安徽省六安市金寨县2022-2023学年九年级上学期期末数学试卷 （含答案）

安徽省六安市金寨县2022-2023学年九年级
上学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.估计的值在( )
A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间
2.下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.关于函数，下列结论不正确的为( )
A. 图象必过 B. 随增大而增大
C. 图象过二、四象限 D. 当时，
4.已知均为正数，下列各式不正确的为( )
A. B. C. D.
5.如图，在平行四边形中，为上一点，且：：，则：( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
6.已知关于的一元二次方程一个实根为，则另一个实根为( )
A. B. C. D.
7.如图，矩形纸片中，已知，折叠纸片使边与对角线重合，点落在点处，折痕为，且，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，在边长为的等边中，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
9.如图，在等腰中，，，是上一点，若，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，和是全等的等腰直角三角形，，，与在直线上，开始时点与点重合，让沿直线向右平移，直到点与点重合为止设与的重叠部分即图中阴影部分的面积为，的长度为，则与之间的函数图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
11.已知线段，是的黄金分割点，且，则______．
12.在中，，，，则 ______ ．
13.如图，为矩形的中心，为边上一点，为边上一点，，若，，设，，则与的函数关系式为______ ．
三、解答题：本题共10小题，共95分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.本小题分
如图，是等边的边上一点不与点，重合，连接，以为边向右作等边，连接已知的面积与的长之间的函数关系如图所示为抛物线的顶点．
当的面积最大时，的大小为多少
求等边的边长 ．
15.本小题分
计算．
16.本小题分
若且，求、、．
17.本小题分
先化简，再求值：，其中．
18.本小题分
已知抛物线顶点坐标为，且过点．
求其解析式；
把该抛物线向右平移______ 个单位，则它过原点．
19.本小题分
在西安市开展“美丽城市，创卫同行”活动中，我校倡议七年级学生利用双休日在各自社区参加义务劳动，为了解同学们劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制不完整的统计图表，如图所示：
劳动时间时 频数人数 频率
合计
统计表中的 ______ ， ______ ， ______ ．
被调查同学劳动时间的中位数是______ ；
请将频数分布直方图补充完整．
20.本小题分
某中学九年级的一位同学，想利用刚刚学过的三角函数知识测量新教学楼的高度，如图，她在处测得新教学楼房顶点的仰角为，走米到处再测得点的仰角为，已知、、在同一条直线上．
求的度数；
求新教学楼的高度结果保留根号．
21.本小题分
如图，在平行四边形中，交于，交延长线于，且．
求证：∽．
若，，求．
22.本小题分
某科技公司研制出一种新型产品，每件成本为元，销售单价为元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过件时，每件按元销售；若一次购买该种产品超过件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低元，但销售单价均不低于元．
商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为元？
设商家一次购买这种产品件，开发公司所获得的利润为元，求元与件之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
23.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，是直角三角形，，，，，抛物线经过，两点．
求抛物线的解析式；
点是直角斜边上一动点点、除外，过点作轴的垂线交抛物线于点，当线段的长度最大时，求点、的坐标；
在的条件下：在抛物线上是否存在一点，使是以为直角边的直角三角形？若存在，请求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.解：过作于，如图：
等边，等边，
，，，
，
≌，
，，
而，
，，
，
设等边边长是，则，
，
当时，有最大值为，
故的面积最大时，，即是的中点，
，，
，
当时，有最大值为，
由图可知最大值是，
，解得或边长，舍去，
等边的边长为，
故答案为：．
15.解：原式．
16.解：设，
，，，
代入得：，
解得：，
，，．
17.解：原式
，
，
原式．
18.解；抛物线顶点坐标为，
可设该抛物线解析式为．
抛物线过点，
，
解得：，
抛物线解析式为；
对于，
令，则，
，
解得：，，
该抛物线与轴的两个交点分别为，，
把该抛物线向右平移个单位或个单位，则它过原点．
故答案为：或．
19.解：设总人数为人．
由题意，解得，
人．
．
故答案为，，．
观察图象可知：被调查同学劳动时间的中位数．
故答案为
频数分布直方图如图所示，
20.解：是的外角，
；
在中，，
则，
米，
米，
在中，，
，
，
解得：，
答：新教学楼的高度约为米．
21.证明：平行四边形中，，
，
，
又，
∽；
解：平行四边形中，，
由得∽，
，
，
．
22.解：设件数为，依题意，得，
解得，
答：商家一次购买这种产品件时，销售单价恰好为元；
当时，，
当时，，即，
当时，，
．
23.解：，，，
，
，，
抛物线经过，两点，
，解得：，
；
设直线解析式为：，
直线经过点，两点，
，解得：，
直线的解析式为：，
设点的坐标为，则点，
，
当最大时，，
点，；
存在．
当时，点的纵坐标为，
即，解得：，，
点，，
当时，点的纵坐标为，
即，解得：，舍去，
点，
综上所述，，，
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