2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（上）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年河北省张家口市宣化区八年级（上）期末数学试卷（人教版）
一、选择题：本题共16小题，共42分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列艺术字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅 米，将这个数用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
3.若点与关于轴对称，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.分式的值为，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 不存在这样的
5.已知等腰三角形的一个角为，则它的顶角为( )
A. B. C. D. 或
6.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
7.若一个多边形的内角和为，则这个多边形的边数为( )
A. B. C. D.
8.如图，将一个三角形剪去一个角后，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，的面积为，平分，于，连接，则的面积为( )
A.
B.
C.
D.
10.已知，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
11.嘉淇在折幸运星时将一张长方形的纸条折成了如图所示的样子内部有一个正五边形，则的度数为( )
A.
B.
C.
D.
12.如图，在等边三角形中，，是的中点，过点作于点，过点作于点，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
13.下列命题，正确的是( )
A. 三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等
B. 三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等
C. 三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等
D. 三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等
14.如图，，且，，，分别交于、两点，若，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
15.如图，将图中阴影部分拼成图，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式( )
A.
B.
C.
D.
16.如图，在中，，于点，平分，且于点，与相交于点，于点，交于点下列结论：；；；其中正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题3分，共9分。
17.分解因式：______．
18.若，则代数式的值为 ．
19.如图，在正方形中，，是上一点且，连接，动点从点以每秒个单位长度的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当和全等时，的值是______ ．
三、解答题：本题共7小题，共69分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
20.本小题分
计算：；
解方程：；
先化简再求值：，然后从，，中选择一个合适的数代入求值．
21.本小题分
如图，三个顶点的坐标分别为，，．
在图中画出关于轴对称的图形，并写出点的坐标；
求的面积；
在轴上有一点使得的值最小，则点的坐标是______ ．
22.本小题分
人教版八年级上册数学教材第页的第题：已知，，求的值老师讲解了这道题的两种方法：
方法一 方法二
，
，
．
，
． ，
．
，，
．
请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．
已知，，求的值；
已知，求的值．
23.本小题分
如图，在锐角中，于点，点在上，，，点为的中点，连接并延长至点，使，连接．
试说明：≌．
试说明：．
24.本小题分
某市教育部门为了落实中共中央关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见，确定初中生的体育考试成绩计入毕业升学成绩，考试项目可由学生自行选择．据统计：市内某校九年级选考篮球的学生有人，选考足球的学生有人．学校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划选购一批篮球与足球，保证每人不少于一个足球，每人不少于一个篮球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格高元，用元单独购进篮球的个数与元单独购进足球的个数相同．
足球与篮球的单价分别为多少元？
若学校计划购买这种足球与篮球共个，且投入的经费不超过元，则共有几种购买方案？
25.本小题分
中，三个内角的平分线交于点，过点作，交边于点．
如图，猜想与的关系，并说明你的理由；
如图，作外角的平分线交的延长线于点．
求证：；
若，求的度数．
26.本小题分
在中，，点在边上，且，是射线上的一个动点不与点重合，且，在射线上截取，连接．
当点在线段上时，
若点与点重合，请根据题意补全图，并直接写出线段与的数量关系为______；
如图，若点不与点重合，请证明；
当点在线段的延长线上时，用等式表示线段，，之间的数量关系直接写出结果，不需要证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】本题考查了轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
解：“共”能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，可以看作是轴对称图形；
“同”，“战”，“疫”不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，不可以看作是轴对称图形．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：；
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
3.【答案】
【解析】解：点与关于轴对称，
，，
点坐标为．
故选：．
根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”求出、的值，从而得到点的坐标．
本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4.【答案】
【解析】解：由分式的值为零的条件得：且，
由，得或，
由，得，
综上，得，即的值为，
故选：．
根据分式值为得出且，求出即可．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
5.【答案】
【解析】解：当这个角是底角时，其顶角；
当这个角是顶角时，顶角；
故选：．
题中没有指明该角是顶角还是底角，故应该分两种情况进行分析．
此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的运用．若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、，故本选项不合题意；
B、，故本选项符合题意；
C、，故本选项不合题意；
D、，故本选项不合题意．
故选：．
分别根据合并同类项法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．
本题主要考查了合并同类项，同底数幂的除法以及幂的乘法与积的乘方，熟记相关运算法则是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单，注意熟记公式是准确求解此题的关键，注意方程思想的应用，首先设这个多边形的边数为，由边形的内角和等于，即可得方程，解此方程即可求得答案．
【解答】
解：设这个多边形的边数为，
根据题意得，
，
解得，
．
故选：．
8.【答案】
【解析】解：，
，
，
故选：．
根据四边形的内角和定理求出、的度数，再根据三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形的内角和定理以及四边形内角和定理，熟练掌握三角形和四边形内角和定理是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：延长交于，
平分，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，，
，
故选：．
根据已知条件证得≌，根据全等三角形的性质得到，得出，，推出，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的面积的应用，注意：等底等高的三角形的面积相等．
10.【答案】
【解析】解：，，，
，，．
又，
．
故选：．
根据幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系解决此题．
本题主要考查幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小比较，熟练掌握幂的乘方、有理数的乘方、有理数的大小关系是解决本题的关键．
11.【答案】
【解析】解：如图，
由题意得：多边形是正五边形，
，
，
．
故选：．
点拨：根据五边形的内角和是可得的度数，再利用角的和差解决此题．
本题主要考查多边形的外角和，熟练掌握多边形的内角和公式是解决本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：为等边三角形，
，，
，，
，
，
，所对直角边等于斜边的一半，
点是的中点，
，
，，，
．
故选：．
根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，求得，，，即可得出的长．
本题考查了含角直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识；熟练掌握含角直角三角形的性质是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：、三角形三条中线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
B、三角形三条高线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
C、三角形三条角平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，错误，本选项不符合题意．
D、三角形三边中垂线的交点到三角形三个顶点的距离相等，正确，本选项符合题意．
故选：．
根据三角形的外心是各边垂直平分线的交点，即可判断．
本题考查命题与定理，三角形的中线，角平分线，高，中垂线等知识，解题的关键是掌握三角形的外心是各边垂直平分线的交点．
14.【答案】
【解析】解：，，，
，，，
，
，，
≌
，，
，
，
故选：．
由余角的性质可得，由“”可证≌，可得，，可得的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得：图中阴影部分面积，图中阴影部分面积，
，
故选：．
根据图形确定出图与图的面积，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式的几何背景，弄清阴影部分面积的求法是解本题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，，
是等腰直角三角形．
故正确；
在和中，
，，且，
．
又，，
≌．
；．
，
；故正确；
在和中，
平分，
．
又，，
≌．
．
又由，知，
；故正确；
连接．
是等腰直角三角形，
又，
垂直平分．
在中，是斜边，是直角边，
．
，
故错误．
故选：．
根据，可得出，利用判定≌，从而得出，则，即；再利用判定≌，得出，又因为所以，连接因为是等腰直角三角形，即又因为，那么垂直平分即在中，是斜边，是直角边，所以即．
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、在复杂的图形中有的角，有垂直，往往要用到等腰直角三角形，要注意掌握并应用此点．
17.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可．
此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题关键．
18.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了多项式乘以多项式，代数式求值，熟练掌握法则是解题关键，并注意运用整体思想．
先将已知化简得：，再将所求式子化简后，整体代入计算得出答案．
【解答】
解：，
，
，
故答案为：．
19.【答案】或
【解析】解：如下图，

当点在上时，
和全等，
，
由题意可得，
所以秒；
当点在上时，
和全等，
，
由题意得：，
解得秒．
所以，当的值为秒或秒时．和全等．
故答案为：或．
分两种情况进行讨论，根据“全等三角形的对应边相等”并结合题意得出和，即可求得答案．
本题考查了全等三角形的性质，一元一次方程的应用等知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质．
20.【答案】解：原式
；
原方程变形得，
去分母得：，
去括号得：，
，
经检验是分式方程的解；
原式
，
要使原分式有意义，则，，，，
当时，
原式，．
【解析】根据负指数幂、零指数幂以及乘方计算即可；
去分母，化为整式方程，解出整式方程，再检验可得分式方程的解；
先化简，再将有意义的的值代入计算即可．
本题考查解实数的混合运算、分式方程和分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质和等式基本性质以及零指数幂及负指数幂的运算法则．
21.【答案】解：如图所示，为所求图形；；
；
如图：
找出点关于轴的对称点，
连接，与轴交点即为，此时的值最小，
由图可知，点坐标为．
【解析】【分析】
本题考查了轴对称变换、轴对称最短路线问题；熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
根据网格结构找出点、、关于轴对称的对应点的位置，然后顺次连接即可；
根据网格结构用长方形面积减去三个直角三角形面积即可；
找出的对称点，连接，与轴交点即为．
【解答】
解：见答案；
作图见答案，
由图可知，点坐标为．
22.【答案】解：把两边平方，得，
化简，得，
将代入得，解得；
把两边平方，得，
化简，得，即，
则．
【解析】把两边平方，利用完全平方公式化简后将代入计算即可求出的值；
把已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，所求式子化简后代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及完全平方公式是解本题的关键．
23.【答案】解：，
，
在与中，
，
≌，
为中点，
，
在与中，
，
≌，
，，
≌，
，
，
，
，
即，
．
【解析】根据证明≌；
根据证明≌，得到，，由得，再利用直角三角形的两锐角互余得出．
本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键．
24.【答案】解：设足球的单价为元，则篮球的单价为元，
依题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：足球的单价为元，篮球的单价为元．
设购买足球个，则购买篮球个，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
，
共个购买方案，购买足球个，篮球个．
【解析】设足球的单价为元，则篮球的单价为元，利用数量总价单价，结合用元单独购进篮球的个数与元单独购进足球的个数相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可求出足球的单价，再将其代入中即可求出篮球的单价；
设购买足球个，则购买篮球个，根据“每人不少于一个足球，每人不少于一个篮球，且投入的经费不超过元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出购买方案．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
25.【答案】解：，
理由：三个内角的平分线交于点，
，
，
，
，
，
，
；
证明：平分，
，
，
，
；
解：平分，
，
三个内角的平分线交于点，
，
，
，
．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义，三角形的内角和，三角形的外角的性质，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键．
根据角平分线的定义得到，，由三角形的内角和得到，，于是得到结论；
由角平分线的性质得到，由三角形的内角和得到，于是得到结论；
由角平分线的性质得到，，根据三角形的外角的性质即可得到结论．
26.【答案】解：
证明：在上截取，连接，
，，
是等边三角形．
同理，也是等边三角形．
，
，．
又，
，
在与中，，
≌，
，
；

如图，连接，
由知，，，
；
，
如图，连接，
由知，，，
；
．
【解析】解：如图，，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
在与中，，
≌，
；
故答案为：；
见答案
见答案
【分析】如图，根据已知条件得到是等边三角形，由等边三角形的性质得到，，由邻补角的性质得到，推出≌，根据全等三角形的性质即可得到结论；证明：在上截取，连接，得到是等边三角形．同理，也是等边三角形．求得，通过≌，得到，根据线段的和差即可得到结论；
如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论；如图，连接，由知，，，根据线段的和差和等量代换即可得到结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
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