2023-2024学年人教A版数学必修第一册期末综合模拟检测卷：第二章一元二次函数、方程和不等式（含解析）

第二章 一元二次函数、方程和不等式
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2－x－2<0}，集合B＝{x|1A．{x|－1C.{x|12．不等式≤0的解集是(　　)
A．{x|x<－1或－1B．{x|－1≤x≤2}
C．{x|x<－1或x≥2}
D．{x|－13．已知a＞b，且ab≠0，c∈R，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a2＞b2 B．＜
C． D．＞
4．在欧几里得之后，获得与均值不等式等价结果的数学家是芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题，在书中他给了这样一个命题：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大．”由此可知，若一个矩形的长为a，宽为b，则与这个矩形周长相等的所有四边形中，面积最大值为(　　)
A． B．a2
C．b2 D．ab
5．已知不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，则不等式2x2＋bx＋a＜0的解集为(　　)
A．
B．
C．{x|－2＜x＜1}
D．{x|x＜－2，或x＞1}
6．在R上定义运算⊙：A⊙B＝A(1－B)，若不等式(x－a)⊙(x＋a)<1对任意的实数x∈R恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A．－1C．－7．若对于任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围为(　　)
A．a> B．a≥
C．a>0 D．a>5
8．已知x，y为正实数，则的最小值为(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．
9．已知2A．6<2x＋y<9 B．2<2x－y<3
C．－110．已知命题“ x∈R，ax2－3x－1<0”为假命题，则实数a的值可以是(　　)
A．－3 B．－2 C．－1 D．0
11．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的是(　　)
A．a>0
B．不等式bx＋c>0的解集为{x|x>－12}
C．不等式cx2－bx＋a<0的解集为
D．a＋b＋c>0
12．若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　)
A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2
C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知集合A＝{－5，－1，2，4，5}，请写出一个一元二次不等式，使得该不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，这个不等式可以是________．
14．a，b∈R，a＜b和＜同时成立的条件是________．
15．已知a>0，b>0，且a＋＝2，则＋b的最小值是________．
16．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*)为二次函数关系(二次函数的图象如图所示，总利润y为正数)，则营运年数的取值范围是________；每辆客车营运________年时，年平均利润最大．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)已知a>0，b>0，且a≠b，比较与a＋b的大小．
18．(本小题满分12分)已知关于x的一元二次函数y＝ax2－bx＋1．
(1)若y<0的解集为，求实数a，b的值；
(2)若实数a，b满足b＝a＋1，求关于x的不等式y<0的解集．
19．(本小题满分12分)(1)若正数x，y满足x＋y＋8＝xy，求xy的取值范围．
(2)已知a，b，c都为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥10.
20．(本小题满分12分)已知函数y＝(m＋1)x2－mx＋1.
(1)当m＝5时，求不等式y>0的解集；
(2)若不等式y>0的解集为R，求实数m的取值范围．
21．(本小题满分12分)已知不等式≥0的解集为条件p，关于x的不等式x2＋mx－2m2－3m－1<0的解集为条件q.
(1)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围；
(2)若p的充分不必要条件是q，求实数m的取值范围．
22．(本小题满分12分)经观测，某公路段在某时段内的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间有函数关系：y＝(v>0)．
(1)在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？(精确到0.01)
(2)为保证在该时段内车流量至少为10千辆/时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？
参考答案
1．A　[A＝{x|－12．D　[此不等式等价于
∴－13．D　[当a＝1，b＝－2时，1＞－2，而12＜(－2)2＝4，＞，而无意义，故ABC错误；
因为c2＋1＞0，所以＞，D正确．]
4．A　[由题知矩形周长为定值2(a＋b)，所以面积S＝a·b≤，当且仅当a＝b时取“＝”．故选A．]
5．A　[由题意知x＝－1，x＝2是方程ax2＋bx＋2＝0的根．
由根与系数的关系得

∴不等式2x2＋bx＋a＜0，即2x2＋x－1＜0．
解得－1＜x＜．故选A．]
6．C　[∵(x－a)⊙(x＋a)＝(x－a)(1－x－a)，
∴不等式(x－a)⊙(x＋a)<1，
即(x－a)(1－x－a)<1对任意实数x恒成立，即x2－x－a2＋a＋1>0对任意实数x恒成立，
所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0，
解得－7．B　[因为对于任意x>0，≤a恒成立，
所以a≥，
因为x>0，所以x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，
所以y＝＝，
所以a≥，故选B．]
8．A　[x，y为正实数，则＝－2≥2－2＝6，当且仅当＝，即y＝2x时等号成立．最小值为6，故选A．]
9．ACD　[∵2∴4∴4<2x<6，6<2x＋y<9，
∴－3<－y<－2，－1故选ACD．]
10．BCD　[假设命题“ x∈R，ax2－3x－1<0”为真命题，
当a＝0时，不等式为－3x－1<0，不恒成立，所以a＝0不满足；
当a≠0时， x∈R，ax2－3x－1<0，
则抛物线y＝ax2－3x－1的开口只能向下，且Δ<0，
即解得a<－，
综上所述，当命题“ x∈R，ax2－3x－1<0”为真命题，实数a的取值范围为，
所以命题“ x∈R，ax2－3x－1<0”为假命题，实数a的取值范围为，故选BCD．]
11．AC　[因为不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a>0，A正确；
方程ax2＋bx＋c＝0的两根是＝－3，＝4，
由根与系数的关系得，得b＝－a，c＝－12a，
bx＋c>0等价于－ax－12a>0，所以x<－12，B错误；
不等式cx2－bx＋a<0等价于－12ax2＋ax＋a<0，
即12x2－x－1>0，解得：x<－或x>，C正确；
因为b＝－a，c＝－12a，所以a＋b＋c＝－12a<0，D错误． 故选AC．]
12．BC　[对于A，B，由x2＋y2－xy＝1可得，(x＋y)2－3xy＝1，而xy≤，
即1≥(x＋y)2－＝，
∴(x＋y)2≤4，∴－2≤x＋y≤2，故A错误，B正确；
对于C，D，由x2＋y2－xy＝1得，
x2＋y2－1＝xy≤，
∴x2＋y2≤2，故C正确，D错误．故选BC．]
13．(x＋4)(x－6)>0(答案不唯一)　[由题意知写出的一元二次不等式的解集与集合A有且只有一个公共元素，不等式解集中的整数解只有一个在集合A中即可．故不等式可以是(x＋4)(x－6)>0．解集为{x|x>6，或x<－4}．解集中只有－5在集合A中．]
14．a＜0＜b　[若ab＜0，由a＜b两边同除以ab得，＞，即＜；若ab＞0，则＞．
所以a＜b和＜同时成立的条件是a＜0＜b．]
15．　[由a>0，b>0，则
＋b＝＝
≥＝，当且仅当ab＝2，即a＝，b＝时等号成立．
所以＋b的最小值是．]
16．{3，4，5，6，7，8，9}　5　[由题意可设二次函数解析式为：y＝a(x－6)2＋11，x∈N*，
又函数图象过点(4，7)，故7＝a(4－6)2＋11，
∴a＝－1．
∴y＝－(x－6)2＋11，x∈N*．
由y>0得6－∴x＝3，4，5，6，7，8，9．
由＝＝－x－＋12≤－2＋12＝－10＋12＝2可知，当且仅当x＝，即x＝5时等号成立．所以每辆客车营运5年时，年平均利润最大．]
17．[解]　因为－(a＋b)＝－b＋－a＝＝(a2－b2)＝(a2－b2)·＝，因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，ab>0，所以－(a＋b)>0，即>a＋b．
18．[解]　(1)∵y<0的解集为，
∴－与1是方程ax2－bx＋1＝0的两个实数根，
由根与系数的关系可知：，
解得a＝－2，b＝－1．
(2)∵b＝a＋1，则不等式y<0化为：
ax2－(a＋1)x＋1<0，
因式分解为：(a－1)(x－1)<0(a≠0)．
当a＝1时，化为(x－1)2<0，则解集为 ；
当a>1时，<1，解得当01，解得1当a<0时，<0，解得x>1或x<，不等式的解集为．
19．[解]　(1)xy＝x＋y＋8≥2＋8，
所以()2－2－8≥0，
所以(－4)(＋2)≥0，
所以≥4，
所以xy≥16(当且仅当x＝y＝4取等号)，
所以xy的取值范围为xy≥16．
(2)证明：＝＝4＋≥4＋2＋2＋2＝10，当且仅当a＝b＝c＝时取等号．
∴≥10．
20．[解]　(1)根据题意，得y＝6x2－5x＋1，
由y>0得6x2－5x＋1>0，即(3x－1)(2x－1)>0，
解得x<或x>，
故不等式y>0的解集为．
(2)由题意得，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，
当m＝－1时，不等式可化为x＋1>0，解得x>－1，即(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为{x|x>－1}，不符合题意，舍去；
当m≠－1时，y＝(m＋1)x2－mx＋1开口向上，且与x轴没有交点时，(m＋1)x2－mx＋1>0的解集为R，
所以
解得即2－2综上，得2－2故实数m的取值范围为2－221．[解]　(1)条件p：由≥0，
可得得－1≤x<2，
记A＝{x|－1≤x<2}．
条件q：由x2＋mx－2m2－3m－1<0，
可得[x＋(2m＋1)][x－(m＋1)]<0，
因为m>－，所以－(2m＋1)所以－2m－1记B＝{x|－2m－1若p是q的充分不必要条件，
则A?B，可得解得m≥1，
所以实数m的取值范围是{m|m≥1}．
(2)若p的充分不必要条件是q，
则B?A，可得解得m≤0，
又m>－，
所以实数m的取值范围是．
22．[解]　(1)y＝＝＝≈11.08．
当v＝，即v＝40(千米/时)时，车流量最大，最大值约为11.08千辆/时．
(2)据题意有：≥10，
化简得v2－89v＋1 600≤0，
即(v－25)(v－64)≤0，
所以25≤v≤64．
所以汽车的平均速度应控制在25≤v≤64千米/时这个范围内．
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