天津市重点外国语学校2023-2024学年高二上学期12月第二次质量检测数学试题（含解析）

2023—2024学年天津外大附校高二数学第二次质量检测试题
一、单选题
1.直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2.直线：与圆：交于，两点，则（ ）
A. B. C.2 D.4
3.已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A.19 B.42 C.35 D.24
4.已知抛物线，，分别是双曲线（，）的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点，与双曲线的渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
5.准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
6.双曲线的两个焦点分别是，，点是双曲线上一点且满足，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
7.已知抛物线：的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，则（ ）
A.8 B. C.16 D.32
8.若数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9.已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
10.双曲线的离心率为______.
11.已知是等比数列，，，则公比______.
12.设，，向量，，，且，，则______.
13.已知，若直线：与直线：相互垂直，则______.
14.若直线（）与圆相交所得的弦长为，则______.
15.已知数列是各项均不为零的等差数列，为其前项和，且（），若不等式对任意恒成立，则实数的最小值是______.
三、问答题
16.设是等差数列，，且，，成等比数列.
（Ⅰ）求的通项公式：
（Ⅱ）记的前项和为，求的最小值.
17.如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.
（Ⅰ）证明；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
（Ⅲ）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
18.设椭圆（）的左焦点为，上顶点为.已知椭圆的短轴长为4，离心率为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.
19.已知椭圆（）的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点.求直线的方程.
20.已知为等差数列，为等比数列，，，.
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）记的前项和为，求证：（）；
（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和.
2023—2024学年天津外大附校高二数学第二次质量检测试题
参考答案
一、单选题
1.【答案】A
【详解】设倾斜角为，直线的斜率为.
∴，∵，∴，故选：A.
2.【答案】B
【详解】解：因为：，
所以圆心到直线：的距离，
故.故选：B
3.【答案】B
【详解】由等差数列的性质可得，则，
故.故选：B.
4.【答案】C
【详解】抛物线的准线方程为，则，则，，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，，解得，
因此，双曲线的标准方程为.故选：C.
5.【答案】B
【详解】由于抛物线的准线方程是，所以抛物线的开口向左，
设抛物线的方程为（），
则，，所以抛物线的标准方程为.故选：B
6.【答案】C
【详解】∵，所以，，，
∵在双曲线上，设，，
∴①，由，在中由余弦定理可得：
，
故②，由①②可得，
∴直角的面积.故选：C.
7.【答案】C
【详解】焦点，直线的方程为，
由，消去并化简得，，
设，，所以，
所以.
故选：C
8.【答案】D
【详解】当时，，
当时，，
经检验，可得.故选：D.
9.【答案】B
【分析】由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点坐标，再根据点在椭圆上，可得离心率.
【详解】如图所示：
因为为等腰三角形，且，
又，所以，所以，
过点作轴，垂足为，则，
由，，得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，即离心率，故选：B.
二、填空题
10.【答案】2
【详解】∵，，∴，.
11.【答案】
【详解】因为是等比数列，所以，所以.
故答案为：.
12.【答案】3
【详解】因为，，，且，，
所以，，可得，，
所以，，，
所以，故答案为：3.
13.【答案】/0.5
【详解】因为直线：与直线：相互垂直，
所以，解得：，故答案为.
14.【答案】2
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线（）的距离为，
由勾股定理可得，因为，解得.
故答案为：2.
15.【答案】2
【详解】是等差数列，则，
，∴，，
所以
所以由不等式对任意恒成立，
得，，
易知是递减数列，因此它的最大项是第一项为，
，.所以的最小值是2.故答案为：2.
三、问答题
16.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
所以；
当或者时，取到最小值.
17.【答案】（1）见解析 （2） （3）
解：本题可通过建立空间坐标系求解，如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
依题意得，，，，，.
（Ⅰ）证明：易得，，
于是，∴.
（Ⅱ）.设平面的法向量，
则，即
消去，得，不妨令，可得一个法向量为.
由（Ⅰ），，又，可得平面，
故为平面的一个法向量.
于是，，
故的正弦值为.
（Ⅲ），.
设，，有.
可取为平面的一个法向量.
设为直线与平面所成的角，
则
.
于是，解得（舍去），
∴.
18.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）或.
【详解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为，依题意，，，
又，可得，，.
所以，椭圆方程为.
（Ⅱ）由题意，设（），.
设直线的斜率为（），又，
则直线的方程为，与椭圆方程联立，
整理得，可得，
代入得，
进而直线的斜率，
在中，令，得.
由题意得，所以直线的斜率为.
由，得，
化简得，从而.
所以，直线的斜率为或.
19.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或.
【详解】（Ⅰ）∵椭圆（）的一个顶点为，∴，
由，得，又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）∵直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆雉曲线的方程.
20.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.
【分析】（Ⅰ）由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论首先求得数列前项和，然后利用作差法证明即可；
（Ⅲ）分类讨论为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前项和即可.
【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.
由，，可得.
从而的通项公式为.
由，，又，可得，解得，
从而的通项公式为.
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得，
故，，
从而，所以.
（Ⅲ）当为奇数时，，
当为偶数时，，
对任意的正整数，有，
和①
由①得②
由①②得，
由于，
从而得：.
因此，.
所以，数列的前项和为.