∴∠FEG＝∠EDB，
在△FEG和△EDB中，
∠FGE＝∠B
∠FEG＝∠EDB ,
EF＝DE
∴△FEG≌△EDB(AAS)，
∴FG＝BE，∴BE＝ .
变式题图
∟
G
解法二：解：BE＝ .
G
理由如下：如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向下作含30°的Rt△BEG，
令∠G＝60°，
∵∠A＝30°，∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴∠G＝∠C＝60°，∠DEB＋∠FEC＝90°，
∠DEB＋∠EDG＝90°，BE＝ ，
∴∠FEC＝∠EDG，
变式题图
在△DEG和△EFC中，
∴△DEG≌△EFC(AAS)，
∴CF＝GE，
∴BE＝ .
∠EDG＝∠FEC
∠G＝∠C ,
DE＝EF
G
变式题图
G
H
解法三：解：BE＝ .理由如下：
如图，以点B为直角顶点，BE为直角边向上作含30°的Rt△BEG，且∠BGE＝60°，同时以点F为顶点，CF为边向下作等边三角形CFH，
∵∠ACB＝60°，故可知点H恰好在边BC上，
∵∠A＝30°，∠DEF＝∠B＝90°，
∴∠BGE＝∠C＝∠FHC＝60°，∠DEB＋∠FEH＝90°，∠DEB＋∠EDG＝90°，BE＝ ，FH＝CF，
∴∠FEH＝∠EDG，
∠DGE＝∠EHF＝120°，
变式题图
在△DEG和△EFH中，
∴△DEG≌△EFH(AAS)，
∴EG＝FH，
∴CF＝EG，
∴BE＝ .
∠EDG＝∠FEH
∠DGE＝∠EHF,
DE＝EF
G
H
变式题图
2. 如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，AF和DE相交于点P，连接BP，CP.
(1)试猜想AF与DE的数量关系和位置关系，请说明理由；
第2题图
(1)解：AF＝DE，AF⊥DE.理由如下：
∵正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADF＝∠DCE＝90°，DF＝CE，
易证△ADF≌△DCE(SAS)，
∴∠DAF＝∠CDE，AF＝DE，
∵∠CDE＋∠ADP＝∠ADC＝90°，
∴∠ADP＋∠DAF＝90°，
∴∠APD＝90°，
∴AF⊥DE；
第2题图
(2)若BP＝4，求正方形的边长；
第2题图
(2)解：如图，设H是AD的中点，连接BH交AF于点K，
H
K
∵四边形ABCD是正方形，E是BC的中点，
∴HD∥BE，HD＝BE，∴四边形BEDH是平行四边形，
∴HK∥DE，
∵AF⊥DE，∴∠AKB＝∠APE＝90°，
∵H是AD的中点，
∴K是AP的中点，
∴AB＝BP＝4，即正方形的边长为4；
(3)求证：PE＋PF＝ .
第2题图
(3)证明：如图，延长DE到点N，使EN＝PF，连接CN，
N
由(1)得△ADF≌△DCE，
∴∠AFD＝∠DEC，
∴∠CEN＝∠CFP，
∵E，F分别为BC，CD的中点，
∴CE＝CF，易证△CEN≌△CFP(SAS)，
∴PC＝NC，∠PCF＝∠NCE，
∴∠PCN＝∠DCB＝90°，
∴△PCN是等腰直角三角形，
∴PN＝ ，
∵PN＝PE＋EN＝PE＋PF，
∴PE＋PF＝ .
第2题图
N
一题多解法
思路点拨：
第2(3)题
解法二：如图，过点C作CM⊥PC交AF的延长线于点M，证明△MFC≌△PEC，从而得到△PCM为等腰直角三角形．
第2题图
(3)如图，过点C作CM⊥PC交AF的延长线于点M，
一题多解
M
∟
易知∠EPM＝90°，通过证明△MFC≌△PEC(ASA)，
得到FM＝PE，PC＝CM，
从而得到△PCM为等腰直角三角形，
此时PM＝ ，即可得证．(共17张PPT)
微专题15
轴对称(含折叠)落点位置不确定产生的分类讨论
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 折叠次数 折叠方式 类型 设问 结合知识点
2022 23 解答题 10 矩形、正方形 一次 折痕过一端过顶点，折痕一端不固定 折叠落在距离定点为定长的点 (1)写出30°的角；(2)①求角度；②角之间的数量关系；(3)求线段长 全等，勾股定理
2021 15 填空题 3 直角三角形 两次 折痕过一端过顶点，折痕一端不固定 折叠落在原直角三角形的边上 点落在原直角三角形边上时求线段长 三角函数
考情分析 年份 题号 题型 分值 背景 折叠次数 折叠方式 类型 设问 结合知识点
2023 15 填空题 3 矩形(图形不固定) 一次 折痕过一端过顶点，折痕一端不固定 折叠落在矩形的边上 点落在矩形边上求边长 相似，勾股定理
一阶 方法训练
温馨提示
折叠中考命题(省级命题单位)时，一般不超过原始图形的一半．若超过一半，和折叠剩余的另一小部分没有区别．
1. 如图， ，点落在等边三角形的边上，需分落在折痕定点所在边和动点所在边两种情况讨论；
方法解读
常考设问类型及分类情况如下：
2. 如图，点落在特殊四边形的边上，需分特殊四边形另外一组邻边两种情况讨论；
3. 如图，点落在特殊四边形的对角线上，需分特殊四边形的两条对角线两种情况讨论；
4. 如图，点落在矩形的对称轴上，需分矩形的两条对称轴两种情况讨论．
归纳总结：
①折痕上两点为一定一动时，实质就是定点定长画弧看交点；
②折痕上两点为两动点时，看设问图形分类讨论.
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点P在边BC上，且BP＝ ，连接AP，作点B关于AP的对称点Q，连接AQ，PQ，若点Q落在矩形ABCD的边上，则PC的长为________．
第1题图
1或
2. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC＝ ，D是斜边AB上一个动点，连接CD，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为____________．
第2题图
或
3. 如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处，如果A′恰好落在矩形对称轴上，则AE的长为________．
第3题图
2或
4. (2023洛阳二模)如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，点M为AB边上一点，AM＝2，点N为AD边上的一动点，沿MN将△AMN翻折，点A落在点P处，当点P在菱形的对角线上时，AN的长为____________．
第4题图
2或
二阶 综合应用
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2，E是AB边上一动点，△ADE关于DE对称的图形为△A′DE，点A的对应点为A′，连接A′C，当点A′落在△ABC的边上时，A′C的长为___________．
第1题图
或
解题关键点
需分点A′落在AB边上与点A′落在BC边上两种情况讨论．
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝6，M为AD的中点，N为BC边上一动点，把矩形沿MN折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，连接AA′并延长交射线CD于点P，交射线NM于点O，当N恰好运动到BC的三等分点处时，CP的长为________．
第2题图
1或5
3. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝8，AD＝6，点E，F分别为边AB，CD上动点，且AE＝CF，连接DE，BF，分别将△DAE和△BCF沿DE，BF翻折，点A的对应点为点A′，点C的对应点为点C′，连接A′C′，当点A′，C′均落在矩形ABCD的同一条对角线上时，AE长为________．
第3题图
3或
4. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是BC边上一个动点(不与点B，C重合)，将△ABE沿AE翻折到△AB′E，再将△AB′E沿AB′翻折得到△AB′E′.当点E′恰好落在正方形ABCD的边所在的直线上时，求线段BE的长．
第4题解图①
解：当点E′落在CD边上时，如解图①，
由翻折可得AE＝AE′，BE＝B′E＝B′E′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AB′＝AD，∠B＝∠D＝90°，
∴Rt△ABE≌Rt△ADE′(HL)，
第4题图
∴BE＝DE′，
∴CE＝CE′，
设BE＝x，则EE′＝2x，CE＝4－x，
在Rt△CEE′中，
EE′＝ ＝ ，
∴2x＝ ，
解得x＝ －4，即BE＝ －4.
第4题解图①
当点E′落在AD的延长线上时，如解图②，
由翻折可得∠BAE＝∠B′AE＝∠B′AE′，
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAE＝30°，
在Rt△ABE中，tan30°＝ ＝ ＝ ，
∴BE＝ .
综上所述，BE＝ 或 .
第4题解图②(共17张PPT)
微专题14
线段或直线上点位置不确定产生的分类讨论
考情及趋势分析
考情分析 年份 题号 题型 分值 类型 背景 折叠方式 设问 结合知识点
2022 23 解答题 10 距离定点为定长的点 矩形、正方形 折叠一次，折痕一端过顶点，折痕一端不固定 (1)写出一个30°的角；(2)①求角度；②角之间的数量关系；(3)求线段长 全等，勾股定理
2021 23 解答题 10 点落在线段上或线段的延长线上 尺规作角平分线 / (1)证明全等的依据；(2)证明角平分线；(3)当角度为 30°时求线段长 全等三角形的判定及判定依据
考情分析 年份 题号 题型 分值 类型 背景 折叠方式 设问 结合知识点
2023 15 填空题 3 三等分点 图形不固定 折叠一次，折痕一端过顶点，折痕一端不固定 求线段长 相似，勾股定理
方法解读
一条线段上的三等分点有两个，分别在距线段两端点的 处，
如图，点P是线段AB的三等分点，则点P可能在P1，P2两个位置处
(AP1＝BP2＝ )．
一阶 方法训练
类型一 三等分点
1. 如图，在等腰Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，D为AB边的三等分点，DE⊥AC，垂足为点E，则DE的长为____________．
第1题图
或
如图，点A是直线l上一定点，点P是直线l上一动点，且AP＝a，此时点P分在点A的左侧和右侧两种情况，AP1＝AP2＝a.
方法解读
类型二 距离定点为定长的点(2022.23)
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，O为对角线AC的中点，E为对角线AC上一点，且OE＝2，则DE的长为____________．
第2题图
或
方法解读
如图，四边形ABCD是正方形，点P是射线BC上一点，∠PDC＝α.此时需分点P在线段BC上和点P在线段BC的延长线上两种情况讨论，即∠P1DC＝∠P2DC＝α.
类型三 点在线段上或线段的延长线上
3. 如图，已知∠AOB＝30°，点M，N分别在射线OA，OB上，且OM＝ON，点P是射线OB上的一动点，点Q是射线OA上的一动点，连接PQ，MN，QN，MP，当∠PMQ＝∠QNP＝45°时，则∠MPQ的度数为____________．
第3题图
30°或60°
二阶 综合应用
第1题图
1. 如图，在边长为6的等边△ABC中，D，E分别为边AB，BC上一点，且BE＝2，过点E作EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG.若点D为AB边的三等分点，则DG的长为________．
3或
2. 如图，四边形ABCD为矩形，AB＝6，P是平面内一点，若点P到AD的距离是点P到BC距离的2倍，则点P到AD的距离为________．
第2题图
4或12
解题关键点
需分点P在矩形内部和点P在矩形外部两种情况讨论．
3. 如图，在正方形ABCD中，动点E从点B出发，沿射线BA运动，DF交射线CB于点F，连接EF，已知∠EDF＝45°.
(1)当点E在线段BA上时，试判断线段AE，CF，
EF之间的数量关系，并证明；
解：(1)EF＝AE＋CF；
证明：如图， 在BA的延长线上截取AM＝CF，
连接DM，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM＝∠DCF＝90°，AD＝CD，
第3题图
M
在△DAM和△DCF中，
∴△DAM≌△DCF(SAS)，
∴∠ADM＝∠CDF，DM＝DF，
∴∠EDM＝∠ADM＋∠ADE＝∠CDF ＋∠ADE
＝90°－45°＝45°.
∴∠EDM＝45°＝∠EDF.
AM＝CF
∠DAM＝∠DCF,
DA＝DC
第3题图
M
在△EDM和△EDF中，
∴△EDM≌△EDF(SAS)，
∴EM＝EF，
∵EM＝AE＋AM＝AE＋CF，
∴EF＝AE＋CF；
DM＝DF
∠EDM＝∠EDF,
DE＝DE
第3题图
M
解题关键点
在BA延长线上截取AM＝CF，连接DM，证
得△DAM≌△DCF，△EDM≌△EDF；
(2)若EF＝5，AE＝1，求CF的长．
第3题解图
(2)①当点E在线段BA上时，由(1)得EF＝AE＋CF，
∴CF＝5－1＝4；
②当点E在线段BA的延长线上时，如解图，
在线段CB上截取CN＝AE，连接DN，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAE＝∠DCN＝90°，AD＝CD，
第3题图
∴△DAE≌△DCN(SAS)，
∴DE＝DN，∠ADE＝∠CDN，
∴∠ADE＋∠ADN＝∠CDN＋∠ADN，
即∠EDN＝∠ADC＝90°.
∵∠EDF＝45°，∴∠NDF＝∠EDF＝45°，
AD＝CD
∠DAE＝∠DCN,
AE＝CN
在△DAE和△DCN中，
第3题解图
在△DEF和△DNF中，
∴△DEF≌△DNF(SAS)，
∴EF＝NF.
∵FN＝CF－CN＝CF－AE，
∴CF－AE＝EF，∴CF＝5＋1＝6.
综上所述，CF的长为4或6.
DF＝DF
∠EDF＝∠NDF,
DE＝DN
第3题解图
解题关键点
当点E在线段BA上时，利用(1)中结论求解；当点E在线段BA延长线上时，在线段CB上截取CN＝AE，连接DN，证得△DAE≌△DCN，△DEF≌△DNF.
