2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含解析）

2023-2024学年山东省淄博市周村区八年级（上）期中数学试卷（五四学制）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.多项式因式分解时，应提取的公因式为( )
A. B. C. D.
3.下列因式分解错误的是( )
A. B.
C. D.
4.不改变分式的值，把它的分子和分母中各项系数都化为整数，则所得结果为( )
A. B. C. D.
5.解方程去分母，两边同乘后的式子为( )
A. B.
C. D.
6.在分式方程中，设，可得到关于的整式方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A. 点
B. 格点
C. 格点
D. 格点
8.学校举行“快乐阅读，健康成长”读书活动小明随机调查了本校八年级名同学近个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
课外书数量本
人数
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.近年来，我市大力发展交通，建成多条快速通道，小张开车从家到单位有两条路线可选择，路线为全程千米的普通道路，路线包含快速通道，全程千米，走路线比路线平均速度提高，时间节省分钟，求走路线和路线的平均速度分别是多少？设走路线的平均速度为千米小时，依题意，可列方程为( )
A. B.
C. D.
10.在等边中，是边上一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接，若，，则以下四个结论中：是等边三角形；；的周长是；其中正确的序号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.某公司招聘职员，公司对应聘者进行了面试和笔试，规定笔试成绩占，面试成绩占应聘者小刘的笔试成绩和面试成绩分别为分和分，他的最终得分是______ 分
12.若关于的方程有增根，则的值是______．
13.若一组数据，，，，的方差为，则数据，，，，的方差是______ ．
14.已知对于正数，我们规定：，例如：，则 ______ ．
15.如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，已知，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，，按照此规律，则点的坐标为______ ．
三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
分解因式：
；
．
17.本小题分
计算：
；
．
18.本小题分
解方程：
；
．
19.本小题分
某校八年级一班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数次分钟，分为如下五组：组：，组：，组：，组：，组：其中组数据为：，，，，，，，．
根据统计数据绘制了不完整的统计图如图所示，请结合统计图解答下列问题：
组数据的中位数是______ 次，众数是______ 次；
组频数是______ ，在统计图中组所对应的扇形圆心角是______ 度：
一般运动的适宜心率为次分钟，该校共有名学生，依据此次跨学科研究结果，估计学校大约有______ 名学生达到适宜心率．
20.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，．
将以为旋转中心旋转，画出旋转后对应的；
将平移后得到，若点的对应点的坐标为，请画出平移后对应的；
求的面积．
21.本小题分
观察下列方程的特征及其解的特点；
的解为，．
的解为，．
的解为，；
解答下列问题；
请你写出一个符合上述特征的方程为______，其解为______．
根据这类方程特征，写出第个方程为______，其解为______．
请利用的结论，求关于的方程其中为正整数的解．
22.本小题分
为加快公共领域充电基础设施建设，某停车场计划购买，两种型号的充电桩已知型充电桩比型充电桩的单价少万元，且用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等．
，两种型号充电桩的单价各是多少？
该停车场计划共购买个，型充电桩，购买总费用不超过万元，且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的问：共有哪几种购买方案？哪种方案所需购买总费用最少？
23.本小题分
如图，中，，，点，在上，，将绕点顺时针旋转后得到，连接．
求证：≌：
猜想图中，，之间存在的等量关系，并说明理由；
如图，中，，，点，在上，，，探究，，之间存在的等量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，图形不是中心对称图形，不符合题意；
B、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，图形是中心对称图形，符合题意；
C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，图形不是中心对称图形，不符合题意；
D、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，图形不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与原图重合，根据中心对称图形的概念求解即可．
本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：多项式因式分解时，，
故应提取的公因式为：．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：、原式，不符合题意；
B、原式，不符合题意；
C、原式，不符合题意；
D、原式，符合题意，
故选：．
各式分解得到结果，即可作出判断．
此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键．
4.【答案】
【解析】解：原式
故选：．
根据分式的基本性质即可求出答案．
本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．
5.【答案】
【解析】解：分式方程的两侧同乘得：．
故选：．
根据分式方程的解法，两侧同乘化简分式方程即可．
本题考查了解分式方程时去分母，找到分式方程的公分母是解题的关键．
6.【答案】
【解析】解：设，则，
分式方程可变为：，
去分母得：，
整理得：，
故选：．
设，则，原方程可变为：，再去分母得，即可得出结论．
本题考查换元法解分式方程，熟练掌握换元法是解题的关键．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
此题可根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心．
【解答】
解：如图，
连接和两个三角形的对应点；
发现两个三角形的对应点到点的距离相等，因此格点就是所求的旋转中心；
故选B．
8.【答案】
【解析】解：数据排序后，第个和第个数据均为，
中位数为，
出现的次数最多，
众数为，
故选：．
根据中位数：“将数据按照顺序排列后，中间一位或中间两位的平均数即为中位数”，众数：“出现次数最多的数据”，进行判断即可．
本题考查中位数和众数，熟练掌握中位数和众数的定义是解答本题的关键．
9.【答案】
【解析】解：走路线的平均车速比走路线能提高，且走路线的平均速度为千米时，
走路线的平均速度为千米时．
根据题意得：．
故选：．
根据走两条路线速度间的关系，可得出走路线的平均速度为千米时，利用时间路程速度，结合走路线比走路线全程少用分钟，即可得出关于的分式方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．
由旋转的性质推出，，则可判断是等边三角形；根据等边三角形的性质和旋转的性质得到，再根据平行线的判定方法即可证得；由等边三角形得到，由旋转的性质得到，推出的周长；求出，于是得到，则可判断．
【解答】
解：
如图，
绕点逆时针旋转，得到，
，，
是等边三角形，所以正确；
为等边三角形，
，，
绕点逆时针旋转，得到，
，
，
，所以正确；
是等边三角形，
，
而绕点逆时针旋转，得到，
，
的周长，所以正确，
由是等边三角形，得，
，
由平角的定义，，
，所以错误；
故选：．
11.【答案】
【解析】解：分．
故答案为：．
根据题意，利用加权平均数的计算公式进行计算即可．
本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：去分母得：，
解得：，
由分式方程有增根，得到，即，
把代入得：，
故答案为：
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值．
此题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
13.【答案】
【解析】解：数据，，，，的方差是，
数据，，，，的波动幅度不变，
数据，，，，的方差为，
故答案为：．
当数据都加上一个数或减去一个数时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数或除以一个数时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍
本题考查了方差的定义，解题的关键是掌握相关运算．
14.【答案】
【解析】解：由题干中已知条件可得，，
原式
，
故答案为：．
由题干中的数据总结出，然后将原式整理计算即可．
本题考查代数式求值，有理数的运算及规律探索题目，由题意总结出规律是解题的关键．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，作出如下图形：
点坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，此时刚好回到最开始的点处，
其每个点循环一次，
，
的坐标与点的坐标相同，其坐标为．
故答案为：．
先求出至点的坐标，找出其循环的规律为每个点循环一次即可求解．
本题考查了平面直角坐标系内点的规律探究问题．解题的关键是推出规律．
16.【答案】解：
；
．
【解析】平方差公式法因式分解即可；
完全平方公式法因式分解即可．
本题考查因式分解，掌握公式法进行因式分解，是解题的关键．
17.【答案】解：
；
．
【解析】先约分，再根据同分母分式的运算法则计算；
先算乘方，再把除法转化为乘法约分即可．
本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18.【答案】解：去分母得到：，
解得：，
经检验是分式方程的解；
去分母得：，
解得：，
经检验是增根，分式方程无解．
【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解；
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
19.【答案】
【解析】解：将组数据从小到大排列为：，，，，，，，，
中位数为；
出现的次数最多，
众数是；
故答案为：，，
，
在统计图中组所对应的扇形圆心角是，
组的人数为，
故答案为：，；
人，
大约有名学生达到适宜心率．
故答案为：．
根据中位数和众数的概念求解，
根据总人数减去其他组的人数，即得出组的频数；先求出总人数，然后求出组所占的百分比，最后乘以即可求出在统计图中组所对应的扇形圆心角；
根据样本估计总体的方法求解即可．
本题主要考查频数分布直方图，扇形统计图的相关信息，掌握运用样本百分比估算总体数量是解题关键．
20.【答案】解：如图，即为所求．
如图，即为所求．
．
【解析】根据中心对称的性质分别作出，，的对应点，，即可．
根据平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可；
利用割补法解答即可．
本题考查作图旋转变换，坐标与图形变化平移等知识，解题的关键是熟练掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】；，；
；，；
解：，
，
，
或，
即：，．
【解析】此题考查了分式方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．弄清题中的规律是解本题的关键．
观察阅读材料中的方程解过程，归纳总结得到结果；
仿照方程解方程，归纳总结得到结果；
方程变形后，利用得出的规律得到结果即可．
解：，其解为：，，
故答案为：，，；
，其解为：，，
故答案为：，，；
22.【答案】解：设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，
根据题意得，
解得，
经检验是原方程的解，．
答：型充电桩的单价为万元，型充电桩的单价为万元；
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，
根据题意，得：，
解得：．
为整数，
，，．
该停车场有种购买充电桩方案，
方案一：购买个型充电桩、个型充电桩；
方案二：购买个型充电桩、个型充电桩；
方案三：购买个型充电桩、个型充电桩．
型充电桩的单价低于型充电桩的单价，
购买方案三总费用最少，最少费用万元．
【解析】设型充电桩的单价为万元，则型充电桩的单价为万元，根据“用万元购买型充电桩与用万元购买型充电桩的数量相等”列出分式方程，求解即可；
设购买型充电桩个，则购买型充电桩个，根据购买总费用不超过万元且型充电桩的购买数量不少于型充电桩购买数量的，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可得出各购买方案，再由两种充电桩的单价之间的关系可找出购买方案总费用最少的方案及最少总费用．
本题考查了分式的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
23.【答案】证明：中，，，
，
将绕点顺时针旋转后得到，
，≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌；
解：；理由如下：
由知，≌，
，
将绕点顺时针旋转后得到，
≌，
，，
，
在中，由勾股定理得，；
，，
；
解：；理由如下：
将绕点顺时针旋转后得到，连接如图，
≌，
，
又，
，
在和中，
，
≌，
，，
又，
，即，
在中，由勾股定理得，；
，，
．
【解析】旋转，得到，，进而得到，利用证明≌，即可；
全等的性质，得到，，，进而得到，勾股定理得到，即可得出结论；
将绕点顺时针旋转后得到，连接，得到≌，证明≌，得到，，推出，勾股定理即可得出结论．
本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边对等角，勾股定理．掌握半角模型，利用旋转构造全等三角形是解题的关键．
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