广东省佛山市南海区重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单项选择题
1．（2023高一上·南海月考）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
2．（2023高一上·南海月考）当时，在同一坐标系中，函数与的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023高一上·南海月考）下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023高一上·南海月考）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023高一上·南海月考）已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值是（ ）.
A．或2 B．2 C． D．1
6．（2020高一上·佛山期末）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2023高一上·南海月考）若偶函数在上单调递减，在单调递增，且，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．（2023高一上·南海月考）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（ ）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
二、多项选择题
9．（2023高一上·南海月考）集合中的元素有（ ）
A． B． C． D．
10．（2023高一上·南海月考）若，是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
11．（2023高一上·南海月考）已知函数是上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．是减函数
C．只有一个零点 D．
12．（2020高一上·南海期中）如图，某池塘里的浮萍面积 (单位： )与时间 (单位：月)的关系式为 ( ，且 ； 且 ).则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍每月的增长率为1
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
三、填空题
13．（2023高一上·南海月考）函数的零点个数是 .
14．（2023高一上·南海月考）函数与函数互为反函数，且图像经过点，则 .
15．（2023高一上·南海月考）若函数在区间上的最小值为5，则的值为 .
16．（2023高一上·南海月考）已知是上的减函数，则实数的取值范围为 .
四、解答题
17．（2023高一上·南海月考）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
18．（2023高一上·南海月考）已知函数.
（1）当时，在给定的坐标系中作出函数的图象，并写出它的单调递减区间；
（2）若，且，求实数.
19．（2020高一上·潮阳期末）已知函数 ( ，且 ).
（1）判断函数 的奇偶性，并予以证明；
（2）求使 的x的取值范围.
20．（2023高一上·南海月考）已知函数.
（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（2）若方程在有解，求实数的取值范围.
21．（2023高一上·南海月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质.省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为.设经过个月蒲草覆盖面积为（单位：），，的关系有以下两个函数模型（，）与（）可供选择.
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？（参考数据：，）
22．（2023高一上·南海月考）已知函数（，是常数且）的一个零点是2，且方程有两相等实根.
（1）求的解析式；
（2）问是否存在实数，（）使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出，的值；如果不存在，说明理由.（艺术班选做）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： ，，，且或，解得a=1或2.
故答案为：C.
【分析】根据元素的互异性得，再根据得到或求出满足两个条件的a的值即可.
2．【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 当时，，函数在R上单调递增，
函数在 单调递减，满足题意的选项为B.
故答案为：.
【分析】当时，分别讨论函数和函数的单调性，进而判断选项.
3．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A. 是奇函数，且在上的增函数 ，A满足题意；
B. 是奇函数，在上的减函数 ， B不满足题意；
C. 不是奇函数， C不满足题意；
D. 不是奇函数 ，D不满足题意.
故答案为：A.
【分析】根据奇函数和单调性定义逐一分析选项.
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数 在单调递增， 在单调递增，在单调递增，
又 ，，
函数的零点所在的大致区间是 .
故答案为：B.
【分析】先判断单调性，进而根据零点存在性定理判断零点所在区间.
5．【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是幂函数，，求得或-1，
当时，， 在上是增函数，不满足题意；
当时，， 在上是减函数，满足题意.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数定义得求出m，进而代入分析其单调性，确定m的值.
6．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数的性质和 ，可得 ，即
根据对数函数的性质，可得 ，
因为 ，所以 ，
综上可得 .
故答案为：B
【分析】根据题意由指、对数函数的单调性即可得出a、b、c的取值范围，由此比较出大小。
7．【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：偶函数在上单调递减，在单调递增，，上单调递减，在单调递增，
，，，又，在区间和分别有一个零点，函数有4个零点.
故答案为：D.
【分析】根据偶函数图象的对称性，分析函数单调性，进而判断零点个数.
8．【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设原有溶质的半成品数量为a，则含杂质1%×a，经过n次过滤含杂质，
则，求得.
故答案为：A.
【分析】设原有溶质的半成品数量为a，则经过n次过滤含杂质，进而列不等式求解.
9．【答案】A,B,C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解： ， 或或，.
故答案为：ABC.
【分析】结合条件求出x，y的取值，进而确定集合M的元素.
10．【答案】A,D
【知识点】指数函数单调性的应用；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
A. ， ，A正确；
B. ， ，B错误；
C.，，无法判断 的正负 ， C错误；
D.在R上单调递减，又， ，D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意得 ，ABC根据不等式性质分析判断；D根据指数函数单调性判断.
11．【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】解：A.函数是上的奇函数，当时，，，求得 ，A正确；
BC.由A知当时，，显然在单调递增，且，又函数是上的奇函数， 在上是增函数 ， 只有一个零点 ，B错误， C正确；
D.函数是上的奇函数， ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A根据奇函数性质得求出a的值；BC根据奇函数图象的对称性分析的单调性，进而确定零点个数；D根据奇函数性质得代入求解.
12．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，函数过点 和点 ，代入函数关系式： ( ，且 ； ，且 )，
得 ，解得 ，
∴函数关系式为 .
由 不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，每月的增长率为 1，A不符合题意，C符合题意；
当 时， ，浮萍的面积超过了 ，B符合题意；
令 得 ；令 得 ；令 得 ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 由函数过点(1， 1)和点(3， 4)可求出函数关系式 ，再根据解析式逐一判断各选项得答案.
13．【答案】2
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解： ，当时，令，求得；
当时，，显然单调递增，又，，在区间有一个零点，函数有2个零点.
故答案为：2.
【分析】根据函数解析式分别讨论和时函数的零点.
14．【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：函数与函数互为反函数，，
，求得，
.
故答案为：2.
【分析】根据反函数定义得，代入点求出a的值，进而求 .
15．【答案】20
【知识点】函数的最大（小）值；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意易得， 在区间单调递减，，求得.
故答案为：20.
【分析】先确定k的正负判断单调性，进而求解k的值.
16．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解： 是上的减函数，，求得.
故答案为：.
【分析】根据函数单调性得，进而求出a的取值范围.
17．【答案】（1）解：当时，，∴.
（2）解：，则是的子集，，
当，即时，，满足题意；
当时，或解得：
综上得的取值范围是：.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1)代入求出集合A，根据并集的定义求 ；
(2)由得是的子集，根据补集的定义求出集合，进而分集合A是否为空集讨论a的取值范围.
18．【答案】（1）解：当时，，图象如图所示，
由图可知的单调递减区间为和
（2）解：解：依题意，当时，，
即，解得或.
当时，，即由得方程无解；
综上所述，当时，或.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1)代入 写出 ，根据函数解析式画出函数图象，结合图象写出函数单调区间 ；
(2)分和代入函数解析式求解.
19．【答案】（1）解：函数 是奇函数.
证明：要使函数 的解析式有意义，
需 的解析式都有意义，
即 解得 ，
所以函数 的定义域是 ，
所以函数 的定义域关于原点对称.
因为
所以函数 是奇函数.
（2）解：若 ，
即 .
当 时，有
解得 ；
当 时，有
解得 ，
综上所述，当 时，x的取值范围是 ，
当 时，x的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】 (1)使f(x) -g (x)的解析式有意义，须使 的解析式都有意义，结合对数函数的真数必须大于0，构造不等式组，可得函数的定义域，定义域关于原点对称，根据已知求出 ，并判断其与f(x) -g (x)的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得结论；
(2) 若 ，即 ，分a>1和0
20．【答案】（1）解：在上单调递增，证明如下：
任取，且，则，
∵在上单调递增且，∴，
∴，，，
∴，即，∴在上单调递增.
（2）解：方程在有解，即函数在区间上有零点
由（1）知在上单调递增，所以，即，解得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】 (1)在上单调递增，证明：任取，且，通过化简证明即可；
(2)将问题转化为函数在区间上有零点结合单调性，得，进而求出 的取值范围.
21．【答案】（1）解：若选择模型（，），
则，解得，，故函数模型为，
若选择模型（），则，解得，，
故函数模型为.
（2）解：把代入可得，，
把代入可得，，
∵，∴选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
∴，
故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】(1)将点，分别代入两个函数模型求解函数解析式；
(2)将分别代入两个函数模型，求出y与20进行比较，求出合适的函数模型，令，求出x即可.
22．【答案】（1）解：∵，∴.
又∵方程（）两相等实根，
∴，∴，，∴
（2）解：∵，∴
又二次函数的对称轴为，
∴时，在上为增函数
设，存在，则即
又∵，∴，
即存在实数使的定义域为，值域为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)结合题意得，求出a，b的关系，代入结合判别式为0，求出a，b；
(2)由(1)知，根据二次函数性质得，进而根据函数单调性将问题转化为，，求出m，n即可.
1 / 1广东省佛山市南海区重点中学2023-2024学年高一上学期数学12月月考试卷
一、单项选择题
1．（2023高一上·南海月考）已知集合，，若，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．1或2 D．4
【答案】C
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；并集及其运算
【解析】【解答】解： ，，，且或，解得a=1或2.
故答案为：C.
【分析】根据元素的互异性得，再根据得到或求出满足两个条件的a的值即可.
2．（2023高一上·南海月考）当时，在同一坐标系中，函数与的图象可以是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 当时，，函数在R上单调递增，
函数在 单调递减，满足题意的选项为B.
故答案为：.
【分析】当时，分别讨论函数和函数的单调性，进而判断选项.
3．（2023高一上·南海月考）下列函数中，既是奇函数又是区间上的增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：A. 是奇函数，且在上的增函数 ，A满足题意；
B. 是奇函数，在上的减函数 ， B不满足题意；
C. 不是奇函数， C不满足题意；
D. 不是奇函数 ，D不满足题意.
故答案为：A.
【分析】根据奇函数和单调性定义逐一分析选项.
4．（2023高一上·南海月考）函数的零点所在的大致区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数 在单调递增， 在单调递增，在单调递增，
又 ，，
函数的零点所在的大致区间是 .
故答案为：B.
【分析】先判断单调性，进而根据零点存在性定理判断零点所在区间.
5．（2023高一上·南海月考）已知函数是幂函数，且在上是减函数，则实数的值是（ ）.
A．或2 B．2 C． D．1
【答案】C
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：函数是幂函数，，求得或-1，
当时，， 在上是增函数，不满足题意；
当时，， 在上是减函数，满足题意.
故答案为：C.
【分析】根据幂函数定义得求出m，进而代入分析其单调性，确定m的值.
6．（2020高一上·佛山期末）设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】由指数函数的性质和 ，可得 ，即
根据对数函数的性质，可得 ，
因为 ，所以 ，
综上可得 .
故答案为：B
【分析】根据题意由指、对数函数的单调性即可得出a、b、c的取值范围，由此比较出大小。
7．（2023高一上·南海月考）若偶函数在上单调递减，在单调递增，且，，则函数的零点个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：偶函数在上单调递减，在单调递增，，上单调递减，在单调递增，
，，，又，在区间和分别有一个零点，函数有4个零点.
故答案为：D.
【分析】根据偶函数图象的对称性，分析函数单调性，进而判断零点个数.
8．（2023高一上·南海月考）某化工厂生产一种溶质，按市场要求，杂质含量不能超过0.01%.若该溶质的半成品含杂质1%，且每过滤一次杂质含量减少为原来的，则要使产品达到市场要求，该溶质的半成品至少应过滤（ ）
A．5次 B．6次 C．7次 D．8次
【答案】A
【知识点】有理数指数幂的运算性质；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：设原有溶质的半成品数量为a，则含杂质1%×a，经过n次过滤含杂质，
则，求得.
故答案为：A.
【分析】设原有溶质的半成品数量为a，则经过n次过滤含杂质，进而列不等式求解.
二、多项选择题
9．（2023高一上·南海月考）集合中的元素有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】解： ， 或或，.
故答案为：ABC.
【分析】结合条件求出x，y的取值，进而确定集合M的元素.
10．（2023高一上·南海月考）若，是任意正实数，且，则下列不等式成立的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,D
【知识点】指数函数单调性的应用；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：由题意得 ，
A. ， ，A正确；
B. ， ，B错误；
C.，，无法判断 的正负 ， C错误；
D.在R上单调递减，又， ，D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意得 ，ABC根据不等式性质分析判断；D根据指数函数单调性判断.
11．（2023高一上·南海月考）已知函数是上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．是减函数
C．只有一个零点 D．
【答案】A,C,D
【知识点】奇函数与偶函数的性质；奇偶函数图象的对称性；函数的值
【解析】【解答】解：A.函数是上的奇函数，当时，，，求得 ，A正确；
BC.由A知当时，，显然在单调递增，且，又函数是上的奇函数， 在上是增函数 ， 只有一个零点 ，B错误， C正确；
D.函数是上的奇函数， ，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A根据奇函数性质得求出a的值；BC根据奇函数图象的对称性分析的单调性，进而确定零点个数；D根据奇函数性质得代入求解.
12．（2020高一上·南海期中）如图，某池塘里的浮萍面积 (单位： )与时间 (单位：月)的关系式为 ( ，且 ； 且 ).则下列说法正确的是（ ）
A．浮萍每月增加的面积都相等
B．第6个月时，浮萍的面积会超过
C．浮萍每月的增长率为1
D．若浮萍面积蔓延到 ， ， 所经过的时间分别为 ， ， ，则
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，函数过点 和点 ，代入函数关系式： ( ，且 ； ，且 )，
得 ，解得 ，
∴函数关系式为 .
由 不是常数，可知浮萍每个月增加的面积不等，每月的增长率为 1，A不符合题意，C符合题意；
当 时， ，浮萍的面积超过了 ，B符合题意；
令 得 ；令 得 ；令 得 ，
∴ ，D符合题意.
故答案为：BCD.
【分析】 由函数过点(1， 1)和点(3， 4)可求出函数关系式 ，再根据解析式逐一判断各选项得答案.
三、填空题
13．（2023高一上·南海月考）函数的零点个数是 .
【答案】2
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】解： ，当时，令，求得；
当时，，显然单调递增，又，，在区间有一个零点，函数有2个零点.
故答案为：2.
【分析】根据函数解析式分别讨论和时函数的零点.
14．（2023高一上·南海月考）函数与函数互为反函数，且图像经过点，则 .
【答案】2
【知识点】对数的性质与运算法则；互为反函数的两个函数之间的关系
【解析】【解答】解：函数与函数互为反函数，，
，求得，
.
故答案为：2.
【分析】根据反函数定义得，代入点求出a的值，进而求 .
15．（2023高一上·南海月考）若函数在区间上的最小值为5，则的值为 .
【答案】20
【知识点】函数的最大（小）值；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由题意易得， 在区间单调递减，，求得.
故答案为：20.
【分析】先确定k的正负判断单调性，进而求解k的值.
16．（2023高一上·南海月考）已知是上的减函数，则实数的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解： 是上的减函数，，求得.
故答案为：.
【分析】根据函数单调性得，进而求出a的取值范围.
四、解答题
17．（2023高一上·南海月考）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：当时，，∴.
（2）解：，则是的子集，，
当，即时，，满足题意；
当时，或解得：
综上得的取值范围是：.
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；补集及其运算
【解析】【分析】 (1)代入求出集合A，根据并集的定义求 ；
(2)由得是的子集，根据补集的定义求出集合，进而分集合A是否为空集讨论a的取值范围.
18．（2023高一上·南海月考）已知函数.
（1）当时，在给定的坐标系中作出函数的图象，并写出它的单调递减区间；
（2）若，且，求实数.
【答案】（1）解：当时，，图象如图所示，
由图可知的单调递减区间为和
（2）解：解：依题意，当时，，
即，解得或.
当时，，即由得方程无解；
综上所述，当时，或.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】 (1)代入 写出 ，根据函数解析式画出函数图象，结合图象写出函数单调区间 ；
(2)分和代入函数解析式求解.
19．（2020高一上·潮阳期末）已知函数 ( ，且 ).
（1）判断函数 的奇偶性，并予以证明；
（2）求使 的x的取值范围.
【答案】（1）解：函数 是奇函数.
证明：要使函数 的解析式有意义，
需 的解析式都有意义，
即 解得 ，
所以函数 的定义域是 ，
所以函数 的定义域关于原点对称.
因为
所以函数 是奇函数.
（2）解：若 ，
即 .
当 时，有
解得 ；
当 时，有
解得 ，
综上所述，当 时，x的取值范围是 ，
当 时，x的取值范围是 .
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【分析】 (1)使f(x) -g (x)的解析式有意义，须使 的解析式都有意义，结合对数函数的真数必须大于0，构造不等式组，可得函数的定义域，定义域关于原点对称，根据已知求出 ，并判断其与f(x) -g (x)的关系，进而根据函数奇偶性的定义可得结论；
(2) 若 ，即 ，分a>1和020．（2023高一上·南海月考）已知函数.
（1）判断函数的单调性，并证明你的结论；
（2）若方程在有解，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：在上单调递增，证明如下：
任取，且，则，
∵在上单调递增且，∴，
∴，，，
∴，即，∴在上单调递增.
（2）解：方程在有解，即函数在区间上有零点
由（1）知在上单调递增，所以，即，解得.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】 (1)在上单调递增，证明：任取，且，通过化简证明即可；
(2)将问题转化为函数在区间上有零点结合单调性，得，进而求出 的取值范围.
21．（2023高一上·南海月考）为践行“绿水青山，就是金山银山”，我省决定净化闽江上游水域的水质.省环保局于2018年年底在闽江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2019年2月底测得蒲草覆盖面积为，2019年3月底测得蒲草覆盖面积为.设经过个月蒲草覆盖面积为（单位：），，的关系有以下两个函数模型（，）与（）可供选择.
（1）分别求出两个函数模型的解析式；
（2）若2018年年底测得蒲草覆盖面积为，从上述两个函数模型中选择更合适的一个模型，试估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖面积能超过？（参考数据：，）
【答案】（1）解：若选择模型（，），
则，解得，，故函数模型为，
若选择模型（），则，解得，，
故函数模型为.
（2）解：把代入可得，，
把代入可得，，
∵，∴选择函数模型更合适，
令，可得，两边取对数可得，，
∴，
故蒲草至少到2020年2月底覆盖面积能超过.
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】(1)将点，分别代入两个函数模型求解函数解析式；
(2)将分别代入两个函数模型，求出y与20进行比较，求出合适的函数模型，令，求出x即可.
22．（2023高一上·南海月考）已知函数（，是常数且）的一个零点是2，且方程有两相等实根.
（1）求的解析式；
（2）问是否存在实数，（）使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出，的值；如果不存在，说明理由.（艺术班选做）
【答案】（1）解：∵，∴.
又∵方程（）两相等实根，
∴，∴，，∴
（2）解：∵，∴
又二次函数的对称轴为，
∴时，在上为增函数
设，存在，则即
又∵，∴，
即存在实数使的定义域为，值域为
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】(1)结合题意得，求出a，b的关系，代入结合判别式为0，求出a，b；
(2)由(1)知，根据二次函数性质得，进而根据函数单调性将问题转化为，，求出m，n即可.
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