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2023-2024学年浙教版上学期九年级数学期末常考题精选01
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2023上·浙江·九年级统考阶段练习）已知的半径为8，点A在内，则的长可能为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】A
【分析】本题考查点与圆的位置关系．掌握点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外是解题关键．由点A在内，可知点A到该圆圆心的距离小于其半径，即可得解．
【详解】解：∵的半径为8，且点A在内，
∴，
故选A．
2．（本题3分）（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线与轴的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查抛物线与坐标轴的交点，将代入解析式求出对应的y值即可．
【详解】解：当时，，
抛物线与轴的交点坐标是，
故选C．
3．（本题3分）（2023下·浙江·九年级开学考试）已知线段a是线段b、c的比例中项，，则( )
A．1 B．2 C．8 D．
【答案】C
【分析】本题考查了比例线段，即，即，则称线段a是线段b、c的比例中项；根据比例中项的含义可得c的值．
【详解】解：∵线段a是线段b、c的比例中项，
∴，
∴，
故选：C．
4．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中4个红球、3个黄球和2个白球，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率公式是解题的关键．
根据从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为，
故选：C．
5．（本题3分）（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了相似三角形的判定．利用相似三角形的判定方法依次判断可求解．
【详解】解：A、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项A不符合题意；
B、两边对应成比例，而夹角不一定相等，不能证明阴影部分的三角形与原相似，故选项B符合题意；
C、由有两组角对应相等的两个三角形相似，可证阴影部分的三角形与原相似，故选项C不符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，故选项D不符合题意；
故选：B．
6．（本题3分）（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考阶段练习）若实数为不大于的非负整数，则使关于的分式方程的解为整数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解分式方程得，因为实数为不大于的非负整数，则，，，，，，，分别讨论，，，，，，几种情况，得出使关于的分式方程的解为整数情况，即可求得概率．
【详解】解：解分式方程得，
实数为不大于的非负整数，
，，，，，，，
显然解的分子只能是2的倍数，从而a只能取偶数；
∴当时，；
当时，，方程无解，故舍去；
当时，；
当时，，
使关于的分式方程的解为整数的概率为，
故选：．
【点睛】本题考查概率公式，分式方程的解，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
7．（本题3分）（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据30度所对的直角边等于斜边的一半得出．设，则．再根据重心的定义与性质以及直角三角形的性质得出，，然后利用平行线分线段成比例定理得出，进而求出．本题考查了三角形重心的定义与性质，三角形的重心是三角形三边中线的交点，重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1，也考查了直角三角形的性质，平行线分线段成比例定理，难度适中．
【详解】解：∵，，
∴．
设，则．
∵点为的重心，，
连接并延长交于点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
8．（本题3分）（2022下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由四边形是矩形，点的坐标为可得，由矩形与矩形是位似图形可得，，从而得到，，由相似三角形的性质可得，，进行计算可得，从而得到答案．
【详解】解：四边形是矩形，点的坐标为，
，
矩形与矩形是位似图形，
，，
，，
，，
点的横坐标为，四边形是矩形，
，
即，，
解得：，
，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了位似图形的概念，相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出，是解题的关键．
9．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级统考期中）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约米，与篮筐的水平距离，此球准确落入高为米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式．根据题意设抛物线解析式为，再把和代入解析式，求出a，k即可．
【详解】解：根据题意得：抛物线过点和，对称轴为直线，
∴设抛物线解析式为，
把和代入解析式得：，
解得，
∴抛物线解析式为，
∵，
∴函数的最大值为，
∴球在运动中离地面的最大高度为，
故选：C．
10．（本题3分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了圆的相关知识点的应用，图形折叠及三角形三边关系的性质是解题关键．连接，，由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，设的弧度为，求出的弧度为，再设半径为r，列方程求解即可．
【详解】解：连接，，
由三角形任意两边之差小于第三边得，当、、共线时最小，即，
设的弧度为，
的弧度为：，
，
的弧度为：，
由折叠得，的弧度为，
的弧度为：，
点为弧中点，
的弧度为：，
的弧度为：，
即所对圆心角为，
设半圆的半径为r，
，
，
解得：
半径为2，
故选：C．
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的社工活动，则小明被选中的概率是 ．
【答案】
【分析】此题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比；据此作答：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式计算可得．
【详解】解：记小明为A、小聪为B、小慧为C、小颖为D，
画树状图如下：
由树状图可知，共有种等可能结果，其中小明被选中（其中含有A）的有6种结果，
∴小明被选中的概率是
故答案为：．
12．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是 ．
【答案】
【分析】利用平行线分线段成比例定理计算即可．
【详解】∵，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，
∴，
∴，
解得,
故点P表示的数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键．
13．（本题3分）（2023上·浙江·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，是的弦，若，则弧的长为 ．
【答案】
【分析】连接，先根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，然后根据弧长公式计算．本题考查了弧长公式：（其中弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r）．
【详解】解：连接，如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴弧的长．
故答案为：．
14．（本题3分）（2023上·浙江台州·九年级校考期中）已知点在二次函数的图像上，则的最大值 ．
【答案】3
【分析】本题考查了二次函数的最值，根据，得到，计算即可．
【详解】∵点在二次函数的图像上，
∴，得到
∴，
∴最大值为3，
故答案为：3．
15．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，且圆心在水面上方．若水面宽，则水的最大深度为 ．
【答案】18
【分析】本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．过点O作交于点D，交圆O于点C，连接，利用垂径定理得出，然后利用勾股定理求出的长度，最后利用即可求解．
【详解】如图，过点O作交于点D，交圆O于点C，连接，
∵，，
∴，
∵直径为，
∴，
，
，
故答案为：18．
16．（本题3分）（2023下·浙江·九年级开学考试）如图所示，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则点的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与正方形的综合应用，解题关键是运用数形结合的思想分析问题．先将点代入求出抛物线解析式，由正方形的性质可知点的纵坐标是3，即可求出点的横坐标，结合正方形的性质可得答案．
【详解】解：将点代入抛物线，
可得，解得，
∴抛物线的解析式为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点的纵坐标是3，
当时，可有，
解得或（不合题意，舍去），
∴点的横坐标是，
∵四边形是正方形，
∴，
∴点的坐标是．
故答案为：．
17．（本题3分）（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点E，则与的周长比为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数与相似三角形综合，先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点C的坐标，再根据题意求出点D的坐标，从而得到的长，再证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案．
【详解】解：把，代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
在中，当时，，
∴，
∵轴且点D在抛物线上，
∴点C与点D关于抛物线对称轴对称轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴与的周长比，
故答案为：．
18．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，连接并延长交于点G，则的值为 ．
【答案】/
【分析】过点F作于点H，设与交于点O，利用两角对应相等求证，即可求出 的值．
【详解】解：过点F作于点H，设与交于点O，如图所示：
由折叠的性质点A与点对应易知：，
，，
，即，
又，
，
，，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查翻折变换，矩形性质以及相似三角形判定与性质，熟练掌握三角形相似的判定与性质是解题的关键．
三、解答题（请写出必要的解题过程）
19．（本题6分）（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
(2)从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
(3)若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为求m的值．
【答案】(1)
(2)
(3)3
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求解可得；
（3）根据已知列出关于m的方程，解之可得．
【详解】（1）解：（1）∵袋中共有4个小球，其中红球有3个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为，
由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
（2）列表如下：
白 红 红 红
白 （白，白） （红，白） （红，白） （红，白）
红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （红，红） （红，红） （红，红）
由表知共有16种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有6种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为；
（3）解：根据题意，得：
，
解得m＝3；
∴m的值为3．
【点睛】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20．（本题6分）（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在7×6的方格中，的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形．
(1)请在图①中画出的中线；
(2)请在图②中画出，使其面积为面积的，点E、F分别在、上且．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了网格作图，正确理解题意，运用中线的定义，三角形相似的性质画图即可．
(1)根据矩形的性质，对角线的交点是中点即可画图．
(2)根据三角形相似的判断和性质，判定即可画图．
【详解】（1）如图，连接，交于点D，
∵四边形是矩形，
∴点D是对角线的交点，
∴，
连接，
则即为所求．
（2）如图，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故即为所求．
21．（本题6分）（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点．
(1)请求出点的坐标；
(2)请利用图象直接写出时x的取值范围．
(3)请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围．
【答案】(1)；
(2)或；
(3)．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征．
（1）利用二次函数的对称性即可求得点的坐标；
（2）观察图象即可求得；
（3）根据图象即可求得．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点，且二次函数的对称轴直线，
∴；
（2）解：由图象可知，当或时，；
（3）解：由图象可知，两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围是．
22．（本题8分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离．
(3)如果小明站在之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高．
【答案】(1)
(2)米
(3)小明的身高是米
【分析】（1）利用待定系数法即可求解．
（2）当时，y有最大值，将x的值带入解析式即可求解．
（3）把代入，求得y的值，再减去0.6米即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，点E的坐标为，点B的坐标为，
∵点E和点B均在抛物线的图像上，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为．
（2）∵抛物线的解析式为，
当时，，
绳子与地面的最大距离为米．
（3）解：把代入，
得：，
（米），
小明的身高是米．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、待定系数法，理清题意，利用待定系数法求函数解析式是解题的关键．
23．（本题8分）（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 在日常生活中，如果没有带测量工具，那么我们可以用身体的“尺子”来测量，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图1），现利用该方法测得一块矩形花岗岩的长和高（如图2）． 图1 图2
素材2 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图3）,石拱桥由以上矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连结（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗各边的中点，如图3所示）．
素材3 通过观察发现两个点都在拱圈上．是拱圈的最高点，且在两块花岗岩连结顶点处，是花岗岩的顶点（如图4）．
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
【答案】（1）水平距离肘，铅锤距离肘；（2）半径肘
【分析】本题考查了圆、勾股定理等知识，熟练使用勾股定理和牢记圆的性质是解题的关键．
任务1：由图数出水平花岗岩的块数和铅垂距离的块数，用数量乘以对应单位即可；
任务2：作出适当辅助线，确定圆心，根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：任务1：根据素材1，观察图形可知一块花岗岩的长为2肘、宽为1肘，
根据素材2、素材3，观察图形可知
两点之间的水平距离有块花岗岩的长，则长为(肘)
两点之间的铅垂距离 (高度差) 有块花岗岩的宽，则宽为(肘)
答：两点之间的水平距离为肘，铅垂距离(高度差) 为时；
任务2：如图，作过点的水平线，过点作该水平线的垂线，垂足为，作于，则圆心在所在的直线上，记圆心为，连接
由图可知：、、、
设，则
在中，
即：
在中，
即：
解得：
故半径肘．
24．（本题12分）（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点．
(1)如图1，当点在线段中点时，求的长；
(2)如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长；
(3)如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)，，；
【分析】（）利用勾股定理和线段中点的性质即可求解；
（）连接，由得是的直径，则，再根据点为中点证明，再通过角平分线性质和等面积法求出，最后由勾股定理即可求解；
（）分当时，当时，当时三种情况讨论即可；
此题考查了圆周角定理，勾股定理和等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）解：∵，
∴在中，有勾股定理得：，
∵点是线段中点，
∴，
在中，有勾股定理得：，
（2）解：连接，
∵，
∴是的直径，
∴，
∵点为中点，
∴，
∴，
由（）得：，
设，则
∵，
∴，解得：，即，
在中，有勾股定理得：；
（3）解：分三种情况，
当时，连接，过作于点，由（）得：，
∴，
∴，
由（）得：，即，
∴
设，则，
∴在中，由勾股定理得：，即，解得：，
∴；
如图，当时，过作于点，
∴，
∴；
如图，当时，连接，过作于点，由（）得：，
∴，
在和中
∵，
∴
∴，
在中，有勾股定理得：；
综上可知：或或．
试卷第1页，共3页
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2023-2024学年浙教版上学期九年级数学期末常考题精选01
注意事项∶
1. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。
2. 所有答案都必须写到答题卷上。选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔书写，字体要工整，笔迹要清楚。21cnjy.com
3．本试卷分试题卷和答题卷两部分，满分100分。考试时间共90分钟。
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．（本题3分）（2023上·浙江·九年级统考阶段练习）已知的半径为8，点A在内，则的长可能为（ ）A．6 B．8 C．10 D．12
2．（本题3分）（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）抛物线与轴的交点坐标是（ ）A． B． C． D．
3．（本题3分）（2023下·浙江·九年级开学考试）已知线段a是线段b、c的比例中项，，则( )A．1 B．2 C．8 D．
4．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）在一个不透明的袋中装有9个只有颜色不同的球，其中4个红球、3个黄球和2个白球，从袋中任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知在中，，，，下列阴影部分的三角形与原不相似的是（ ）
A．B．C．D．
6．（本题3分）（2023上·浙江嘉兴·九年级校联考阶段练习）若实数为不大于的非负整数，则使关于的分式方程的解为整数的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，点为的重心，，，连接并延长交于点，作于点，过点作交于点，则的值为（ ）
A．1 B． C． D．
8．（本题3分）（2022下·山东威海·八年级统考期末）如图，矩形与矩形是位似图形，点是位似中心．若点的坐标为，点的横坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
9．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级统考期中）如图1是某篮球运动员在比赛中投篮，球运动的路线为抛物线的一部分，如图2，球出手时离地面约米，与篮筐的水平距离，此球准确落入高为米的篮筐．当球在空中运行的水平距离为米时，球恰好达到最大高度，则球在运动中离地面的最大高度为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
10．（本题3分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图，在半圆O中，C是半圆上一点，将沿弦折叠交直径于点D，点E是的中点，连结，若的最小值为，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题有8个小题，每小题3分，共24分）
11．（本题3分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考期中）从小明、小聪、小慧和小颖四人中随机选取2人参加学校组织的社工活动，则小明被选中的概率是 ．
12．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，某位同学用带有刻度的直尺在数轴上作图，若，点Q，点M在直尺上，且分别与直尺上的刻度1和3对齐，在数轴上点N表示的数是10，则点P表示的数是 ．
13．（本题3分）（2023上·浙江·九年级统考阶段练习）如图，是的直径，是的弦，若，则弧的长为 ．
14．（本题3分）（2023上·浙江台州·九年级校考期中）已知点在二次函数的图像上，则的最大值 ．
15．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级温州市第十二中学校考阶段练习）往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，且圆心在水面上方．若水面宽，则水的最大深度为 ．
16．（本题3分）（2023下·浙江·九年级开学考试）如图所示，抛物线与轴正半轴交于点．以为边在轴上方作正方形，延长交抛物线于点，再以为边向上作正方形，则点的坐标是 ．
17．（本题3分）（2023上·浙江嘉兴·九年级校考期中）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C，作轴交抛物线于点D，交于点E，则与的周长比为 ．
18．（本题3分）（2023上·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，，点E，F分别在，上，把纸片沿折叠，点A，B的对应点分别为，，连接并延长交于点G，则的值为 ．
三、解答题（请写出必要的解题过程）
19．（本题6分）（2023上·浙江温州·九年级校联考期中）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的球，其中1个白球，3个红球．
(1)求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
(2)从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，请用树状图或列表法求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
(3)若在原袋子中再放入m个白球和m个红球，搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出1个球，颜色是白色的概率为求m的值．
20．（本题6分）（2023上·浙江宁波·九年级校考期中）如图，在7×6的方格中，的顶点均在格点上．请按照下列要求，只用没有刻度的直尺画出相应的图形．
(1)请在图①中画出的中线；
(2)请在图②中画出，使其面积为面积的，点E、F分别在、上且．
21．（本题6分）（2023上·浙江杭州·九年级校考期中）如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点、点和点，且二次函数的对称轴为直线，一次函数的图象与抛物线交于、两点．
(1)请求出点的坐标；
(2)请利用图象直接写出时x的取值范围．
(3)请利用图象直接写出当两函数的函数值的积小于0时的自变量取值范围．
22．（本题8分）（2023上·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）跳长绳时，当绳甩到最高处时的形状是抛物线，如图正在甩绳的两名同学拿绳的手间距为8米，手到地面的距离和均为米，身高为米的小红站在距点O的水平距离为1米的点F处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为．
(1)求该抛物线的解析式．
(2)当绳子甩到最高处时，计算绳子与地面的最大距离．
(3)如果小明站在之间，且离点O的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶正上方0.6米处，求小明的身高．
23．（本题8分）（2023上·浙江丽水·九年级统考期中）注：测量、计算时，都以“肘”为单位．
测算石拱桥拱圈的半径
素材1 在日常生活中，如果没有带测量工具，那么我们可以用身体的“尺子”来测量，比如前臂长（包括手掌、手指）称为1肘（如图1），现利用该方法测得一块矩形花岗岩的长和高（如图2）． 图1 图2
素材2 某数学兴趣小组测算一座石拱桥拱圈的半径（如图3）,石拱桥由以上矩形的花岗岩叠砌而成，上、下的花岗岩错缝连结（花岗岩的各个顶点落在上、下花岗各边的中点，如图3所示）．
素材3 通过观察发现两个点都在拱圈上．是拱圈的最高点，且在两块花岗岩连结顶点处，是花岗岩的顶点（如图4）．
问题解决
任务1 获取数据 通过观察、计算两点之间的水平距离及铅垂距离（高度差）．
任务2 分析计算 通过观察、计算石拱桥拱圈的半径．
24．（本题12分）（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）已知，直角中，，，，过，两点作圆交射线于点，交射线于点．
(1)如图1，当点在线段中点时，求的长；
(2)如图2，当点在线段上时，若点为中点，求的长；
(3)如图3，连接，若为等腰三角形，求所有满足条件的的值．
试卷第1页，共3页
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