数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2等差数列的前n项和公式(第2课时) 课件 （共22张ppt）

(共22张PPT)
4.2.2等差数列的前n项和公式
复习回顾
1、等差数列{an}的前n项和公式：
2、求数列前n项和的一种方法：
“倒序相加”法
随堂练习
1、已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，第k项满足5A、9 B、8 C、7 D、6
B
2、在等差数列{an}中，已知公差 ，且a1+a3+a5+…+a99=60，a2+a4+a6+…+a100=( )
A、85 B、145 C、110 D、90
A
3、等差数列{an}的前n项的和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0，S2m-1=38，则m=_____.
10
例题解析
1、某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多两个座位. 问第1排应安排多少个座位？
解：设报告厅的座位从第1排到第20排，各排的座位数依次排成一列，构成等差数列{an}，其前n项和为Sn.
由题意知，数列{an}是一个公差为2的等差数列，且S20=800
可得a1=21
因此，第1排应安排21个座位
例题解析
2、已知数列{an}的前n项和为 ，求这个数列的通项公式，这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？
当n=1时也满足①式.
an-an-1=2
随堂练习
4、已知数列{an}的前n项和为 ，求这个数列的通项公式.
当n=1时不满足①式.
探究新知
探究：如果一个数列{an}的前n项和为Sn=pn2+qn+r，其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
(1)若r=0，则这个数列一定是等差数列.an=2pn+(q-p)
(2)若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
探究新知
则有Sn=An2+Bn(A，B为常数)
等差数列前n项和公式的函数特征：
当A≠0(即d≠0)时，Sn是关于n的二次函数式，即Sn=An2+Bn的图象是抛物线y=Ax2+Bx上的一群孤立的点
当d=0时，{an}是一个常数列，Sn=na1
当d≠0时，Sn是一个常数项为零的关于n的二次型函数
即任何一个等差数列前n项的和都可以写成Sn=An2+Bn(A，B为常数)的形式
(过原点)
例题解析
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由.
=-n2+11n
解：由题意知，a1=10，d=-2，
Sn关于n的图象是一条开口向下的抛物线上的一些点.
所以，当n=5或6时，Sn最大，最大值为30
函数思想
例题解析
3、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=10，公差d=-2，则Sn是否存在最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值n时的值；若不存在，请说明理由.
又由an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，可知：
另解：由d=an+1-an=-2<0，得an+1当n<6时，an>0；
所以{an}是递减数列
当n=6时，an=0；
当n>6时，an<0；
所以，S1S7>…
即当n=5或6时，Sn最大.
所以Sn的最大值为30
从等差数列的通项公式出发来分析
归纳提升
(1)利用an：
当a1＞0，d＜0，数列前面有若干项为正，此时所有正项的和为Sn的最大值
可由an≥0，且an＋1≤0，求得n的值；
当a1＜0，d＞0，数列前面有若干项为负，此时所有负项的和为Sn的最小值
可由an≤0，且an＋1≥0，求得n的值.
等差数列前n项和的最值问题有两种常用的方法：
(2)利用Sn：
由 利用二次函数配方法求得最值时n的值.
随堂练习
5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值
故当n＝7时，Sn取最大值49.
解：(法一)设公差为d.
由S3＝S11得
=-n2+14n
=-(n-7)2+49
配方法
随堂练习
5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值
解：(法二)设公差为d.
由S3＝S11得
对称轴法
∵a1=13>0，d<0，则Sn的图象如图所示
所以图象的对称轴为
7
n
11
3
Sn
故当n＝7时，Sn取最大值49.
随堂练习
5、已知等差数列{an}中，a1=13且S3=S11，求n取何值时，Sn取最大值
解：(法三)设公差为d.
由S3＝S11得
故当n＝7时，Sn取最大值49.
∴a7+a8=0
又由S3＝S11得，a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
又d=－2<0，a1=13>0
∴a7>0，a8<0
随堂练习
6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
故当n＝7时，Sn最大.
解：(法一)设公差为d.
由S3＝S11，
因为a1＞0，
配方法
随堂练习
6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
故当n＝7时，Sn最大.
解：(法二)设公差为d.
由S3＝S11，
因为a1＞0，
对称轴法
所以Sn是关于n的二次函数，
由S3＝S11得，所以Sn的图象关于 对称轴
随堂练习
6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
故当n＝7时，Sn最大.
解：(法三)设公差为d.
由S3＝S11，
解得6.5≤n≤7.5
要使Sn最大，则有
随堂练习
6、等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1＞0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？
解：(法四)设公差为d.
由S3＝S11，
又由S3＝S11，可得2a1＋13d＝0，
即(a1＋6d)＋(a1＋7d)＝0，故a7＋a8＝0，
又由a1＞0，可知d＜0，
所以a7＞0，a8＜0，所以当n＝7时，Sn最大.
随堂练习
7、已知数列{an}是等差数列，a1=50，d=-6.
(1)从第几项开始有an<0
(2)求此数列的前n项和的最大值.
解：(1)依题意得，an=50+(n-1)×(-6)=-6n+56
∴当n=9时，Sn有最大值为
令an<0，即-6n+56<0，
∴从第10项开始有an<0
(2)由(1)知，当1≤n≤9时，an>0，当n≥10时，an<0
随堂练习
8、在递减的等差数列{an}中，若a1+a100=0，则其前n项和取得最大值的n的值为______.
50
随堂练习
9、设等差数列的前n项和为Sn，已知a3=12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出数列{Sn}中数值最大的项，并说明理由.
解：(1)由已知得
由于n为正整数，所以当n=6时Sn有最大值.
∴Sn图象的对称轴为
∴Sn有最大值.
课堂小结
1、根据等差数列{an}的前n项和求通项公式
2、结合二次函数图象和性质求 的最值.