四川省内江市重点中学2023-2024学年高二上学期12月第2次月考数学试题（含答案）

内江六中2023—2024学年（上）高2025届第二次月考
数学试题
考试时间：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷选择题（满分60分）
一、单选题（每题5分，共40分）
1.经过，两点的直线的一个方向向量为，则（ ）
A. B. C. D.3
2.已知圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3.若椭圆的长轴端点与双曲线的焦点重合，则的值为（ ）
A.4 B. C. D.2
4.已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A.若，，，则 B.若，，，，则
C.若，，，则 D.若，，，则
5.已知圆与抛物线的准线相切，则（ ）
A. B. C.2 D.8
6.如图，在圆锥中，轴截面的顶角，设是母线的中点，在底面圆周上，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A.15° B.30° C.45° D.60°
7.已知双曲线的左 右焦点分别为、，过的直线交双曲线左支于、两点，且，若双曲线的实轴长为8，那么的周长是（ ）
A.5 B.16 C.21 D.26
8.已知为椭圆的焦点，为椭圆上一动点，，则的最大值为（ ）
A. B.6 C. D.
二、多选题（全选对得5分，少选得2分，选错不得分，每题5分，共20分）
9.对于抛物线上，下列描述正确的是（ ）
A.开口向上，焦点为 B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为
10.下列四个命题中正确的是（ ）
A.已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
B.是平面的法向量，是直线的方向向量，若，则
C.已知向量，，则在方向上的投影向量为
D.为空间中任意一点，若，且，则，，，四点共面
11.已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A.直线恒过点 B.圆与圆有两条公切线
C.直线被圆截得的最短弦长为 D.当时，圆存在无数对点关于直线对称
12.已知直三棱柱中，，，是的中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A.当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B.无论点在上怎么运动，都有
C.当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D.无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°
第Ⅱ卷非选择题（满分90分）
三、填空题（每题5分，共20分）
13.过椭圆的左顶点，且与直线平行的直线方程为____________.
14.已知数列的前项和为，则数列的通项公式为__________.
15.若与有交点，则实数的取值范围为___________.
16.已知双曲线（，）的左 右焦点分别为，，点在上，且轴，过点作的平分线的垂线，与直线交于点，若点在圆上，则的离心率为____________.
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分）
17.双曲线（，）的左、右焦点分别为，，已知焦距为8，离心率为2.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求双曲线的顶点坐标、焦点坐标、实轴和虚轴长及渐近线方程.
18.如图，四棱锥中，底面是边长为1的正方形，是的中心，底面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
19.已知圆过点，和.
（1）求圆的方程；
（2）已知动圆和圆外切且过点，求圆心的轨迹方程.
20.已知是抛物线的焦点，是抛物线上一点，且.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的斜率.
21.如图1，在平面四边形中，，，，，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示
（1）求证：平面；
（2）设线段的中点为，求平面与平面所成角的余弦值.
22.如图，椭圆的离心率为，其长轴的两个端点与短轴的一个端点构成的三角形的面积为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线交于、两点，交直线于点.若，，证明：为定值，并求出这个定值.
内江六中2023—2024学年（上）高2025届第二次月考
数学参考答案
1.D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A
9.AC 10.A D 11.ABD 12.BD
13. 14. 15. 16.
7题【详解】由题意可知：，即，
所以的周长.
故选：D.
8题【详解】由于椭圆的焦点为，所以且焦点在轴上，则，
且，，所以椭圆方程为，
所以，设左焦点为，
根据椭圆的定义得，
当是的延长线与椭圆的交点时等号成立，
所以的最大值为.
故选：A
11题【详解】对A，直线，即，恒过点，所以A正确；
对B，圆的圆心坐标为，半径为，而圆的圆心为，半径为1，
则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确；
对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2.
直线，恒过点，代入圆方程得，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，
设圆心到直线的距离为，则弦长，若要弦长最短，则最大，
而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为：，
所以直线被圆截得的最短弦长为，所以C不正确；
对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标，得，
则该直线经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确.
故选：ABD
12题【详解】选项A：当点运动到中点时，设为的中点，连接、，
如下图示，因为直三棱柱，所以面，
又因为中中位线，所以面，
所以直线与平面所成的角的正切值，
因为，，所以，故说法A错误；
选项B中，连接，与交于，并连接，如下图示，
由题意知，为正方形，即有，
因为且为直三棱柱，平面，平面，
所以，
因为，，面，所以面，
因为面，所以，
又，面，所以面，
因为面，所以，
连接，同理，面，
因为面，所以，
又，面，所以面，
因为面，所以，
又，面，
所以面，又面，即有，故B说法正确；
选项C：点运动到中点时，即在中、均为中线，所以为中线的交点，
所以根据中线的性质有：，故C错误；
选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角，
由选项A可知面，因为面，所以，
所以，
点在上运动时，当在或上时，最大为，
当在中点上时，最小，此时为，，
所以不可能是，故D说法正确；故选：BD
15题【详解】由曲线，可得，表示以原点为圆心，
半径为1的下半圆，又由直线恒经过定点，
因为曲线与轴的交点分别为，，
可得，，
要使得与有交点，可得或，
所以实数的取值范围为.
故答案为：.
16题【详解】由题意知，轴，故将代入中，
得，则，即，
不妨设在双曲线右支上，则，故；
设为的平分线，由题意知，
则，即，而，
故，由点在圆上，得；
又，则，
在中，,
即，结合，即得，即，
解得或（舍），故（负值舍去），即的离心率为，
故答案为：
17题【详解】（1）由题知，，解得，，所以，
所以双曲线标准方程为：.
（2）由（1）知，，，双曲线焦点在x轴上，
所以双曲线的顶点坐标为，焦点坐标为，实轴长，虚轴长，渐近线方程为，即.
18题【详解】（1）证明：连接，∵分别是，的中点，∴，
又平面，平面，
∴平面.
（2）取中点，连接，
∵是的中点，
∴为的中位线，则，且，
又平面，∴平面，
∴所以三棱锥的体积为.
19题【详解】【详解】（1）设圆：，又因为在圆上
即
得：即
得：即
得即，，所以圆：
（2）设动圆的半径为，又因为动圆经过点，所以
动圆和圆外切，所以，即，根据双曲线的定义可知动点是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支.
由双曲线的定义知：，，所以
所以动点的轨迹为：
20题【详解】（1）由题可知，，解得，故抛物线的方程为.
（2）设，，则，两式相减得，
即.因为线段的中点坐标为，所以，则，
故直线的斜率为2.
21题【详解】（1）由已知可得，，.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以，平面.
因为平面，所以.
又，，所以.
因为，平面，平面，
所以，平面.
（2）如图，建立空间直角坐标系，
因为，，，
则，，，，，，
所以，，，.
设平面的法向量为，则，取，则.
又平面，所以即为平面的一个法向量.
设平面与平面所成的锐二面角为，
所以，，所以，，
所以，平面与平面所成角的余弦值为.
22题【详解】（1）由题设，又，则，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）由题设，直线l斜率一定存在，令，且在椭圆C内，
联立直线与椭圆并整理得，且，
令，而，则，
由，则且，得，
同理
由，则且，得，
所以
又，，则.
所以为定值0.