2023-2024学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省镇江市九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列说法中，正确的是( )
A. 同弦所对的圆周角相等 B. 三角形的外心到三个顶点的距离相等
C. 长度相等的两条弧是等弧 D. 任意三点确定一个圆
3.关于的一元二次方程的两根分别是、，则、的值分别是( )
A. 、 B. 、 C. 、 D. 、
4.实数，，满足，则( )
A. B. C. D.
5.如图，在半径为的中，是直径，是弦，是的中点，与交于点若是的中点，则的长是( )
A.
B.
C.
D.
6.已知在中，，，点是延长线上任意一点，作于点，于点，连接，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题2分，共24分。
7.方程的根为______．
8.已知的半径为，点与圆心的距离为，则点在 ______ 填“内”、“上”或“外”
9.若是关于的方程的一个根，则 ______ ．
10.已知一个扇形的半径为，圆心角是，则该扇形的弧长是______ ．
11.如图，、、是的切线，切点分别是、、若，，则的长是______ ．
12.正六边形内接于，的半径为，则该正六边形的面积为______ ．
13.如果关于的一元二次方程有相等的实数根，那么的值是______ ．
14.如图，某圆弧形拱桥的跨度，拱高，则该拱桥的半径为______
15.如图的直径与弦的延长线交于点，若，，则 ______
16.某大型商场月份前三周的营业收入持续上涨，若第周营业收入为万元，前周的营业总收入为万元，设平均每周的增长率为，则可列方程为______ ．
17.如图，在的内接四边形中，，，若点在上，则的度数为______ ．
18.在中，，，，点从点出发，沿射线以的速度移动，移动过程中始终保持，点、分别在射线、上以点为圆心，为半径作，若上恰好只有两个点到直线的距离为，设点移动的时间为秒，则的取值范围是______ ．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解下列方程：
；
；
；
．
20.本小题分
如图，线段的端点在边长为的正方形网格的格点上，现将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段．
请你用直尺和圆规在所给的网格中画出线段及点经过的路径；
若将此网格放在一平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为______ ；
线段在旋转到线段的过程中，线段扫过区域的面积为______ ；
若有一张与中所说的区域形状相同的纸片，将它围成一个圆锥的侧面，则该圆锥底面圆的半径长为______ ．
21.本小题分
已知关于的方程．
求证：无论取任意实数值，方程总有实数根；
若等腰的一边，另两边长、恰是这个方程的两个根，求的周长．
22.本小题分
如图，是的直径，是半圆上的一点，，，垂足为，交于，连接．
求证：是的切线；
若，，求的长．
23.本小题分
当今社会，“直播带货”已经成为商家的一种新型的促销手段小亮在直播间销售一种进价为每件元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量件与销售单价元满足一次函数关系，它们的关系如表：
销售单价元
销售量件
求与之间的函数关系式；
该商家每天想获得元的利润，又要尽可能地减少库存，应将销售单价定为多少元？
24.本小题分
已知一次函数和反比例函数相交于点和点．
______ ， ______ ；
连接，，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标；
点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，，且满足，求的值．
25.本小题分
如图，点是半径为上的一点．
尺规作图：请你作出的内接正方形；保留作图痕迹，不要求写作法
正方形的四个顶点将分成四段弧，将这四段弧沿正方形的四条边向圆内折叠，则这四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于______ ；用含的代数式表示
在的条件下，在劣弧上任意取一点，连接、、，请猜想、、之间的数量关系，并说明理由．
26.本小题分
小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
如图，在中，，，是外一点，且，求的度数若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则 ______ ；
【初步运用】：
如图，在中，，，，求的外接圆半径的值；
【方法迁移】：
如图，已知矩形，，，为边上的点．
若满足的点恰好有两个，则的取值范围为______ ；
如图，为等腰直角三角形，，，点为所在平面内一点，，以、为边作平行四边形，则的最小值为______ ．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.该图不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
本题考查了中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：、在同圆中，同弦所对的圆周角相等或互补，不符合题意；
B、三角形的外心到三个顶点的距离相等，符合题意；
C、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，不符合题意；
D、过不在同一直线上的三点可以作一个圆，不符合题意；
故选：．
利用垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了三角形的外接圆与外心，解题的关键是了解垂径定理、确定圆的条件、圆周角定理及三角形的外心的性质，难度不大．
3.【答案】
【解析】解：，
解得；
，
解得．
故选：．
根据两根之和等于，两根之积等于，列出含有和的等式，即可求出答案．
本题考查了一元一次方程中根与系数的关系，关键列出含有和的等式来解答．
4.【答案】
【解析】解：设一元二次方程为
当时，原方程化为
所以一元二次方程为有实数根，
所以．
故选：．
根据根的判别式，一元二次方程有实数根时，．
本题考查了一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是用特殊值法．
5.【答案】
【解析】【分析】
连接，交于，根据垂径定理得出，，证明≌，进而证得，根据三角形中位线定理求得，从而求得，利用勾股定理即可求得．
本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．
【解答】
解：连接，交于，
是的中点，
，，
，
，，
，
是直径，
，
在和中，
≌，
，
，
，
，
，
在中，，
，
故选D．
6.【答案】
【解析】解：连接、，延长交于，如图所示：
，，，
，，
当时，最小，
则，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，此时最小，
，
，，
的最小值．
故选：．
延长交于，当时，证明是等边三角形，得出，证明是等边三角形，得出，证出，得出，此时最小，进而求解．
本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质和勾股定理是解题的关键．
7.【答案】，
【解析】【分析】
此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．
直接利用开平方法解方程得出答案．
【解答】解：，
则，
解得：，．
故答案为，．
8.【答案】外
【解析】解：的半径为，点与圆心的距离为，，
点在外．
故答案为：外．
直接根据点与圆的位置关系解答即可．
本题考查的是点与圆的位置关系，熟知点与圆的位置关系有种．设的半径为，点到圆心的距离，则有 点在圆外；点在圆上； 点在圆内是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：由题意得：把代入方程中得：，
解得：，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，然后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，准确熟练地进行计算是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由题意得，扇形的弧长
故答案为：
利用弧长公式求解即可．
本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公式．
11.【答案】
【解析】解：、为的切线，
，
、为的切线，
，
．
故答案为：．
由于、、是的切线，则，，求出的长即可求出的长．
本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：正六边形内接于，的半径为，
而正六边形可以分成六个边长的正三角形，
正多边形的半径即为正三角形的边长，
正三角形的边长为，
正三角形的高为，
该正六边形的面积为．
故答案为：．
由于正六边形可以分成六个边长的正三角形，而正多边形的半径即为正三角形的边长，所以首先求出正三角形的面积即可求出正六边形的面积，而正三角形的高可以利用解直角三角形解决问题．
此题主要考查正多边形的计算问题，属于常规题，解题时分别利用三角形的面积公式、解直角三角形、勾股定理及垂径定理等知识．
13.【答案】或
【解析】解：关于的一元二次方程有相等的实数根，
，
解得：，
即的值可为或，
故答案为：或．
根据关于的一元二次方程有相等的实数根，得出，解关于的方程即可．
本题主要考查了根的判别式，解题的关键是根据根的判别式列出关于的方程．
14.【答案】
【解析】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，
设圆心是，半径是，连接．
根据垂径定理，得：，
在中，根据勾股定理，得，
解得：，
即该拱桥的半径为，
故答案为：．
根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在所在的直线上，设圆心是，半径为，连接根据垂径定理得，再由勾股定理求解即可．
此题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：连接，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
连接，由等腰三角形的性质推出，，由三角形外角的性质推出，即可求出的度数．
本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的性质，关键是由三角形外角的性质推出．
16.【答案】
【解析】解：第一周的营业总收入为万元，且平均每周的增长率为，
第二周的营业总收入为万元，第三周的营业总收入为万元，
依题意得：．
故答案为：．
设平均每周的增长率为，根据前周的营业总收入为万元，即可得出关于的一元二次方程．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：连接，
四边形是的内接四边形，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
．
故答案为：．
连接，先根据圆内接四边形的性质求出的度数，再由等腰三角形的性质求出的度数，进而可得出结论．
本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：设直线和到的距离为，
，，
设直线交于，交于，
，，
，
，
，
，
，
根据题意得：当在边上时，与相切，
恰好有一个点到的距离为，
，，
，
即，
，
当与相切时，与有个交点，
即，
，
，
故答案为：．
首先设直线和到的距离为，先找到两种情况，根据直角三角形的性质，勾股定理分别表示出相关线段的长度，列出不等式即可求出．
本题考查了直线与圆的位置关系，角的直角三角形性质，解不等式，勾股定理，圆周角定理，解题关键是从相切入手找到关系．
19.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，
，；
，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，．
【解析】先移项，再利用直接开方法求出的值即可；
利用公式法求出的值即可；
利用因式分解法求出的值即可；
先移项，再提取公因式即可．
本题考查的是解一元二次方程，熟知解一元二次方程的因式分解法、公式法及直接开方法是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：如图，线段及即为所求．
建立平面直角坐标系如图，
则点的坐标为．
故答案为：．
由勾股定理得，，
线段扫过区域的面积为．
故答案为：．
设该圆锥底面圆的半径长为，
的长为，
，
解得，
该圆锥底面圆的半径长为．
故答案为：．
根据旋转的性质作图即可．
根据点，的坐标建立平面直角坐标系，即可得点的坐标．
利用勾股定理求出的长，再利用扇形面积公式计算即可．
利用弧长公式求出的长，设该圆锥底面圆的半径长为，则可列方程为，求解的值即可．
本题考查作图旋转变换、扇形面积公式、弧长公式、圆锥的计算，熟练掌握旋转的性质、扇形面积公式、弧长公式等知识点是解答本题的关键．
21.【答案】证明：，
无论取任意实数值，方程总有实数根．
解：若，
方程有两个相等的实数根，
，
解得，
此时方程为，解得，
、、能够构成三角形，
的周长为；
若，则或，即方程有一根为，
把代入方程，得，
解得，
此时方程为，
解得，，
、、能够构成三角形，
的周长为；
综上所述，所求的周长为或．
【解析】把一元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得出可知方程总有实数根．
根据等腰三角形的性质分情况讨论求出，的长，然后求出的周长．
此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
22.【答案】证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
解：在中，，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
是的直径，
，
，
∽，
，
，
，
，
的长为．
【解析】连接，根据垂直定义可得，再根据圆心角、弧、弦的关系可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，进而可得，然后利用平行线的性质可得，即可解答；
在中，利用勾股定理求出，从而可得，然后利用圆内接四边形对角互补以及平角定义可得，再根据直径所对的圆周角是直角可得，从而可证∽，最后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23.【答案】解：设商品每天的销售量件与销售单价元满足一次函数关系，
根据题意可得：，
解得：，
故与之间的函数关系式为：；
根据题意可得：，
整理得：，
，
解得：不合题意，舍去，，
答：应将销售单价定为元．
【解析】直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；
直接利用中所求，表示出总利润，进而解方程的得出答案．
本题考查了一次函数的应用以及一元二次方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：把点分别代入和得，
，，
解得，，
故答案为：，；
过原点与直线平行的直线解析式为，
解方程组得或舍去，
则点坐标为；
把直线向上平移个单位得，
解方程组得或舍去，
则点坐标为或
点为轴正半轴上任意一点，
，，．
；．
，
，
当时，整理得，
解得或舍去，
当时，整理得，
解得或舍去，
的值为或．
把点的坐标分别代入和即可求得、的值；
由于，而两三角形同底，所以先求出与直线平行且到的距离等于点到的距离的两条直线和，然后分别把它们与反比例函数解析式组成方程组，再解方程组即可得到点坐标；
根据点坐标，找到、坐标，用两点间的距离公式即可求．
本题是反比例函数与一次函数的相交或平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形面积，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．
25.【答案】
【解析】解：如图所示：正方形即为所求；
，
，
，
四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于．
故答案为：．
．
理由：作交于点，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
正方形，
，，
，
≌，
，
，
．
直接作出直径，再过点作的垂线，进而得出答案；
由折叠的性质可知，四段弧折叠后和正方形重叠的图形面积等于圆的面积减去正方形的面积，则可得出答案；
作交于点，证明≌，由全等三角形的性质可得出，则可得出结论．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的内接三角形的性质，折叠的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
26.【答案】
【解析】解：，
、、三点都在以为圆心，以长为半径的圆上，
，
，
故答案为：；
作的外接圆，连接，．
，
，
，
，
的外接圆的半径为；
如图所示，在上截取一点使得，连接，以为直径作圆，过点作交于，过点作交于交圆于，过点作圆的切线分别交，于、，则四边形为正方形，
四边形是矩形，
，
在圆上，，
，
，
，
，
，
，
，
即．
故答案为：；
解：如图，延长交于点，连接，
四边形是平行四边形，
，，，
，，，
，，，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，
连接，，，与圆交于点，
则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：
即为的最小值，如图，
，
，，
，，
，
在中，，
，
即的最小值为，
故答案为：．
根据圆周角定理求解即可；
作的外接圆，连接，证出，由直角三角形的性质可得出答案；
在上截取一点使得，连接，以为直径作圆，过点作交于，过点作交于交圆于，过点作圆的切线分别交，于、，则当时满足题意，据此求解即可．
延长交于点，根据平行四边形的性质可得，可得，可以证明≌，可得，点的运动轨迹为圆的运动轨迹，假设点所在圆的圆心为，连接，，，与圆交于点，根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得，即为的最小值，利用勾股定理可得的值，进而可得的最小值．
本题考查了圆周角定理，直角三角形斜边上的中线，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质、勾股定理、最短路径问题、等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
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