上海市四校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷（含解析）

上海市四校联考2023-2024学年高一上学期12月月考数学试卷
2023.12
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）
1．已知集合，，则__________．
2．“”是“”的__________条件．
3．已知，若函数定义域为，则的取值范围为__________．
4．已知，则满足的的取值范围为__________．
5．已知，，试用、表示__________．
6．已知函数，，则__________．
7．已知，若函数的值域为，则的取值范围是__________．
8．已知定义域为的偶函数在区间上严格减，且，则不等的解集为__________．
9．设函数定义域为，对于下列命题：
①令，则函数为偶函数；
②若存在常数，使得对任意的，都有成立，则是的最大值；
③若对于任意的、，都有成立，则在上严格递减；
④若函数的图像是一条连续的曲线，且对，有，则函数在区间上不存在零点．
其中，所有真命题的序号为．．
10．已知，若不等式有解，则的取值范围是__________．
11．给机器人输入一个指令（其中常数）后，该机器人在坐标平面上先面向轴正方向行走个单位距离，接着原地逆时针旋转后再面向轴正方向行走个单位距离，如此就完成一次操作．已知该机器人的安全活动区域满足，若开始时机器人在函数图象上的点处面向轴正方向，经过一次操作后该机器人落在安全区域内的一点处，且点恰好也在函数图象上，则__________．
12．小明同学问：若不等式对任意恒成立，如何求实数的取值范围．老师提示说：“恒成立，且等号当且仅当时成立，且函数在有零点存在”，根据老师的提示，可求得该问题中的取值范围是__________．
二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，其中第13、14题每题4分，第14、15题每题5分）
13．下列选项中的两个函数表示同一函数的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
14．已知某企业生产总值连续两年持续增加，若第一年增长率为，第二年的增长率为，则该企业这两年生产总值的年平均增长率为（ ）
A． B． C． D．
15．已知，，若，则的最小值为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．13
16．已知函数，是偶函数，且当时，，则方程解的个数为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
三、解答题（本大题共5题，满分78分）
17．求下列不等式（组）的解集：
（1）； （2）．
18．某公司欲将一批货物从地运往地，现有汽车、火车和飞机三种运输工具可供选择三种运输工具的主要参考数据如下：
运输工具 速度（） 途中费用（元） 装卸时间（） 装卸费用（元）
汽车 50 8 2 1000
火车 100 4 4 2000
飞机 200 16 2 1000
若这批货物在运输过程中（含装卸时间）的损耗为300元，问采用哪种运输工具比较合适（即运输过程中的费用和损耗最小）？
19．已知，．
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）当时，判断函数在区间上的单调性，并证明；
（3）当时，求函数在区间上的最小值．
20．在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：，双曲余弦：．（是自然对数的底数，）
（1）解方程：；
（2）求不等式的解集；
（3）若对任意的，关于的方程有解，求实数取值范围．
21．记函数，，它们定义域的交集为，若对任意的，都有成立，则称函数具有性质．
（1）判断函数，是否具有性质，并说明理由；
（2）设，，求的反函数，并判断是否具有性质；
（3）设，，若函数具有性质，求使成立的范围．
高一数学参考答案
一、填空题
1．【解】由题意．
2．【解】必要非充分．
3．【解】由已知得．
4．【解一】由题意得，故所求取值范围为．
【解二】在同一坐标系内作出与图像．
由题意，所求取值范围为函数在图像下方时，
对应点的横坐标取值范围．由图像可知所求范围为．
5．【解】．
6．【解】由已知得，，故．
7．【解】由题意，易知均不合题意，故；
又，故时，，所以．
8．【解】因为，又函数在区间上严格减，
所以，即所求解集为．
9．【解】①③
10．【解】有解，
所以，即所求的取值范围为．
11．【解】由题意设，则一次操作后该机器人落点为，
即在安全区域内，所以且．
由，可知，
所以，即．
又因为，且等号当且仅当，即时成立，
综上，．
12．【解】，，
由可得，
由于不等式恒成立，且等号当且仅当时成立；
且存在，使得成立；
所以，且等号当且仅当，即时成立；
所以，时，，因此实数的取值范围是．
二、选择题
13．【解】C
14．【解】D
15．【解】，且等号当且仅当，
即时成立．故当时．故选：B．
16．【解】由此画出函数，在区间上的图象，由图可知，，与的图象有14个交点，所以方程解的个数为14．故选A．
三、解答题
17．【解】（1）或，所以，所求解集为；
（2），
故所求解集为．
18．【解】设、两地间距离为；用汽车、火车、飞机运输时的总支出分为、、，
则有：，；
，；
，．
所以，又，
所以当时，，此时用汽车运输较好；
当时，，此时用汽车或火车运输均可；
当时，，此时用火车运输较好．
19．【解】（1）因为任取，恒有，
故为奇函数．
（2）当时，在上严格增；
（证明）任取，有，
由，则，，故成立，
所以函数在区间上的严格增．
（3）易知当时，函数在严格减，在严格增；
所以，当即时，在[2，4]上严格增，
故；
当即时，在上严格减，故；
当，即时，；
综上，
20．【解】（1），
故所求解为；
（2）因为，恒成立，故是奇函数；
又因为在上的严格增，在上的严格减，故是上的严格增函数，
所以，
即所求解集为．
（3）因为是上的严格增函数，所以当时，成立；
又因为函数值域为，
所以若关于的方程有解，
只需对任意关于都成立，
故只需，即．
21．【解】（1），恒成立，
故具有性质；
又，所以不具有性质；
（2）当时，，，
又因为，恒有成立，
故，具有性质；
（3）由题意的恒成立，
即恒成立，所以，即，，
由，
又，，又，故，所求解集为．