5.7 三角函数的应用(1）（23页ppt)

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第5章 三角函数
5.7 三角函数的应用（1）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题； 1.数学抽象素养.
2.体会利用三角函数构建刻画事物周期性变化的数学模型. 2.逻辑推理素养.
3.通过三角函数模型的实际应用，使学生学会把实际问题抽象为数学问题，即建立数学模型的思想. 3.数学抽象素养.
温故知新
函数的性质
名 称 性 质
定义域
值域
周期性
对称中心
对称轴
奇偶性
单调性
R
[-A,A]
.
由.
由.
当时，是奇函数；当时是偶函数；其它情况是非奇非偶函数.
由，解得单调递增区间；
由，解得单调递减区间.
新知探究
现实生活中存在大量具有周而复始、循环往复 特点的周期运动变化现象.三角函数是基本初等函数之一，是反映周期变化现象的重要函数模型，在数学和其他领域具有重要作用，物理中的匀速圆周运动、简谐运动、交变电流问题，日常生活中的海洋潮汐问题、水车、摩天轮转动问题等都是用三角函数来模拟刻画的一些典型问题，命题时常以这些问题为背景，考查学生收集数据、拟合数据及应用已学知识处理实际问题的能力．本节课通过几个具体实例，说明三角函数模型的简单应用．
新知探究
问题1 某个弹簧振子（简称振子）在完成一次全振
动的过程中，时间t (单位s)与位移y (单位:mm)之
间的对应数据如表所示．试根据这些数据确定这个
振子的位移关于时间的函数解析式.
振子的振动具有循环往复的特点，由振子振动的物理学原来可知，其位移随时间的变化规律可以用函数来刻画.
新知探究
根据已知数据，画出散点图.
由数据表和散点图可知，振子振动的位移最大值为20mm,则A=20.
振子振动的周期为0.6s,则T=0.6,即,解得;
再由初始状态（t=0)振子的位移为-20，可得
,即.
则.
所以振子位移关于时间的函数解析式为
.
新知探究
现实生活中存在大量类似弹簧振子的运动，如钟摆的摆动，水中浮标的上下浮动，琴弦的震动，等等．这些都是物体在某一中心位置附近循环往复的运动．
在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”．可以证明，在适当的坐标系下，简谐运动可以用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
A就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
简谐运动的周期是，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
简谐运动的频率由公式，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
新知探究
在中各参数的物理意义.
做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
周期
频率
振幅
ωx+φ 称为相位；
x=0 时的相位 φ 称为初相．
新知探究
问题2 如图⑴所示的是某次实验测得的交变电流（单位:A）随时间（单位:s）变化的图象．将测得的图象放大，得到图⑵．
⑴求电流随时间变化的函数解析式；
⑵当时，求电流.
新知探究
解：
⑴由交变电流的产生原理可知，电流随时间的变化规律可用来刻画，其中表示频率，表示振幅，表示初相．
由图⑵可知，电流最大值为5A，因此；
电流变化的周期为，频率为50Hz,
即，解得;
再由初始状态()的电流约为 4.33A，
可得，因此约为.
所以电流随时间变化的函数解析式是
.
新知探究
解：
⑵由⑴知，电流随时间变化的函数解析式是
.
当时，;
当时,;
当时,;
当时，;
当时，.
新知探究
【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移(单位:cm)随时间（单位：s)的变化规律为.根据题意，回答下列问题：
⑴小球在开始振动（）时的位移是多少？
⑵小球升高到最高点和下降到最低点的位移分别是多少？
⑶经过多长时间小球往复振动一次？振动的频率是多少？
⑷小球在s经过最高点的次数恰为50次，求的范围.
解：
⑴将代入，得.
⑵小球上升到最高点和下降到最低点的位移分别是4cm和-4cm.
所以小球在开始振动时的位移是.
⑶因为函数s的周期是，所以小球往复振动一次所用的时间是s.
振动的频率是.
新知探究
【例1】已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移(单位:cm)随时间（单位：s)的变化规律为.根据题意，回答下列问题：
⑴小球在开始振动（）时的位移是多少？
⑵小球升高到最高点和下降到最低点的位移分别是多少？
⑶经过多长时间小球往复振动一次？振动的频率是多少？
⑷小球在s内经过最高点的次数恰为50次，求的范围.
解：
⑷由题意得，当时，小球第一次到达最高点，以后每隔一个周期都出现一次最高点.
∴,
∵小球在s内经过最高点的次数恰为50次，
又∵，即 .
∴的取值范围是.
初试身手
1．⑴简谐运动的相位与初相是 (　　)
A.，　　　　　　　 B.，4
C.， D.4，
⑵最大值是,最小正周期是,初相为的函数解析式是（ ）
A. B. C. D.
解：
⑴相位是，当时为初相即.故选C.
⑵由最小正周期是,得.
∵初相为, ∴函数解析式为.故选D.
C
D
初试身手
1.某简谐运动得图象如图所示，试根据图象回答下列问题：
⑴这个简谐运动得振幅、周期和频率各是多少？
⑵写出这个简谐运动的函数解析式.
解：
⑴由图可得，即，
⑵由⑴，得.
设此函数解析式是
∴.
P244 练习
∵,
∴,解得
则此函数解析式是.
第⑵问思路2：得到，按照图象变换，看成由图象向左平移个单位长度得到，因此，函数解析式为：
.
初试身手
2.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，
一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置
一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆
动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单
位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
⑴当时，求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
⑵已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1s，线的长度应当是多少（精确0.1cm）
解：
⑴∵, ∴的最大值为3.
则当时，该沙漏的最大偏角是0.1203rad．
P244 练习
设偏角为，可得最大偏角满足．利用计算器计算可得θ=0.1203rad．
初试身手
2.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，
一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置
一定角度（最大偏角）后在重力作用下铅锤面内做周期摆
动．若线长lcm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移为s（单
位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是
⑴当时，求该沙漏的最大偏角(精确到0.0001)；
⑵已知g=9.8m/s2，要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是多少（精确0.1cm）
解：
⑴∵沙漏摆动的周期,
则要使沙漏摆动的周期是1 s，线的长度应当是24.8cm．
P244 练习
∴(cm）.
初试身手
3.一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压（单位：V）关于时间（单位：s）的函数解析式．
解：
设电压关于时间的函数是.
根据图象可得，振幅,周期s.
∴频率.电压的最大值(v).
∴.
则电压关于时间的函数是.
又∵图象过原点，∴.
课堂小结
1.用函数y=Asin(ωx+φ)，x∈[0，+∞)表示，其中A>0，ω>0．描述简谐运动的物理量，如振幅、周期和频率等都与这个解析式中的常数有关：
2.根据实际问题，建立函数的模型
A就是这个简谐运动的振幅，它是作简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；
简谐运动的周期是，它是作简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；
简谐运动的频率由公式，它是作简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；
ωx+φ称为相位；x=0时的相位φ称为初相.
作业布置
作业：P249 习题5.7 第1,2题.
补充：
1.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s cm和时间t s的函数关系式为，那么单摆来回摆动一次所需的时间为(　　)
A.s B.s C.0.5s D.1s
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，劳动节某商场的人流量满足函数(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )
A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]
3.如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，
横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，
则这个振子振动的函数解析式为 .
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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