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2023-2024学年度第一学期浙江省杭州市九年级数学期末模拟练习卷 解析
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共30分）
1 . 抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查求抛物线的顶点坐标，利用抛物线的顶点坐标为可解．
【详解】解：当时，取最大值，最大值为1，
因此抛物线的顶点坐标是，
故选A．
2 . 如图，是⊙O的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
【详解】解：，
，
又，
，
故选：B．
3. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】画出树状图，共有6种等可能的结果，其中甲被选中的结果有4种，由概率公式即可得出结果．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有6种等可能的结果数，其中甲被选中的结果有4种，
则甲被选中的概率为．
故选：C．
如图, 中， 是 边上一点,添加下列条件,不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角形相似的判定定理逐一分析判断即可．
【详解】解：A、∵，
∴
所以选项A不符合题意；
B、∵，
∴
所以选项B不符合题意；
C、∵，
∴
所以选项C不符合题意；
D、，对应边成比例，但是不确定是否与相等，所以不能判定，所以选项D符合题意．
故选：D
已知，，在二次函数的图象上，
则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先根据二次函数解析式确定抛物线的对称轴为，
再根据抛物线的增减性以及对称性可得，，的大小关系．
【详解】二次函数，
对称轴为，
，
时，y随x增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
，，在二次函数的图象上，且，，
．
故选D．
6 . 如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据圆内接四边形对角互补，求出的度数，连接，根据圆周角定理，得到，进而求出的度数，再利用圆内接四边形对角互补，即可求出的度数．
【详解】解：∵四边形是半圆O的内接四边形，，
∴，
连接，
∵是直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴；
故选D．
如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直， 则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，画出示意图，易得△EDC∽△FDC，进而可得，即DC2=ED FD，代入数据可得答案．
【详解】解：根据题意，作△EFC，树高为CD，且∠ECF=90°，ED=2m，FD=8m；
∵∠E+∠F=90°，∠E+∠ECD=90°，
∴∠ECD=∠F，
又
∴△EDC∽△CDF，
∴，即DC2=ED FD=2×8=16，
解得CD=4m（负值舍去）．
故选：B．
8. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
【答案】B
【分析】由求出的值，
由求出的值，对计算求解即可．
【详解】解：∵
∴米
∵
∴米
∴米
故选B．
9 . 如图，将矩形沿着，，翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，
且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上． 以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先证明，再根据平行线的性质与相似三角形的性质可得，可判断A．由矩形的性质设，， 可得，可得，可判断C，设，可得：， 从而可判断D，B，从而可得答案．
【详解】解：由折叠性质可得：，，， ，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
若，则，
∴，
∴，与题干条件矛盾，故A不符合题意；
由矩形的性质设，，
由对折可得，，
∴，
在中，，
，
解得：，
∴；
∴，故C不符合题意；
在中，设，
则，
由可得
∴，
解得：，
∴ ，，
在中，，
∴，故D符合题意；
∴ ，故B不符合题意；
故选D．
10 . 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，
下列结论：①；②；③；④当时，.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，
然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】
解：①对称轴位于x轴的右侧，则a，b异号，即．
抛物线与y轴交于正半轴，则．
．
故①正确；
②∵抛物线开口向下，
．
∵抛物线的对称轴为直线，
时，，
而，
即，
故②正确；
③时，，
而
故③正确；
④由抛物线的对称性质得到：抛物线与x轴的另一交点坐标是（3，0）．
∴当时，
故④正确．
综上所述，正确的结论有4个．
故选D．
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上）
11. 已知实数、满足，则的值为_______
【答案】
围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用概率公式，得出黑色棋子的数量除以对应概率，即可算出棋子的总数．
【详解】解：，
∴盒子中棋子的总个数是．
故答案为：
竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系
可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m.
【答案】2或3
【分析】利用二次函数的性质把h=30代入，求出即可．
【详解】解：设该物体经过ts离地面的高度为30m
则整理得：
解得：t=2或3
在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），
那么，由此可知，B、C两地相距 m．
【答案】200
【详解】解：由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°﹣60°=30°，
∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣120°﹣30°=30°，
∴∠ACB=∠BAC，
∴BC=AB=200．
往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，
若水面宽度，则水的最大深度为 ．
【答案】/9厘米
【分析】本题考考查了垂径定理，勾股定理的应用，连接，过点作交于点，交于，利用垂径定理求出的长，利用勾股定理求出的长，即可得出最后结果．
【详解】解：如图，连接，过点作交于点，交于，
，由垂径定理可知，
，
在中，由勾股定理可知：，
，
故答案为：．
如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．
如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
【答案】3秒或4.8秒
【分析】如果以点、、为顶点的三角形与相似，由于与对应，那么分两种情况：①与对应；②与对应．根据相似三角形的性质分别作答．
【详解】解：如果两点同时运动，设运动t秒时，以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，
则AD＝t，CE＝2t，AE＝AC﹣CE＝12﹣2t．
①当D与B对应时，有ADE∽ABC．
∴AD：AB＝AE：AC，
∴t：6＝（12﹣2t）：12，
∴t＝3；
②当D与C对应时，有ADE∽ACB．
∴AD：AC＝AE：AB，
∴t：12＝（12﹣2t）：6，
∴t＝4.8．
故当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是3秒或4.8秒，
故答案为：3秒或4.8秒．
三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. （1）计算：；
（2）已知二次函数顶点为，经过点，求该二次函数的一般式．
解：（1）原式=
=
；
（2）设二次函数的解析式为：，
∵二次函数顶点为，
∴，
∵二次函数经过点，
∴
∴该二次函数的解析式为：，化为一般式为．
18. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：
（3）估计全校学生中喜欢体育节目约有（名；
（4）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 （乙，甲） （丙，甲） （丁，甲）
乙 （甲，乙） （丙，乙） （丁，乙）
丙 （甲，丙） （乙，丙） （丁，丙）
丁 （甲，丁） （乙，丁） （丙，丁）
所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，
其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．
若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与x之间的函数关系式；
(2)如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元
(3)每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元
（1）解：根据题意得，
，
∴与之间的函数关系式：；
（2）解：根据题意，得：，
解得，
∵尽可能让利于顾客，
∴，
答：每个毛绒玩具售价应定为45元；
（3）解：根据题意，得：，
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，元．
答：每个毛绒玩具售价定为55元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是1250元．
20 . 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为
（2）没有危险,详见解析
【解析】
【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可；
过作，垂足为点，先求得，
再得到，再求得，
从而得出到地面的距离为，最后比较即可．
【小问1详解】
如图，作，垂足为点
在中
∵，
∴
∴
∵平行线间的距离处处相等
∴
答：车后盖最高点到地面的距离为．
【小问2详解】
没有危险，理由如下：
过作，垂足为点
∵，
∴
∵
∴
在中，
∴．
∵平行线间的距离处处相等
∴到地面的距离为．
∵
∴没有危险．
21. 中，，，，、分别为，上的两动点，
从点开始以的速度向点运动，从点开始以的速度向点运动，
当一点到达终点时，、两点就同时停止运动．设运动时间为．
(1)用的代数式分别表示__________；的长__________．
(2)设的面积为，当时，的面积是__________．
(3)当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？
解：（1）用的代数式分别表示，；
故答案为：，．
（2）当时，的面积；
故答案为：．
（3）∵，以点、、为顶点的三角形与相似．
分为以下两种情况，
①当
∴，即，
∴；
②当，
∴，即，
∴；
综上所述，当为秒或时，以点、、为顶点的三角形与相似．
22. 已知在中，．
(1)如图1，以为直径的，交于点D，交于点E，连接．求证：．
(2)若以为直径的，交于点D，交的延长线于点E，连接．
请在图2中画出图形，猜想与的数量关系，并说明理由．
(3)在（2）的条件下，若，，求的值．
解：（1）证明：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）如图，连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴；
（3）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
解得：，
∴．
如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，，．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，
过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段于点Q，设运动时间为秒．
①若，请求出t的值；
②的面积何时取最大值？最大值是多少？
【答案】(1)抛物线的解析式为，C点坐标为；
(2)①当时，；②当时，的面积最大，最大值是．
【分析】（1）将点A、B坐标代入中，即可求解；
（2）①如图，连接，设点，则，，，，则，即可求解；②连接，确定直线的解析式为，当最大时，的面积有最大值，求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入中，得：，
解得，
∴抛物线的解析式为，
∴C点坐标为；
（2）解：①如图，连接，
设点，则，
，，
，
时，有，整理得：，
解得：（不符合题意，舍去），，
当时，；
②如图，连接，
设直线的解析式为则有：，
解得，
∴直线的解析式为，
，
当最大时，的面积最大，
，则，
，
，
当时，的面积最大，最大值是．
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2023-2024学年度第一学期浙江省杭州市九年级数学期末模拟练习卷
一、选择题（本大题有10小题，每小题4分，共30分）
1 . 抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
2 . 如图，是⊙O的直径，C是上一点．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3. 从甲、乙、丙三人中任选两人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
如图, 中， 是 边上一点,添加下列条件,不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
已知，，在二次函数的图象上，
则，，的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
6 . 如图，四边形是半圆O的内接四边形，是直径，．
若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
如图，小明在A时测得某树的影长为，B时又测得该树的影长为，
若两次日照的光线互相垂直， 则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
8. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，
测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，
则这栋高楼的高BC为（ ）米．
A．45 B．60 C．75 D．90
9 . 如图，将矩形沿着，，翻折，使得点A，B，D恰好都落在点O处，
且点G，O，C在同一条直线上，点E，O，F 在另一条直线上． 以下结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10 . 二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为直线x＝1，
下列结论：①；②；③；④当时，.
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题有6小题，每小题4分，共24分，将答案填在题中横线上）
11. 已知实数、满足，则的值为_______
围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和若干个白色棋子，
每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是，
则盒子中棋子的总个数是_________．
竖直上抛某物体时，物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系
可用公式来表示，由公式可知，该物体经过 s离地面的高度为30m.
在一自助夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，
他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），
那么，由此可知，B、C两地相距 m．
往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，
若水面宽度，则水的最大深度为 ．
如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，
动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．
如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与ABC相似时，运动的时间是 ．
解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（1）计算：；
（2）已知二次函数顶点为，经过点，求该二次函数的一般式．
18. 某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，
从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，
用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
日前在杭州举办的亚运会令世界瞩目，吉祥物“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”家喻户晓，
其相关产品成为热销产品．某商店购进了一批吉祥物毛绒玩具，进价为每个30元．
若毛绒玩具每个的售价是40元时，每天可售出80个；若每个售价提高1元，则每天少卖2个．
(1)设该吉祥物毛绒玩具每个售价定为元，求该商品销售量与x之间的函数关系式；
(2)如果每天的利润要达到1050元，并且尽可能让利于顾客，每个毛绒玩具售价应定为多少元
(3)每个毛绒玩具售价定为多少元时，每天销售玩具所获利润最大，最大利润是多少元
20 . 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，
已知，，，该车的高度．
如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角．
（1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离；
（2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险 请说明理由．
（结果精确到，参考数据：，，，）
21. 中，，，，、分别为，上的两动点，
从点开始以的速度向点运动，从点开始以的速度向点运动，
当一点到达终点时，、两点就同时停止运动．设运动时间为．
(1)用的代数式分别表示__________；的长__________．
(2)设的面积为，当时，的面积是__________．
(3)当为多少秒时，以点、、为顶点的三角形与相似？
22. 已知在中，．
如图1，以为直径的，交于点D，交于点E，连接．
求证：．
(2) 若以为直径的，交于点D，交的延长线于点E，连接．
请在图2中画出图形，猜想与的数量关系，并说明理由．
在（2）的条件下，若，，求的值．
如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，交y轴于点C，，．
求抛物线的解析式及点C的坐标；
动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，
过点M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段于点Q，设运动时间为秒．
① 若，请求出t的值；
② 的面积何时取最大值？最大值是多少？
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