【核心素养目标】苏科版八年级上册数学1.3 第8课时 探索直角三角形全等的条件—HL （共28张ppt）

第1章　全等三角形
1.3　探索三角形全等的条件　
第8课时　探索直角三角形全等的条件—HL

1.探索判定直角三角形全等的一种特殊方法——“斜边、直角边”(即“HL”).
2.经历探索直角三角形全等判定的过程，培养思考能力和逻辑推理能力.
3.能熟练运用判定直角三角形全等的特殊方法解决简单的实际问题.
◎重点:能利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等.
◎难点:能熟练运用判定直角三角形全等的特殊方法解决简单的实际问题.

　　如图，学校元旦晚会的舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.你能帮工作人员想个办法吗？
·导学建议·
以生活常见的事例，结合问题的形式导入新课，更能吸引学生去深入思考解决问题的方法，从而引入关于判定直角三角形全等的特殊方法.(准备直尺、圆规)
判定直角三角形全等的特殊方法——HL?
阅读课本本课时部分的内容，回答下列问题.
思考　(1)直角三角形可以用什么符号表示？
(2)两个直角三角形，有一对内角(直角)相等，判定两个直角三角形全等，还需要几个条件？可以是哪些条件？
(3)直角三角形是特殊的三角形，判定两个直角三角形全等，有没有特殊的方法？
答:(1)直角三角形可以用“Rt△”表示.
(2)还需要增加两个条件进行证明全等.可以增加两条直角边分别相等，利用“SAS”证明全等.还可以任意增加一条边和一个角分别相等，利用“ASA”或“AAS”证明两个直角三角形全等.
(3)有特殊的方法，当两个直角三角形满足一条直角边和一条斜边对应相等时，这两个直角三角形全等.
·导学建议·
设计这一部分讨论内容，一方面引导学生知道可以用“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”来判定两个直角三角形全等，另一方面又引出了对判定两个直角三角形全等的特殊方法的探究.
操作　用直尺和圆规按下列作法作Rt△ABC.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}作法
图形
1.作∠PCQ＝90°.
2.在射线CP上截取CB＝a.
3.以点B为圆心，c的长为半径作弧交射线CQ于点A.
4.连接AB.
Rt△ABC就是所求作的三角形
　　比较一下，你作的直角三角形和其他同学作的直角三角形能完全重合吗？
答:根据要求所作出的直角三角形能完全重合.通过实践感知，我们得到如下定理:斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
·导学建议·
学生通过动手操作、实践感知、自主探索交流，获得新知，总结得出判定直角三角形全等的特殊定理——斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
归纳总结　?　斜边　?和?　一条　?直角边分别相等的两个直角三角形全等.(简写成“?　斜边、直角边　?”或“?　HL　?”)?
斜边
一条
斜边、直角边
HL
讨论　如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AB＝A'B'，AC＝A'C'，怎样证明△ABC≌△A'B'C'？
方法:把两个直角三角形拼在一起，像本节例7那样，可以证得∠B＝∠B'.
在△ABC和△A'B'C'中，由∠B＝∠B'，∠ACB＝∠A'C'B'，AB＝A'B'，可以证明△ABC≌△A'B'C'(AAS).
·导学建议·
将通过“实验”“观察”后“归纳”的新知，利用之前所学的知识进一步“推理”“验证”，让学生在这一系列的学习活动中，充分体会到“实验”、“观察”、“归纳”、“推理”、“验证”的数学方法，一步步培养学生研究问题、解决问题的能力.
如图，AC⊥BC，AD⊥BD，AD＝BC，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别是E，F，那么CE＝DF吗？并说明理由.
解:CE＝DF.理由如下:在Rt△ABC和Rt△BAD中，&????????＝????????,&????????＝????????,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)，
∴AC＝BD，∠CAB＝∠DBA.∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴∠AEC＝∠BFD＝90°.
?
在△ACE和△BDF中，&∠????????????＝∠????????????,&∠????????????＝∠????????????＝????????°,&????????＝????????,
∴△ACE≌△BDF(AAS)，∴CE＝DF.
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利用“HL”判定两个直角三角形全等
1.如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果CD＝EF，AC＝AE.
求证:△ABD≌△ABF.
证明:∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，∴∠ADB＝∠AFB＝90°.
在Rt△ADC和Rt△AFE中，&????????＝????????,&????????＝????????,∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)，∴AD＝AF.
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在Rt△ABD和Rt△ABF中，&????????＝????????,&????????＝????????,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
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变式演练　如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，EA⊥AB，FD⊥AD，AB＝CD，若用“HL”证明Rt△AEC≌Rt△DFB，需添加什么条件？并写出你的证明过程.
证明:∵AB＝CD，∴AB＋BC＝CD＋BC，∴AC＝BD.
∵EA⊥AB，FD⊥AD，∴∠A＝∠D＝90°.
在Rt△AEC和△Rt△DFB中，&????????＝????????,&????????＝????????,∴Rt△AEC≌△Rt△DFB(HL).
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方法归纳交流　(1)运用“HL”判定两个直角三角形全等，在书写时两个三角形符号前一定要加上“Rt”.
解:可添加条件EC＝BF.
(2)判定两个直角三角形全等的特殊方法(“HL”)，只适用于直角三角形全等的判定，对于一般三角形不适用.
(3)判定一般三角形全等的所有方法对判定两个直角三角形全等同样适用.
(4)在用一般方法证明直角三角形全等时，因为两个直角三角形中已具备一对直角相等的条件，故只需找另外两个条件即可.
直角三角形的判定和性质的应用
2.求证:一条直角边相等且另一条直角边上的中线相等的两个直角三角形全等.
要求:根据给出的Rt△ABC和Rt△A'B'C'(∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C')，在此图形上用尺规作出BC与B'C'边上的中线，不写作法，保留作图痕迹，
并据此写出已知、求证和证明过程.
解:如图，AD和A'D'就是所要求作的图形.

已知:在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C＝∠C'＝90°，AC＝A'C'，AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，且AD＝A'D'，
求证:Rt△ABC≌Rt△A'B'C'.
证明:在Rt△ADC与Rt△A'D'C'中，&????????＝????′????′,&????????＝????′????′,
∴Rt△ADC≌Rt△A'D'C'(HL)，∴CD＝C'D'.∵AD与A'D'分别为BC与B'C'边上的中线，∴点D和点D'分别是BC与B'C'的中点，∴BC＝2CD，B'C'＝2C'D'，∴BC＝B'C'.
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在Rt△ABC与Rt△A'B'C'中，&????????＝????′????′,&∠????＝∠????′,&????????＝????′????′,
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C'(SAS).
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变式演练　如图，在Rt△ACB和Rt△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，BC＝B'C'，CD＝C'D'.求证:Rt△ACB≌Rt△A'C'B'.
证明:∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，
∴∠CDB＝∠C'D'B'＝90°，
在Rt△DCB和Rt△D'C'B'中，&????????＝????′????′,&????????＝????′????′,
∴Rt△DCB≌Rt△D'C'B'(HL)，
?
证明:∵CD⊥AB于点D，C'D'⊥A'B'于点D'，
∴∠CDB＝∠C'D'B'＝90°，
在Rt△DCB和Rt△D'C'B'中，&????????＝????′????′,&????????＝????′????′,
?
∴Rt△DCB≌Rt△D'C'B'(HL)，
∴∠B＝∠B'.在Rt△ACB和Rt△A'C'B'中，&∠????＝∠????′,&????????＝????′????′,&∠????????????＝∠????′????′????′＝????????°,
∴Rt△ACB≌Rt△A'C'B'(ASA).
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∴∠B＝∠B'.在Rt△ACB和Rt△A'C'B'中，
&∠????＝∠????′,&????????＝????′????′,&∠????????????＝∠????′????′????′＝????????°,
?
∴Rt△ACB≌Rt△A'C'B'(ASA).