2023-2024学年初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似复习课 课件

(共23张PPT)
第二十七章 相似
复习课
合作探究
当堂检测
学习目标
课堂总结
自主学习
1.掌握相似图形、相似多边形的概念及性质.
3.掌握位似图形的相关概念和性质，能进行位似的相关作图.
2.掌握相似三角形的判定定理以及相似三角形的性质，并能够运用相关定理解题.
4.掌握图形在平面直角坐标系中的相似变换方法与性质.
1.形状相同的图形 ( 相似图形 )
知识点一 图形的相似
①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
2.相似多边形
相似多边形对应边的比叫相似比.
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知识梳理
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知识点二 相似三角形
三角对应角相等、三边对应成比例的两个三角形叫相似三角形.
（1）定义
（2）判定定理
定理1：两角相等的两个三角形相似;
定理2：三边对应成比例的两个三角形相似;
定理3：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
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(3)性质
对应角相等、对应边成比例；
对应高、中线、角平分线的比等于相似比；
面积比等于相似比的平方.
周长比等于相似比；
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（1）定义
知识点三 位似
如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个
图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心. (这时的相似比也称为位似比)
（2）性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比；
对应线段平行或者在一条直线上.
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（3）应用：能将一个图形放大或缩小.
A′
B′
C′
D′
E′
F′
G′
A
B
G
C
E
D
F
●
P
A
B
G
C
E
D
F
●
B′
A′
C′
D′
E′
F′
G′
P
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（4）平面直角坐标系中的位似
当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点
两侧时，对应顶点的坐标的比为－k.
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考点一 图形的相似
例1.一块矩形绸布的宽AB=a m,长AD=1 m,按照图中所示的方式将它裁成
相同的n面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与
长的比相同,那么a的值应当是 　.(用含n的式子表示)
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1.如图,在矩形ABCD中,AB=12,BC=9,点E,G分别为边AB,AD上的点.若矩形
AEFG与矩形ABCD相似,且相似比为2:3,连接CF,则CF= .
5或
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考点二 相似三角形的判定和性质
例2.如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BF:AF＝3:2，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求 的值.
解：如图，过点C作CG∥AB交AE的延长线于点G.
∵CG∥AB，∴∠DAF＝∠G.
又∵D为CF的中点，∴CD＝DF.
又∠ADF＝∠CDG，
∴△ADF≌△GDC(AAS)．∴AF＝CG.
∵BF：AF＝3：2，∴AB：AF＝5：2.
∵AB∥CG，∴△ABE∽△GCE.
G
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2.如图1所示，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍无法判定△ABC ∽△ADE 的是（ ）
A．∠C＝∠AED B． C．∠B＝∠D D．
A
B
C
D
E
3.如图2，在△ABC中，已知DE//BC，AD=3BD，S△ABC=48，求S△ADE= .
27
D
图1
图2
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4.如图，AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△DEB.
B
C
D
E
A
解：∵ AE2＝AD·AB，得AE∶AD＝AB∶AE
∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABE
∴∠AED＝∠ABE
∵∠ABE＝∠BCE，∴∠AED＝∠BCE
∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠EBC
∵∠ABE＝∠BCE
∴ △EBC∽△DEB
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5.如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
证明：如图，连接PA，
∵EP是AD的垂直平分线，∴PA＝PD，∠PDA＝∠PAD.
∴∠B＋∠BAD＝∠DAC＋∠CAP.
又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC.
∴∠B＝∠CAP.
又∵∠APC＝∠BPA，∴△PAC∽△PBA.
∴ ， 即PA2＝PB·PC.
∵PA＝PD，∴PD2＝PB·PC.
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例3.小明想利用太阳光测量楼高，他带着皮尺来到一栋楼下，发现对面墙上有这栋楼的影子，针对这种情况，他设计了一种测量方案，具体测量情况如下：
如示意图，小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同．此时，测得小明落在墙上的影子高度CD＝1.2 m，CE＝0.8 m，CA＝30 m（点A、E、C在同一直线上）．
已知小明的身高EF是1.7 m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1 m）．
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解：过点D作DG⊥AB，分别交AB、EF于点G、H，
则EH＝AG＝CD＝1.2 m，
DH＝CE＝0.8 m，DG＝CA＝30 m．
∵EF和AB都垂直于地面，∴EF∥AB，
∴∠BGD=∠FHD=90°,∠GBD=∠HFD，
∴△BDG∽△FDH．
H
G
解得BG＝18.75（m）．
∴AB＝BG+AG＝18.75+1.2＝19.95≈20.0（m）．
∴楼高AB约为20.0 m．
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6.如图所示，某一时刻大树 AB 的影子落在墙 DG 上的 C 点，同一时刻，1.2 m 的标杆的影长为 3 m，已知 CD＝4 m，BD＝6 m，求大树的高度.
解：设大树的高度为 x m，分别延长 AC，BD 交于点 E，
则 DE 即为被阻挡的影子．过点 D 作 DF∥CA，
∵AE∥FD，∴△ABE∽△FBD，
又因为 AB∥CD，∴四边形AFDC为平行四边形，
∴AF＝CD，则 FB＝AB－AF＝x－4，
∴x＝6.4，
∴大树的高度为 6.4 m．
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例4.如图，下面的网格中，每个小正方形的边长均为 1，点 O 和 △ABC 的顶点均为小正方形的顶点.
(1)在图中△ABC内部作△A′B′C′，使△A′B′C′和 △ABC位似，且位似中心为点 O，位似比为 2 : 3.
(2)线段 AA′的长度是 .
考点三 位似
A
B
C
O
解：(1)如图所示.
A′
B′
C′
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7.找出下列图形的位似中心.
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9.如图，△ABC 在方格纸中.
(1) 请在方格纸上建立平面直角坐标系，使A (2，3)，C (6，2)，并求出 B 点坐标；
x
y
O
解：如图所示，B (2，1).
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(2) 以原点 O 为位似中心，位似比为 2，在第一象限内将 △ABC 放大，画出放大后的图形 △A′B′C′；
解：如图所示
x
y
O
A′
B′
C′
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(3) 计算△A′B′C′的面积 S.
x
y
O
A′
B′
C′
解：
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相似图形
位似
相似多边形
相似三角形
性质
平面直角坐标系中的位似
性质
判定
定义
定义、判定、性质
应用
相似